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1、專項強化練(十)　空間幾何體 A組——題型分類練 題型一　平面及其基本性質(zhì) 1．若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：若兩直線為異面直線，則兩直線無公共點，反之不一定成立． 答案：充分不必要 2．設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，則a∥c； ③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交； ④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線． 上述命題中正確的命題是________(

2、寫出所有正確命題的序號)． 解析：由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故④錯． 答案：① [臨門一腳] 1．四個公理，三個推論要記清楚；公理3以及三個推論都是用來判定是否共面的依據(jù)． 2．因為兩直線沒有公共點包含兩種情況：平行和異面. 所以不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線． 題型二　空間中的平行與垂直 1．給出下列條件：①l∥α；②l與α至少有一個公共點；③l與α至多有一個公共點．能確定直線

3、l在平面α外的條件的序號為________． 解析：直線l在平面α外指：l∥α或直線l與平面α僅有一個交點． 答案：①③ 2.如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________． 解析：因為＝，所以MN∥BD， 又MN?平面BCD，BD?平面BCD， 所以MN∥平面BDC. 答案：平行 3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的序號是________． ①若α⊥γ，α⊥β，則γ∥β；②若m∥n，m?α，n?β，則α∥β；③若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β；④若m∥n，m∥α，則n∥α

4、. 解析：垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，所以①錯誤；兩個平面內(nèi)的兩條直線平行，這兩個平面不一定平行，所以②錯誤；兩個平面同時垂直于兩條平行直線，這兩個平面平行，所以③正確；兩條平行直線中的一條平行于一個平面，另一條不一定平行于該平面，所以④錯誤． 答案：③ 4．(2018南京高三模擬)已知α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個命題： ①若l⊥α，l⊥β，則α∥β；②若l⊥α，α⊥β，則l∥β； ③若l∥α，l⊥β，則α⊥β；④若l∥α，α⊥β，則l⊥β. 其中的真命題為________(填所有真命題的序號)． 解析：若l⊥α，l⊥β，則α∥β，①正確；

5、若l⊥α，α⊥β，則l∥β或l?β，②錯誤；若l∥α，l⊥β，則α⊥β，③正確；若l∥α，α⊥β，則l與β的位置關(guān)系不確定，可能平行、相交或l?β，④錯誤．故真命題為①③. 答案：①③ 5.如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正確結(jié)論的序號是________． 解析：①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC?平面PAC，PA?平面PAC?BC⊥平面PAC?AE⊥BC，故①正確；②AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，AE?平面AEF

6、，AF?平面AEF?PB⊥平面AEF?EF⊥PB，故②正確；③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故③錯誤，由①可知④正確． 答案：①②④ [臨門一腳] 1．線線、線面、面面的平行與垂直的關(guān)系可以通過下列形式轉(zhuǎn)化： 2．與平行、垂直有關(guān)的命題真假判定要注意所給命題與定理之間的關(guān)系，經(jīng)常會出現(xiàn)條件缺失， 這類題其實質(zhì)為多項選擇，主要考查空間中線面之間的位置關(guān)系，要求熟悉有關(guān)公理、定理及推論，并具備較好的空間想象能力，做到不漏選、多選、錯選．如線面平行中“線在平面外”不能遺漏，線面垂直中兩條直線必須相交不能遺忘． 題型三　空間幾何體的表面積和體積 1．正六棱柱的

7、高為6，底面邊長為4，則它的表面積為________． 解析：S底＝642＝24，S側(cè)＝646＝144，所以S表＝S側(cè)＋2S底＝144＋48＝48(3＋)． 答案：48(3＋) 2．已知正四棱錐的底面邊長是2，側(cè)棱長是，則該正四棱錐的體積為________． 解析：如圖，在正四棱錐PABCD中，AB＝2，PA＝， 設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，則AO＝AC＝. 在直角三角形POA中，PO＝＝1. 所以VPABCD＝S四邊形ABCDPO＝41＝. 答案： 3．(2018鹽城高三模擬)若一圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面積是底面積的3倍，則該圓錐的體積為________． 解析：設(shè)

8、圓錐的母線長為l，高為h，則π1l＝3π12，l＝3，則h＝ ＝2，故該圓錐的體積V＝π122＝. 答案： 4．(2018南京四校聯(lián)考)已知在三棱錐SABC中，△SAB，△SBC，△SAC都是以S為直角頂點的等腰三角形，且AB＝BC＝CA＝，則三棱錐SABC的內(nèi)切球的半徑為________． 解析：由題意知，SA＝SB＝SC.設(shè)SA＝SB＝SC＝a，則a＝，a＝1.設(shè)三棱錐SABC的內(nèi)切球的半徑為r，則由等體積法可得，VSABC＝11r3＋r＝VASBC＝1，解得r＝，即三棱錐SABC的內(nèi)切球的半徑為. 答案： 5.如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點P

9、在線段BD1上，當∠APC最大時，三棱錐PABC的體積為________． 解析：連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)PO，則∠APC＝2∠APO， ∵tan ∠APO＝， ∴當PO最小時，∠APO最大， 即PO⊥BD1時，∠APO最大． 如圖，作PE⊥BD于點E，此時PB＝BD1，∴三棱錐PABC的高為點P到平面ABCD的距離PE＝，∴三棱錐PABC的體積V＝S△ABCPE＝＝. 答案： [臨門一腳] 1．涉及柱、錐、臺、球及其簡單組合體的側(cè)面積和體積的計算問題，要在正確理解概念的基礎(chǔ)上，畫出符合題意的圖形或輔助線(面)，分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的公式，進行計算． 2．另外要重

10、視空間問題平面化的思想和割補法、等積轉(zhuǎn)換法的運用． 3．圖形的展開、折疊、切割在考查空間想象能力方面有著不可比擬的優(yōu)勢，解決此類問題的關(guān)鍵是弄清圖形變化前后的點、線、面的對應(yīng)關(guān)系，并分析清楚變化前后點、線、面的位置變化． 4．錐體和柱體公式要記清楚，不能混淆． B組——高考提速練 1．(2019泰興中學模擬)用半徑為3 cm，圓心角為的扇形紙片卷成一個圓錐筒，則這個圓錐筒的體積為________cm3. 解析：設(shè)圓錐筒的底面半徑為r cm，母線長為l cm，則l＝3，3＝2πr，所以r＝1，所以這個圓錐筒的高h＝＝＝2(cm)，所以這個圓錐筒的體積為πr2h＝π122＝π(cm3)．

11、 答案： 2．設(shè)b，c表示兩條直線，α，β表示兩個平面，現(xiàn)給出下列命題： ①若b?α，c∥α，則b∥c； ②若b?α，b∥c，則c∥α； ③若c∥α，α⊥β，則c⊥β； ④若c∥α，c⊥β，則α⊥β. 其中正確的命題是________．(寫出所有正確命題的序號) 解析：①b和c可能平行或異面，故①錯；②可能平行或c?α，故②錯；③可能c⊥β，c∥β，c?β，故③錯；④根據(jù)面面垂直判定α⊥β，故④正確． 答案：④ 3．已知高與底面半徑相等的圓錐的體積為，其側(cè)面積與高為2的圓柱OO1的側(cè)面積相等，則圓柱OO1的體積為________． 解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓柱OO1的

12、底面半徑為R，因為高與底面半徑相等的圓錐的體積為，所以πr2r＝，所以r＝2.又圓錐的側(cè)面積與高為2的圓柱OO1的側(cè)面積相等，所以πrr＝2πR2，所以R＝1，所以圓柱OO1的體積為πR22＝2π. 答案：2π 4．已知正三棱柱的各條棱長均為a，圓柱的底面直徑和高均為b.若它們的體積相等，則a3∶b3的值為________． 解析：由題意可得a2a＝π2b， 即a3＝πb3，則＝＝. 答案： 5．已知α，β，γ是三個不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，如果把α，β，γ中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有______個． 解析：若α

13、，β?lián)Q為直線a，b，則命題化為“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命題為真命題；若α，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命題為假命題；若β，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命題為真命題． 答案：2 6.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________． 解析：因為EF∥平面AB1C，EF?平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC， 所以EF∥AC，又E為AD的中點，AB＝2， 所以EF＝AC＝＝. 答案： 7.如圖，在圓錐VO中，O為底

14、面圓心，半徑OA⊥OB，且OA＝VO＝1，則O到平面VAB的距離為________． 解析：設(shè)O到平面VAB的距離為h，由圓錐的幾何性質(zhì)可得VO⊥平面OAB，VO⊥OA，VO⊥OB.在Rt△VOA中，VA＝＝，在Rt△VOB中，VB＝＝，在Rt△OAB中，AB＝＝，在△VAB中，S△VAB＝＝.因為VVAOB＝S△AOBVO＝，VVAOB＝S△VABh＝，所以h＝. 答案： 8．設(shè)A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝，C是球面上的動點，若四面體OABC的體積V的最大值為，則此時球的表面積為________． 解析：在四面體OABC中，顯然△OAB的面積一定，設(shè)球O的半徑為R，則S△OA

15、B＝RR＝R2，要使四面體的體積最大，則只需球上的點到平面OAB的距離最大，顯然，到平面OAB距離的最大值為球的半徑，所以(VCOAB)max＝R2R＝R3＝，解得R＝3，由球的表面積公式得S球＝4πR2＝36π. 答案：36π 9．已知α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，l⊥α，m?β.給出下列命題： ①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m； ③m∥α?l⊥β；④l⊥β?m∥α. 其中正確的命題是________(填寫所有正確命題的序號)． 解析：①由l⊥α，α∥β，得l⊥β. 又因為m?β，所以l⊥m，①正確； ②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l?β， 又因為m?β

16、，所以l與m或異面或平行或相交，②錯誤； ③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因為l只垂直于β內(nèi)的一條直線m，所以不能確定l是否垂直于β，③錯誤； ④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因為m?β，所以m∥α，④正確． 答案：①④ 10．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連結(jié)PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對． 解析：如圖，由于PD⊥平面ABCD.故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7對． 答案：7 11．以一個

17、圓柱的下底面為底面，并以圓柱的上底面圓心為頂點作圓錐，若所得的圓錐底面半徑等于圓錐的高，則圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積之比為________． 解析：設(shè)圓錐的底面半徑為 r，由題意圓錐底面半徑等于圓錐的高，可知圓錐的側(cè)面積為：πrr＝πr2.圓柱的側(cè)面積為：2πrr＝2πr2.所以圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積之比為：πr2∶2πr2＝. 答案： 12．正六棱柱的底面邊長為4，高為6，則它的外接球(正六棱柱的頂點都在此球面上)的表面積為________． 解析：因為正六棱柱的底面邊長為4，所以它的底面圓的半徑為4，所以外接球的半徑為r＝＝5，故外接球的表面積為4πr2＝4π25＝100π.

18、 答案：100π 13．已知矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝3，若沿對角線AC折疊，使平面DAC⊥平面BAC，則三棱錐DABC的體積為________． 解析：在平面DAC內(nèi)作DO⊥AC，垂足為點O，因為平面DAC⊥平面BAC，且平面DAC∩平面BAC＝AC，所以DO⊥平面BAC，因為AB＝4，BC＝3，所以DO＝，S△ABC＝34＝6，所以三棱錐DABC的體積為V＝6＝. 答案： 14.如圖，在四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝AD＝2，M，N均為線段AC上的點．若∠MBN＝30，則三棱錐MPNB的體積的最小值為________． 解析：易知VMPNB＝VPMNB ＝PDS△MNB＝PDMNh， h為點B到AC的距離， 又h＝BD＝， 所以VMPNB＝2MN＝MN， 顯然當△MNB為等腰三角形時，MN取得最小值， 此時MN＝2tan 15＝4－2， 從而可得(VMPNB)min＝(4－2)＝. 答案： 8