《（江蘇專用）2020高考數(shù)學二輪復習 綜合仿真練（六）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2020高考數(shù)學二輪復習 綜合仿真練（六）（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、綜合仿真練(六) 1.如圖，在四棱錐EABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，EA⊥EB，點M，N分別是AE，CD的中點． 求證：(1)MN∥平面EBC； (2)EA⊥平面EBC. 證明：(1)取BE中點F，連結(jié)CF，MF， 又M是AE的中點， 所以MF綊AB. 又N是矩形ABCD邊CD的中點， 所以NC綊AB，所以MF綊NC， 所以四邊形MNCF是平行四邊形，所以MN∥CF. 又MN?平面EBC，CF?平面EBC， 所以MN∥平面EBC. (2)在矩形ABCD中，BC⊥AB， 又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC?平

2、面ABCD， 所以BC⊥平面EAB. 又EA?平面EAB，所以BC⊥EA. 又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB?平面EBC，BC?平面EBC，所以EA⊥平面EBC. 2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α，β的頂點為坐標原點O，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O的交點分別為P，Q.已知點P的橫坐標為，點Q的縱坐標為. (1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值． 解：(1)因為點P的橫坐標為，點P在單位圓上，α為銳角， 所以cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. (2)因為點Q的縱坐標為，點Q在單位圓上， 所以sin β＝. 又β為銳角，所以c

3、os β＝. 因為cos α＝，且α為銳角， 所以sin α＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin(2α－β)＝－＝. 因為α為銳角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<， 又β為銳角，所以－<2α－β<，所以2α－β＝. 3.某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千

4、米．以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy.假設曲線C符合函數(shù)y＝(其中a，b為常數(shù))模型． (1)求a，b的值． (2)設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t. ①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域． ②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度． 解：(1)由題意知，點M，N的坐標分別為(5,40)，(20,2.5)． 將其分別代入y＝，得 解得 (2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)， 則點P的坐標為. 設在點P處的切線l交x，y軸分別于A，B兩點，y′＝－， 則l的方程為y－＝－(x－t)， 由此得A，B. 故

5、f(t)＝ ＝ ，t∈[5,20]． ②設g(t)＝t2＋，則g′(t)＝2t－. 令g′(t)＝0，解得t＝10. 當t∈(5,10)時，g′(t)<0，g(t)是減函數(shù)； 當t∈(10，20)時，g′(t)>0，g(t)是增函數(shù)． 從而，當t＝10時，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值， 所以g(t)min＝300，此時f(t)min＝15. 答：當t＝10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米． 4.如圖，已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左頂點A(－2,0)，且點在橢圓上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點．過點A作斜率為k(k>0)的直線交橢圓E于另一點B，直線BF

6、2交橢圓E于點C. (1)求橢圓E的標準方程； (2)若△CF1F2為等腰三角形，求點B的坐標； (3)若F1C⊥AB，求k的值． 解：(1)由題意得解得 ∴橢圓E的標準方程為＋＝1. (2)∵△CF1F2為等腰三角形，且k>0， ∴點C在x軸下方， 若F1C＝F2C，則C(0，－)； 若F1F2＝CF2，則CF2＝2，∴C(0，－)； 若F1C＝F1F2，則CF1＝2，∴C(0，－)， ∴C(0，－)． ∴直線BC的方程y＝(x－1)， 由得或 ∴B. (3)設直線AB的方程為y＝k(x＋2)， 由消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，

7、 ∴xAxB＝－2xB＝， ∴xB＝， ∴yB＝k(xB＋2)＝， ∴B. 若k＝，則B，∴C， ∵F1(－1,0)，∴kCF1＝－， ∴F1C與AB不垂直；∴k≠， ∵F2(1,0)，kBF2＝，kCF1＝－， ∴直線BF2的方程為y＝(x－1)， 直線CF1的方程為y＝－(x＋1)， 由解得 ∴C(8k2－1，－8k)． 由點C在橢圓上，得＋＝1， 即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2＝， ∵k>0，∴k＝. 5．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝4－an. (1)求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，并求通項公式an； (2)是否存在自然數(shù)c和

8、k，使得＞1成立？若存在，請求出c和k的值； 若不存在，請說明理由． 解：(1)當n＝1時，S1＋a1＝4，得a1＝2, 由Sn＝4－an，① 得Sn＋1＝4－an＋1，② ②－①得，Sn＋1－Sn＝an－an＋1，即an＋1＝an, 所以＝，且a1＝2， 所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為的等比數(shù)列，且an＝. (2)法一：因為an＝， 所以ak＋1＝，Sk＝4， 要使＝>1成立，只要使<0(*)成立， 當c≥4時，不等式(*)不成立； (也可以根據(jù)Sk＝4>c，且2≤Sk＜4，所以c的可能取值為0,1,2,3) 當c＝0時，1<2k<，不存在自然數(shù)k使(*

9、)成立； 當c＝1時，<2k<2，不存在自然數(shù)k使(*)成立； 當c＝2時，2<2k<3，不存在自然數(shù)k使(*)成立； 當c＝3時，4<2k<6，不存在自然數(shù)k使(*)成立． 綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使>1成立. 法二：要使＞1，只要>2， 即只要<0， 因為Sk＝4<4， 所以Sk－＝2－Sk>0， 故只要Sk－2＜c＜Sk.① 因為Sk＋1＞Sk， 所以Sk－2≥S1－2＝1. 又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3. 當c＝2時，因為S1＝2，所以當k＝1時，c＜Sk不成立，從而①不成立． 當k≥2時，因為S2－2＝>c， 由Sk＜Sk＋1，得

10、Sk－2＜Sk＋1－2， 故當k≥2時，Sk－2＞c，從而①不成立. 當c＝3時，因為S1＝2，S2＝3， 所以當k＝1，k＝2時，c＜Sk不成立，從而①不成立． 因為S3－2＝>c，又Sk－2＜Sk＋1－2， 所以當k≥3時，Sk－2＞c，從而①不成立. 綜上所述，不存在自然數(shù)c，k，使>1成立． 6．(2019南通中學模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋6，其中a為實常數(shù)． (1)若f(x)>3x在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍； (2)已知a＝，P1，P2是函數(shù)f(x)圖象上兩點，若在點P1，P2處的兩條切線相互平行，求這兩條切線間距離的最大值； (3)設定義在

11、區(qū)間D上的函數(shù)y＝s(x)在點P(x0，y0)處的切線方程為l：y＝t(x)，當x≠x0時，若>0在D上恒成立，則稱點P為函數(shù)y＝s(x)的“好點”．試問函數(shù)g(x)＝x2f(x)是否存在“好點”．若存在，請求出所有“好點”坐標，若不存在，請說明理由. 解：(1)法一：f(x)>3x在(1，＋∞)上恒成立，即為(a－3)x2＋6x＋2>0在(1，＋∞)上恒成立， ①a＝3時，結(jié)論成立；②a>3時，函數(shù)h(x)＝(a－3)x2＋6x＋2圖象的對稱軸為x＝－<0，所以函數(shù)h(x)＝(a－3)x2＋6x＋2在(1，＋∞)單調(diào)遞增，依題意h(1)>0，即a>－5，所以a>3；③a<3不合要求，綜

12、上可得，實數(shù)a的取值范圍是a≥3. 法二：f(x)>3x在(1，＋∞)上恒成立等價于a>－－＋3， 令h(x)＝－－＋3＝－22＋ 因為x>1，所以0<<1，故－5

13、＝5， 所以d≤＝4，即兩平行切線間的最大距離是4. (3)g(x)＝x2f(x)＝ax3＋6x2＋2x，設g(x)存在“好點”P(x0，y0)， 由g′(x)＝3ax2＋12x＋2，得h(x)＝g′(x0)(x－x0)＋g(x0)， 依題意>0對任意x≠x0恒成立，因為 ＝ ＝ ＝[a(x2＋x0x＋x)＋6(x＋x0)＋2]－(3ax＋12x0＋2) ＝ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)， 所以ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)>0對任意x≠x0恒成立， ①若a≤0，ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)>0不可能對任意x≠x0恒成立， 即a≤0時，不存在“好點”； ②若a>0，因為當x＝x0時，ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)＝0， 要使ax2＋(ax0＋6)x－(2ax＋6x0)>0對任意x≠x0恒成立， 必須Δ＝(ax0＋6)2＋4a(2ax＋6x0)≤0，(ax0＋2)2≤0，所以x0＝－， 綜上可得，當a≤0時，不存在“好點”；當a>0時，存在惟一“好點”為. 8