[ 第 43 講 立體幾何中的向量方法 ( 一) ——平行與垂直的證 明 ] ( 時(shí)間： 45 分鐘 分值： 100 分 ) 基礎(chǔ)熱身 1．[2013 ?？诙?] 平面 α 經(jīng)過(guò)三點(diǎn) A( －1， 0， 1) ，B(1 ， 1， 2) ， C(2 ，－ 1， 0) ， 則下列向量中與平面 α 的法向量不垂直的是 ( ) 1 A． a＝ 2，－ 1，－ 1 B ．a(chǎn)＝ (6 ，－ 2，－ 2) C． a＝ (4 ， 2， 2) D ． a＝( － 1， 1，4) 2．[2013 烏魯木齊二模 ] 若直線(xiàn) l 的方向向量為 a，平面 α 的法向量為 n，能使 l ∥ α 的可能是 ( ) A． a＝ (1 ， 0， 0) ， n＝ ( －2， 0， 0) B． a＝ (1 ， 3， 5) ， n＝ ( 1，0， 1) C． a＝ (0 ， 2， 1) ， n＝ ( －1， 0，－ 1) D． a＝ (1 ，－ 1，3) ， n＝ (0 ， 3， 1) 3．[2013 哈爾濱三模 ] 若平面 π 1，π 2 互相垂直，則下面可以是這兩個(gè)平面的法向量 的是 ( ) A． n1＝ (1 ， 2， 1) ， n2＝ ( － 3，1， 1) B． n1＝ (1 ， 1， 2) ， n1＝ ( － 2，1， 1) C． n1＝ (1 ， 1， 1) ， n2＝ ( － 1，2， 1) D． n1＝ (1 ， 2， 1) ， n1＝ (0 ，－ 2，－ 2) 4． a，b 是兩個(gè)非零向量， α ， β 是兩個(gè)平面，下列命題正確的是 ( ) A． a∥b 的必要條件是 a，b 是共面向量 B． a，b 是共面向量，則 a∥ b C． a∥α ， b∥ β，則 α∥ β D． a∥α ， b α ，則 a， b 不是共面向量 能力提升 5．[2013 鄭州三模 ] → → → → 已知點(diǎn) A，B，C∈平面 α ，點(diǎn) P?平面 α ，則APAB＝ 0 且 APAC → → ) ＝0 是 APBC＝ 0 的 ( A．充分不必要條件 B ．必要不充分條件 C．充要條件 D ．既不充分也不必要條件 6．[2013 合肥三模 ] 如圖 K43－ 1，將邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD沿對(duì)角線(xiàn) BD折成直二 → 1→ 1→ → → 2 面角，若點(diǎn) P 滿(mǎn)足 BP＝ 2BA－ 2BC′＋ BD，則 | BP| 的值為 () 1 圖 K43－ 1 3 A. 2 B． 2 10－ 2 C. 4 9 D. 4 7．[2013 南寧三模 ] 二面角的棱上有 A，B 兩點(diǎn)，直線(xiàn) AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于 AB. 已知 AB＝ 4， AC＝ 6，BD＝8，CD＝ 2 17，則該二面角的大小為 ( ) A． 150 B ． 45 C． 60 D ． 120 8．已知二面角 α － l － β 的大小為 120，點(diǎn) B，C在棱 l 上， A∈ α ，D∈ β，AB⊥ l ， ⊥ ， ＝ 2， ＝1， ＝3，則 的長(zhǎng)為 () CD l AB BC CD AD A. 14 B. 13 C． 2 2 D ． 2 5 9．已知空間三點(diǎn) A(0 ， 2， 3) ， B( － 2， 1， 6) ， C(1 ，－ 1， 5) ．若 | a| ＝ 3，且 a 分別 與 → ， → 垂直，則向量 a 的坐標(biāo)為 ( ) AB AC A． (1 ， 1， 1) B． ( －1，－ 1，－ 1) C． (1 ， 1， 1) 或( － 1，－ 1，－ 1) D． (1 ，－ 1， 1) 或 ( － 1，1，－ 1) 10．[2013 銀川三模 ] 在四棱錐 P－ABCD中，底面 ABCD為直角梯形， AB∥ CD，BA⊥ AD， PA⊥平面 ABCD， AB＝ AP＝ AD＝3， CD＝6. 則直線(xiàn) PD與 BC所成的角的大小為 ________． 11．[2013 長(zhǎng)春模擬 ] 在直角坐 標(biāo)系 xOy中，設(shè) A( － 2， 3) ，B(3 ，－ 2) ，沿 x 軸把直 角坐標(biāo)平面折成大小為 θ 的二面角后，這時(shí) | AB| ＝ 2 11，則 θ 的大小為 ________． 圖 K43－ 2 12．[2013 南京三模 ] 如圖 K43－ 2，四棱錐 S－ ABCD的底面是正方形， SD⊥平面 ABCD，SD＝ 2， AD＝ 2， 則二面角 C－ AS－D的余弦值為 ________． 13．如圖 K43－ 3，正方體 ABCD－ A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 1，E， F 分別是棱 BC， DD1上的點(diǎn)，如果 B1E⊥平面 ABF，則 CE與 DF的和的值為 ________． 2 圖 K43－ 3 14． (10 分)[2013 太原三模 ] 已知 E， F， G， H分別是空間四邊形 ABCD的邊 AB， BC， CD， DA的中點(diǎn)，用向量方法證明： (1) E，F(xiàn)， G， H四點(diǎn)共面； (2) BD∥平面 EFGH. 15． (13 分 ) 如圖 K43－ 4，在四棱錐 P－ ABCD中，已知 PA⊥平面 ABCD， PB與平面 ABC 1 成 60的角，底面 ABCD是直角梯形，∠ ABC＝∠ BAD＝ 90， AB＝ BC＝ 2AD. (1) 求證：平面 PCD⊥平面 PAC； 1 (2) 設(shè) E 是棱 PD上一點(diǎn)，且 PE＝ 3PD，求異面直線(xiàn) AE與 PB所成的角的余弦值． 圖 K43－ 4 3 難點(diǎn)突破 16． (12 分 ) 如圖 K43－ 5，平面 PAC⊥平面 ABC，△ ABC是以 AC為斜邊的等腰直角三角 形， E， F，O分別為 PA， PB，AC的中點(diǎn)， AC＝ 16， PA＝ PC＝ 10. (1) 設(shè) G是 OC的中點(diǎn)，證明 FG∥平面 BOE； (2) 證明在△ ABO內(nèi)存在一點(diǎn) M，使 FM⊥平面 BOE. 4 課時(shí)作業(yè) ( 四十三 ) 【基礎(chǔ)熱身】 1．D [ 解析 ] → → → → → → 設(shè)平面 α 的法向量為 n，則 n⊥ AB，n⊥ AC，n⊥ BC，所有與 AB( 或AC，BC) 平行的向量或可用 → → AB與 AC線(xiàn)性表示的向量都與 n 垂直，故選 D. 2． D [ 解析 ] 欲使 l ∥ α，應(yīng)有 n ⊥ ，∴ n ＝ 0，故選 D. a a 3． A [ 解析 ] 兩個(gè)平面垂直時(shí)其法向量也垂直，只有選項(xiàng) A 中的兩個(gè)向量垂直． 4． A [ 解析 ] 選項(xiàng) B 中， ， b 共面不一定平行；選項(xiàng) C 中更不可能；選項(xiàng) D，空間任 a 意兩個(gè)向量都共面，故 a， b 共面． 【能力提升】 → → 5． A [ 解析 ] 由 APAB＝ 0， → → → → → → → → → 得 AP ( AB－ AC) ＝ 0，即 AP CB＝ 0，亦即 APBC＝ 0， AP AC＝ 0 → → → → → → → → → 反之，若 AP BC＝0，則 AP( AC－ AB) ＝0， APAB＝ AP AC，未必等于 0. 6． D [ 解析 ] 由題意，翻折后 AC′＝ AB＝BC′，∴∠ ABC′＝ 60， ∴ → 2 ＝ 1→ 1→ → 2 | | BA－ BC′＋ BD BP 2 2 1 → 2 1 → 2 → 2 1→ →→→ → → 1 1 1 ＝ 4| BA| ＋ 4| BC′ | ＋ | BD| － 2BA BC′－ BC′ BD＋ BA BD＝ 4＋ 4＋ 2－ 2 1 1 cos60 － 1 2cos45 ＋ 1 9 2 cos45 ＝ . 4 7． C [ 解析 ] 由條件知， → → ＝ 0， → → ＝ 0， → ＝ →＋ → ＋ →. CA AB AB BD CD CA AB BD ∴ → 2 ＝| → 2 → 2 → 2 →→ → → → → 2 2 2 | CD| CA| ＋ | AB| ＋| BD| ＋ 2CA AB＋ 2ABBD＋ 2CABD＝6 ＋4 ＋ 8 ＋268cos → → 〈CA， BD〉 → → 2 → → 1 ＝ 116＋ 96cos 〈CA， BD〉＝ (2 17) ，∴ cos 〈 CA， BD〉＝－ 2， → → 60 . ∴〈 CA， BD〉＝ 120，所以二面角的大小為 8． D [ 解析 ] 由 條件知 | →| ＝ 2，| → | ＝ 1， | → | ＝ 3， → ⊥ → ， → ⊥→ ，〈 → ，→ 〉＝ AB BC CD AB BC BC CD AB CD → → → → 60， AD＝AB＋ BC＋ CD， ∴ → 2 ＝| → 2 → 2 → 2 → →→ →→ → | AD| AB| ＋ | BC| ＋| CD| ＋ 2AB BC＋ 2BC CD＋ 2AB CD ＝ 4＋ 1＋ 9＋223 cos60 ＝ → 5. 20，∴|AD| ＝ 2 9．C [ 解析 ] → → → 設(shè) a＝ ( x，y，z) ，由條件知 AB＝ ( － 2，－ 1，3) ，AC＝(1 ，－ 3，2) ，∵a⊥ AB， → a⊥AC， | a| ＝ 3， － 2x－ y＋ 3z＝ 0， ∴ x－3y＋ 2z＝0， 將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)知選 C. x2＋ y2＋z2＝3， 10．60 [ 解析 ] 以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB，AD，AP所在的直線(xiàn)分別為 x 軸， y 軸， z 軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(0 ， 0， 0) ，P(0 ， 0， 3) ， B(3 ， 0，0) ， D(0 ， 3，0) ， (6 ， 3， 0) ． C → → → → → → 9 1 PDBC PD＝ (0 ，3，－ 3) ，BC＝ (3 ， 3，0) ，所以 cos 〈PD，BC〉＝ ＝ ＝ ， | → | → | 3 2 3 2 2 | PD BC → → PD與 BC所成的角等于 60 . 即〈 PD， BC〉＝ 60，于是直線(xiàn) 5 11． 120 [ 解析 ] → → → → 作 AC⊥ x 軸于 C， BD⊥x 軸于 D，則 AB＝ AC＋CD＋ DB， → → ＝5，| → → →→ →→ →→→ ∵ | AC| ＝ 3，| CD| DB| ＝ 2，ACCD＝ 0 ，CD DB＝ 0 ，ACDB＝ | AC| | DB|cos(180 －θ ) ＝－ 6cos θ ， → 2 → → → 2 → 2 → 2 → 2 → → → → → → ∴ | AB| ＝( AC＋ CD＋DB) ＝ | AC| ＋ | CD| ＋ | DB| ＋ 2( AC CD＋CD DB＋ DB AC) ， ∴ (2 2 2 2 2 1 11) ＝ 3 ＋ 5 ＋2 ＋ 2(0 －0－ 6cos θ) ，∴ cos θ ＝－ . 由于 0≤ θ≤ 180，∴ θ 2 ＝120 . 10 如圖，以 D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 D－ xyz. 則 D(0 ，0，0) ，A( 12. 5 [ 解析 ] 2， 0， 0) ，B( 2， 2，0) ，C(0 ， → → ， 2， 2，0) ， S(0 ，0，2) ，得 SA＝( 2，0，－ 2) ，SC＝ (0 －2) ． 設(shè) 平面 的一個(gè)法向量為 ＝ ( x ， ， ) ， ACS n y z → 2x－ 2 z＝ 0， nSA＝ 0， 則 → 即 z ＝ 0， 2 － 2 ＝0. n y SC 取 z＝ 2，得 n＝(2 ， 2， → 2， 0) ．設(shè)二 2) ．易知平面 ASD的一個(gè)法向量為 DC＝ (0 ， → 面角 － － 的大小為 θ ，則 |cos θ| ＝ | nDC| ＝ 10 . 結(jié)合圖形知二面角 － － 的 C AS D → 5 C AS D | n| |DC| 10 余弦值為. 5 13． 1 [ 解析 ] 以 D1 為原點(diǎn)，直線(xiàn) D1A1， D1C1， D1D為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐 1 標(biāo)系，則 A(1 ， 0， 1) ， B(1 ，1， 1) ， B (1 ， 1， 0) ， 設(shè) DF＝ t ，CE＝ k，則 D1F＝ 1－t ，∴ F(0 ，0，1－ t ) ，E( k，1，1) ，要使 B1E⊥平面 ABF，易知 AB⊥ B1E，故只要 B1E⊥ AF即可， ∵ → ＝ ( － 1， 0，－ t → ＝ ( k － 1， 0， 1) ，∴ → → ＝ 1－ － ＝ 0，∴ k ＋ ＝1，即 ) ， 1 1 AF B E AF B Ek t t CE＋ DF＝ 1. → → → → 1 → → 14．證明： (1) 如圖， EG＝ EB＋ BG＝ EB＋ 2( BC＋BD) → → → → → ＝ EB＋BF＋ EH＝ EF＋ EH， 由共面向量定理知： E， F， G， H四點(diǎn)共面． 6 → → → 1→ 1→ 1 → → 1→ (2) ∵ EH＝ AH－ AE＝2AD－ 2AB＝2( AD－ AB) ＝ 2BD， 且 E，H， B， D四點(diǎn)不共線(xiàn)，∴ EH∥ BD. 又 EH? 平面 EFGH， BD?平面 EFGH， ∴ BD∥平面 EFGH. 15．解：如下圖， 建立空間直角坐標(biāo)系 － xyz . ∵ ⊥平面 ， 與平面 成 60 A PA ABCDPB ABC 角，∴∠ PBA＝ 60 . 取 AB＝ 1，則 A(0 ， 0， 0) ， B(1 ， 0，0) ， C(1 ， 1， 0) ， P(0 ， 0， 3) ，D(0 ， 2，0) ． → → → (1) ∵ AC＝ (1 ， 1，0) ， AP＝(0 ， 0， 3) ， CD＝ ( － 1， 1， 0) ， → → 0＝ → → ∴ ACCD＝－ 1＋ 1＋ 0，AP CD＝ 0. ∴ ⊥ ， ⊥ ，∴ ⊥平面. AC CD AP CD CD PAC 又 CD? 平面 PCD，∴平面 PCD⊥平面 PAC. (2) ∵ → ＝ 1→ ，∴ 2 2 3 ，∴ → ＝ 2 2 3 . 又 → ＝ (1 ，0，－ 3) ，∴ → → E 0， ， 0， ， PE PD AE PB AE PB 3 3 3 3 3 ＝－ 2. → → → → －2 3 AE PB ∴ cos〈 AE， PB〉＝ → ＝ ＝－ . → 4 4 | AE| |PB| 32 ∴異面直線(xiàn) 與 PB 所成的角的余弦值為 3 . AE 4 【難點(diǎn)突破】 16．證明： (1) 如下圖，連接 OP，由條件可得 OB， OC， OP兩兩垂直，以點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 OB， OC， OP所在直線(xiàn)為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 O－ xyz ，由條件知， OA＝ OC＝8，PO＝ 6，OB＝ 8，則 O(0 ，0，0) ，A(0 ，－ 8， 0) ，B(8 ， 0，0) ，C(0 ，8，0) ， P(0 ， 0， 6) ， E(0 ，－ 4， 3) ，F(xiàn)(4 ， 0，3) ， G(0 ， 4， 0) ． → → 因?yàn)?OB＝ (8 ， 0， 0) ， OE＝ (0 ，－ 4，3 ) ，所以平面 BOE的一個(gè)法向量 n＝ (0 ， 3， 4) ， → 4，－ 3) → 由 FG＝ ( － 4， ，得 n FG＝ 0. 又直線(xiàn) 不在平面 內(nèi)，所以∥平面. FG BOE FG BOE (2) 設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 ( x ， y ，0) ，則 FM＝ ( x － 4，y ，－ 3) ． 0 0 → 0 0 因?yàn)? ⊥平面 ，所以 →∥ ，因此 x ＝ 4， 9 的坐標(biāo)是 9 0 0＝－ ，即點(diǎn) 4，－ ， 0 . FM BOE FM n y 4 M 4 x>0， 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，△ AOB y<0， 的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組 x－ y<8. 經(jīng)檢驗(yàn)， 點(diǎn) M的坐標(biāo)滿(mǎn)足上述不等式組， 所以在△ AOB內(nèi)存在一點(diǎn) M，使 FM⊥平面 BOE. 7