[ 第 61 講 幾何概型 ] ( 時間： 35 分鐘 分值： 80 分 ) 基礎熱身 1．[2013 武漢武昌區(qū)調研 ] 在區(qū)間 [ — 1， 1] 上隨機取一個數(shù) k，使直線 y＝ k( x＋ 2) 與圓 x2＋ y2＝ 1 相交的 概率為 ( ) 1 1 3 3 A. 2 B. 3 C. 3 D. 2 2．[2013 衡水一中調研 ] 有四個游戲盤， 將它們水平放穩(wěn)后， 在上面扔一顆玻璃小球， 若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是 ( ) 圖 K61－ 1 3．[2013 石家莊質檢 ] 已知函數(shù) y＝ sin x，x∈[ － π ，π ] 與 x 軸圍成的區(qū)域記為 M， 若隨機向圓 ： x 2＋ y 2＝ π2 內投入一米粒，則該米粒落在區(qū)域 內的概率是 () O M 4 4 2 2 A. π 2 B. π 3 C. π 2 D. π 3 圖 K61－ 2 4．為了測算如圖 K61－ 2 所示陰影部分的面積， 作一個邊長為 6 的正方形將其包含在內，并向正方形內隨機投擲 800 個點．已知恰有 200 個點落在陰影部分， 據(jù)此， 可估計陰影部分 的 面 積 是 ________________________________________________________________________ ． 能力提升 5．[2013 邯鄲一模 ] 某人睡午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時， 則他等待時間不多于 15 分鐘的概率為 () 1 1 2 3 A. 2 B. 4 C. 3 D. 4 6．已知長方形 中， ＝ 4， ＝ 1， 為 的中點， 則在此長方形內隨機取一點 ， P與 M的距離小于 ABCD ABBCM AB P 1 的概率為 ( ) π ππ π A. 4 B ． 1－ 4 C. 8 D ．1－ 8 1 圖 K61－ 3 7．[201 3臨沂模擬 ] 扇形 AOB的半徑為 1，圓心角為 90 . 點 C，D，E 將弧 AB等分成 四份．連接 OC， OD， OE，從圖 K61－3 中所有的扇形中隨機取出一個，面積恰為 π 8 的概率是 ( ) 3 1 2 1 A. 10 B. 5 C. 5 D. 2 8．[2013 汕頭質檢 ] 已知實數(shù) x∈[ － 1， 1] ， y∈[0 ， 2] ，則點 P( x， y) 落在區(qū)域 2 － y ＋2≥0， x x－ 2y＋1≤0， 內的概率為 () x＋ y－2≤0 3 3 3 1 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 9．[2013 武漢調研 ] 有一根長為 1 m的細繩子，隨機從中間將細繩剪斷，則使兩截的 1 長度都大于 8 m 的概率為 ________． 圖 K61－ 4 10．圖 K61－ 4(2) 中實線圍成的部分是長方體 ( 圖(1)) 的平面展開圖，其中四邊形 ABCD 是邊長為 1 的正方形． 若向虛線圍成的矩形內任意拋擲一質點， 它落在長方體的平面展開圖 1 內的概率是 4，則此長方體的體積為 ________． 圖 K61－ 5 11．如圖 K61－ 5，矩形 OABC內的陰影部分是由曲線 f ( x) ＝sin x，x∈(0 ， π ) 及直線 x ＝a( a∈(0 ， π )) 與 x 軸圍成，向矩形 OABC內隨機投擲一點，若落在陰影部分的概率為 3 16， 則 a 的值是 ________． x≤ 1， 12． (13 分)[2013 吉林一模 ] 記不等式組 x－ y＋2≥0， 表示的平面區(qū)域為 M. x＋ y＋1≥0 (1) 畫出平面區(qū)域 M，并求平面區(qū)域 M的面積； (2) 若點 ( a，b) 為平面區(qū)域 M中任意一點， 求直線 y＝ ax＋b 的圖象經(jīng)過第一、 二、四象限的概率． 2 圖 K61－ 6 難點突破 13． (12 分)[2013 青島一模 ] 已知關于 x 的一元二次函數(shù) f ( x) ＝ ax2－ 4 bx＋1. (1) 設集合 P＝ {1 ， 2， 3} 和 Q＝ { － 1， 1， 2， 3， 4} ， 分別從集合 P 和 Q中隨機取一個 數(shù)作為 a 和 b，求函數(shù) y＝ f ( x) 在區(qū)間 [1 ，＋∞ ) 上是增函數(shù)的概率； x＋y－8≤0， (2) 設點 ( a ， b) 是區(qū)域 x>0， 內的隨機點， y >0 記 A＝{ y＝ f ( x) 有兩個零點，其中一個大于 1，另一個小于 1} ，求事件 A發(fā)生的概率． 3 課時作業(yè) ( 六十一 ) 【基礎熱身】 1－( － 1) ＝ 2，圓 x2＋ y2＝ 1 的圓 1．C [ 解析 ] 由于試驗的全部結果構成的區(qū)域長度為 心為 (0 ， 0) ，要使直線 y＝ k( x＋ 2) 與圓 x2＋ y2＝ 1 相交，則圓心到直線 y＝k( x＋ 2) 的距離 2 3 |2 k| 3 3 3 d ＝ k2＋ 1 ≤1，解得－ 3 ≤ k≤ 3 ，根據(jù)幾何概型的概率公式，可得所求的概率 P＝ 2 ＝ 3 3 ，故選 C. 3 2 2 1 2． A [ 解析 ] 利用幾何概型的概率公式，得 P( A) ＝8， P( B) ＝8， P( C) ＝ 6， P( D) ＝ 3， ∴P( A) ＞ P( C) ＝ P( D) ＞ P( B) ，故選 A. 3．B [ 解析 ] 構成試驗的全部區(qū)域為圓內的區(qū)域， 面積為 π3，正弦曲線 y＝sin x( x∈[ － π， π ]) 與 x 軸圍成的區(qū)域記為 M M 的面積為 S 2 πsin xdx ，根據(jù)圖形的對稱性，得區(qū)域 ＝ 0 ＝－ 2cosx π ) 0＝ 4，所以由幾何概型的計算公式可得，隨機往圓 O內投一個點 A，則 點 A 落在區(qū)域 M內的概率 P＝ 4 3，故選 B. π 4． 9 [ 解析 ] 200 1 點落在陰影部分的頻率是 800＝ 4，由于是隨機的投擲點，點落在正方形 1 內各點是隨機的，因此我們就有理由相信陰影部分的面積就是整個正方形面積的 4，故陰影 1 部分的面積約為 4 36＝ 9. 【能力提升】 5． B [ 解析 ] 由題意知問題與時間長度有關，可作為幾何概型求解，因為電臺整點報 時，則事件總數(shù)包含的時間長度是 60，設事件 A表示“他等待的時間不多于 15 分鐘”，事 15 1 件 A 包含的時間長度是 15，由幾何概型的概率公式得到 P(A) ＝ 60＝4，故選 B. 6． C [ 解析 ] 構成試驗的全部區(qū)域為長方形 ABCD的內部，長方形 ABCD的面積為 S＝ 41＝ 4；以 M點為圓心，以 1 為半徑在長方形 ABCD中作半圓， 則該半圓內的任一點與 M π 的距離小于 1，半圓的面積 1 1 21 2 π S ＝2π 1 ＝ 2π，因此 P 與 M的距離小于 1 的概率為 4 ＝ 8 ， 故選 C. 7． A [ 解析 ] 依題意得知，圖中共有 10 個不同的扇形，分別為扇形 AOB， AOC， AOD， π π AOE， EOB，EOC，EOD， DOC， DOB， COB，其中面積恰為 8 的扇形即相應圓心角恰為 4 的扇形 共有 3 個 ( 即扇形 AOD， EOC，BOD)，因此所求的概率等于 3 ，故選 . 10 A 8. B [ 解析 ] 所求概率為圖中陰影部分的面積與正方形面積的比值．正方形的面積為 4， 4 1 陰影部分的面積為正方形 面積減去三個小直角三角形面積所得的差，其值為 4－ 1－ 1－2＝ 3，所以所求 概率為 P＝ 3 4＝ 3，故選 . 2 2 8 B 3 9. 4 [ 解析 ] 選擇長度為相應測度，試驗的全部結果構成的區(qū)域長度為 1，用 A 表示事 件“兩截的長度都大于 1 m”，則從中間將細繩剪斷，剪得兩段的長都大于 1 m，臨界處為 1 8 8 3 － 1 2＝ 3 ，故使兩截的長度都大于 1 4 3 . 的概率 P(A) ＝ ＝ 8 4 m 8 m 1 4 10．3 [ 解析 ] 設長方體的高為 h，則圖 (2) 中虛線圍成的矩形長為 2＋ 2h，寬為 1＋ 2h， 面 積 為 (2 ＋ 2h)(1 ＋ 2h) ， 展 開 圖 的 面 積 為 2 ＋ 4h. 由 幾 何 概 型 的 概 率 公 式 知 2＋4h 1 （2＋ 2h）（ 1＋ 2h）＝ 4，得 h＝3，所以長方體的體積是 V＝13＝ 3. 2π 11. 3 [ 解析 ] 構成試驗的全部區(qū)域為長方形 OABC的內部，長方形 OABC的面積為 S 8 asin xdx＝－ cosx a 0＝ 1－ cosa，由幾何概型的概 ＝a a＝ 8；陰影部分的面積 S1＝ ) 0 率公式，得 S1 3 1－ cosa 3 1 2π S＝ 16，即 8 ＝ 16，解得 cosa＝－ 2，則 a 的值是 3 . 3 1 12．解： (1) 如圖，△ ABC 的內部及其各條邊就表示平面區(qū)域 M，其中 A－ 2， 2，B(1 ， 3) ， C(1，－ 2) ， 1 5 25 ∴平面區(qū)域 M的面積為 2 2 5＝ 4 . (2) 要使直線 y＝ ax＋ b 的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則 a<0， b>0， 又點 (a ， b) 的區(qū)域為 M，故使直線 y＝ax＋ b 的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的點 (a ， b) 1 1 的區(qū)域為第二象限的陰影部分，故所求的概率為 2－ 221 7 P＝ ＝ . 25 25 4 【難點突破】 13．解： (1) ∵函數(shù) f(x) ＝ ax2－ 4bx＋ 1 的圖象的對稱軸為 x＝ 2b， 2－ 4bx＋ 1 a 要使 f(x) ＝ ax 在區(qū)間 [1 ，＋∞ ) 上為增函數(shù)， 2b 當且僅當 a>0 且 a ≤ 1，即 2b≤a. 當 a＝1 時， b＝－ 1；當 a＝ 2 時， b＝－ 1，1；當 a＝3 時， b＝－ 1， 1. 記 B＝{ 函數(shù) y＝f(x) 在區(qū)間 [1 ，＋∞ ) 上是增函數(shù) } ，則事件 B 包含基本事件的個數(shù)是 1＋2＋ 2＝ 5， 5 5 1 ∴ P(B) ＝ 15＝ 3. a＋ b－8≤0， (2) 依條件可知試驗的全部結果所構成的區(qū)域為 Ω ＝ （ a， b） a>0， ， b>0 1 其面積 SΩ＝ 2 8 8＝ 32， 事件 A 構成的區(qū)域 a＋ b－8≤0， a＋b－8≤0， A＝ （ a， b） a>0， ＝ （ a， b） a>0， b>0， . b>0， f （ 1） <0 a－ 4b＋ 1<0 a＋ b－ 8＝ 0， 31 9 由 a－ 4b＋ 1＝0， 得交點坐標為 5 ， 5 ， 1 1 31 961 ∴ SA＝ 8－ ＝ ， 2 4 5 40 SA 961 ∴事件 A 發(fā)生的概率為 P(A) ＝ ＝. S 1 280 Ω 6