綜合仿真練(六) 1.如圖，在四棱錐EABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，EA⊥EB，點(diǎn)M，N分別是AE，CD的中點(diǎn)． 求證：(1)MN∥平面EBC； (2)EA⊥平面EBC. 證明：(1)取BE中點(diǎn)F，連結(jié)CF，MF， 又M是AE的中點(diǎn)， 所以MF綊AB. 又N是矩形ABCD邊CD的中點(diǎn)， 所以NC綊AB，所以MF綊NC， 所以四邊形MNCF是平行四邊形，所以MN∥CF. 又MN?平面EBC，CF?平面EBC， 所以MN∥平面EBC. (2)在矩形ABCD中，BC⊥AB， 又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面EAB. 又EA?平面EAB，所以BC⊥EA. 又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB?平面EBC，BC?平面EBC，所以EA⊥平面EBC. 2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α，β的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為P，Q.已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為. (1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值． 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)P在單位圓上，α為銳角， 所以cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. (2)因?yàn)辄c(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)Q在單位圓上， 所以sin β＝. 又β為銳角，所以cos β＝. 因?yàn)閏os α＝，且α為銳角， 所以sin α＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin(2α－β)＝－＝. 因?yàn)棣翞殇J角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<， 又β為銳角，所以－<2α－β<，所以2α－β＝. 3.某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝(其中a，b為常數(shù))模型． (1)求a，b的值． (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t. ①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域． ②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度． 解：(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5,40)，(20,2.5)． 將其分別代入y＝，得 解得 (2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)， 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，y軸分別于A，B兩點(diǎn)，y′＝－， 則l的方程為y－＝－(x－t)， 由此得A，B. 故f(t)＝ ＝ ，t∈[5,20]． ②設(shè)g(t)＝t2＋，則g′(t)＝2t－. 令g′(t)＝0，解得t＝10. 當(dāng)t∈(5,10)時(shí)，g′(t)<0，g(t)是減函數(shù)； 當(dāng)t∈(10，20)時(shí)，g′(t)>0，g(t)是增函數(shù)． 從而，當(dāng)t＝10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值， 所以g(t)min＝300，此時(shí)f(t)min＝15. 答：當(dāng)t＝10時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15千米． 4.如圖，已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A(－2,0)，且點(diǎn)在橢圓上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k>0)的直線交橢圓E于另一點(diǎn)B，直線BF2交橢圓E于點(diǎn)C. (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若△CF1F2為等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (3)若F1C⊥AB，求k的值． 解：(1)由題意得解得 ∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)∵△CF1F2為等腰三角形，且k>0， ∴點(diǎn)C在x軸下方， 若F1C＝F2C，則C(0，－)； 若F1F2＝CF2，則CF2＝2，∴C(0，－)； 若F1C＝F1F2，則CF1＝2，∴C(0，－)， ∴C(0，－)． ∴直線BC的方程y＝(x－1)， 由得或 ∴B. (3)設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋2)， 由消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0， ∴xAxB＝－2xB＝， ∴xB＝， ∴yB＝k(xB＋2)＝， ∴B. 若k＝，則B，∴C， ∵F1(－1,0)，∴kCF1＝－， ∴F1C與AB不垂直；∴k≠， ∵F2(1,0)，kBF2＝，kCF1＝－， ∴直線BF2的方程為y＝(x－1)， 直線CF1的方程為y＝－(x＋1)， 由解得 ∴C(8k2－1，－8k)． 由點(diǎn)C在橢圓上，得＋＝1， 即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2＝， ∵k>0，∴k＝. 5．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝4－an. (1)求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式an； (2)是否存在自然數(shù)c和k，使得＞1成立？若存在，請(qǐng)求出c和k的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＋a1＝4，得a1＝2, 由Sn＝4－an，① 得Sn＋1＝4－an＋1，② ②－①得，Sn＋1－Sn＝an－an＋1，即an＋1＝an, 所以＝，且a1＝2， 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，且an＝. (2)法一：因?yàn)閍n＝， 所以ak＋1＝，Sk＝4， 要使＝>1成立，只要使<0(*)成立， 當(dāng)c≥4時(shí)，不等式(*)不成立； (也可以根據(jù)Sk＝4>c，且2≤Sk＜4，所以c的可能取值為0,1,2,3) 當(dāng)c＝0時(shí)，1<2k<，不存在自然數(shù)k使(*)成立； 當(dāng)c＝1時(shí)，<2k<2，不存在自然數(shù)k使(*)成立； 當(dāng)c＝2時(shí)，2<2k<3，不存在自然數(shù)k使(*)成立； 當(dāng)c＝3時(shí)，4<2k<6，不存在自然數(shù)k使(*)成立． 綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使>1成立. 法二：要使＞1，只要>2， 即只要<0， 因?yàn)镾k＝4<4， 所以Sk－＝2－Sk>0， 故只要Sk－2＜c＜Sk.① 因?yàn)镾k＋1＞Sk， 所以Sk－2≥S1－2＝1. 又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3. 當(dāng)c＝2時(shí)，因?yàn)镾1＝2，所以當(dāng)k＝1時(shí)，c＜Sk不成立，從而①不成立． 當(dāng)k≥2時(shí)，因?yàn)镾2－2＝>c， 由Sk＜Sk＋1，得Sk－2＜Sk＋1－2， 故當(dāng)k≥2時(shí)，Sk－2＞c，從而①不成立. 當(dāng)c＝3時(shí)，因?yàn)镾1＝2，S2＝3， 所以當(dāng)k＝1，k＝2時(shí)，c＜Sk不成立，從而①不成立． 因?yàn)镾3－2＝>c，又Sk－2＜Sk＋1－2， 所以當(dāng)k≥3時(shí)，Sk－2＞c，從而①不成立. 綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使>1成立． 6．(2019南通中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋6，其中a為實(shí)常數(shù)． (1)若f(x)>3x在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍； (2)已知a＝，P1，P2是函數(shù)f(x)圖象上兩點(diǎn)，若在點(diǎn)P1，P2處的兩條切線相互平行，求這兩條切線間距離的最大值； (3)設(shè)定義在區(qū)間D上的函數(shù)y＝s(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為l：y＝t(x)，當(dāng)x≠x0時(shí)，若>0在D上恒成立，則稱點(diǎn)P為函數(shù)y＝s(x)的“好點(diǎn)”．試問(wèn)函數(shù)g(x)＝x2f(x)是否存在“好點(diǎn)”．若存在，請(qǐng)求出所有“好點(diǎn)”坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：(1)法一：f(x)>3x在(1，＋∞)上恒成立，即為(a－3)x2＋6x＋2>0在(1，＋∞)上恒成立， ①a＝3時(shí)，結(jié)論成立；②a>3時(shí)，函數(shù)h(x)＝(a－3)x2＋6x＋2圖象的對(duì)稱軸為x＝－<0，所以函數(shù)h(x)＝(a－3)x2＋6x＋2在(1，＋∞)單調(diào)遞增，依題意h(1)>0，即a>－5，所以a>3；③a<3不合要求，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥3. 法二：f(x)>3x在(1，＋∞)上恒成立等價(jià)于a>－－＋3， 令h(x)＝－－＋3＝－22＋ 因?yàn)閤>1，所以0<<1，故－5<h(x)<3，所以a≥3. (2)f′(x)＝－，設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，過(guò)點(diǎn)P1，P2的兩切線互相平行，則－＝－，所以x1＝x2(舍去)，或x1＝－x2，過(guò)點(diǎn)P1的切線l1：y－y1＝f′(x1)(x－x1)，即f′(x1)x－y＋f(x1)－x1f′(x1)＝0， 過(guò)點(diǎn)P2的切線l2：f′(x2)x－y＋f(x2)－x2f′(x2)＝0 兩平行線間的距離是 d＝ ＝ ＝＝， 因?yàn)閤＋≥2＝5， 所以d≤＝4，即兩平行切線間的最大距離是4. (3)g(x)＝x2f(x)＝ax3＋6x2＋2x，設(shè)g(x)存在“好點(diǎn)”P(x0，y0)， 由g′(x)＝3ax2＋12x＋2，得h(x)＝g′(x0)(x－x0)＋g(x0)， 依題意>0對(duì)任意x≠x0恒成立，因?yàn)? ＝ ＝ ＝[a(x2＋x0x＋x)＋6(x＋x0)＋2]－(3ax＋12x0＋2) ＝ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)， 所以ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)>0對(duì)任意x≠x0恒成立， ①若a≤0，ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)>0不可能對(duì)任意x≠x0恒成立， 即a≤0時(shí)，不存在“好點(diǎn)”； ②若a>0，因?yàn)楫?dāng)x＝x0時(shí)，ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)＝0， 要使ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)>0對(duì)任意x≠x0恒成立， 必須Δ＝(ax0＋6)2＋4a(2ax＋6x0)≤0，(ax0＋2)2≤0，所以x0＝－， 綜上可得，當(dāng)a≤0時(shí)，不存在“好點(diǎn)”；當(dāng)a>0時(shí)，存在惟一“好點(diǎn)”為. 8