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1、 廣東六校 2019 年高三 5 月高考重點 - 數(shù)學（理） 2018 屆高三 5 月高考模擬考試 數(shù)學〔理〕試題 本試卷共 21 小題，總分值 150 分?？荚囉脮r 120 分鐘。 【一】選擇題〔本大題共 8小題，每題 5分，總分值 40分。在每題給出的四個選項中，只有一 項為哪一項符合題目要求的〕 1、滿足 i 3 z 1 3i 的復數(shù) z 的共軛復數(shù) 是〔〕 ．．．． A、 3 i B、 3 i C、 3 i D、 3 i 2、函

2、數(shù) f ( x) 1 的定義域為 M ， g ( x) ln(1 x) 的定義域為 N ，那么 M N 〔〕 1 x A、 x | x 1 B、 x | x 1 C、 x | 1 x 1 D、 3、如圖給出的是計算 1 1 1 的值的一個程序框圖， 圖中空白執(zhí)行框內(nèi)應填入 1 3 5 2013

3、 〔〕 A、 i i 1 B、 i i 1 C、 i i 2 D、 i i 2 開 始 2x y ≤ ， 40 4、假設變量 x， y 滿足 x 2

4、y ≤ 30， 3 y 的最大值是 i=1, S=0 x ≥ ， 那么 z x 0 y ≥ ， 否 0 i 2013 〔〕 A、 90 B、 80

5、 是 輸出 S C、 50 D、 40 1 1 = + 5、記等比數(shù)列 { an } 的前 n 項和為 Sn ，假設 a1 ， 2 ，那么 S4 S S i 結 束 S2 A、

6、 2 B、 6 2 C、 16 D、 20 6、直線 l1 : y 4x ， l2 : y 4x ，過 M ( 3 , 2) 的直線 l 與 l1, l2 分 第 4 題圖 2 別交于 A, B ，假設 M 是線段 AB 的中點，那么 | AB |等于〔〕

7、 A、 12 B、 145 C、 146 D、 147 7、某四棱錐的三視圖，如右圖。那么此四棱錐的體積為〔〕 A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 8、設 x 0 ，y 0 ，定義 x y x 2 x y y x max 等于 ，那么 x y +2 x2 y2 〔〕 A、 1 5 B、 3 2 2 2 2

8、 C、 2 3 D、 1 3 2 2 2 【二】填空題〔本大題共 7小題，分為必做題和選做 4 2 題兩部分、每題 5分，總分值 30分〕 正視圖 側(cè)視圖 〔一〕必做題〔第 9 至 13 題為必做題，每道試 2 題考生都必須作答〕 9、某校共有學生 2000 名，各年級男、女生人數(shù)如 2 下表、在全校學生中隨機抽取 1 名，抽到二年級女 生的概率是 0、19、現(xiàn)

9、用分層抽樣的方法在全校抽取 俯視圖 64 名學生，那么應在三年級抽取的學生人數(shù)為、 10、假設 一年級 二年級 三年級 373 x y 女生 男生 377 370 z f ( x)  2ex 1 ，x log 3 ( x2  2， 那么 f ( f (2)) 的值為 . 1) ，x 2. 11、曲線 y x3  ax 3 在點〔 1， m 〕處的切線方程為 y 2x n ，那么 a 、〔 ， ， a mn

10、 為常數(shù)〕 12、 f ( x) 2sin( x ) (| | ) ，假設 x 1是它一條對稱 3 2 軸，那么 、 13、如右圖，等邊△ ABC 中， AB 2 AD＝AC＝4AE＝4 ，那么 BE CD 、 〔二〕選做題〔 14～15 題，考生只能從中選做一題〕 x 4cos 為參數(shù)〕上 14、〔坐標系與參數(shù)方程選做題〕曲線 〔 y 2 3 sin 一點 P 到點 A 2，0 與 B 2 ，0 的距離之和為、 15、〔幾何證明選講選做題〕如右圖，在 Rt

11、△ ABC 中，斜邊 AB 12 ，直角邊 AC 6 ，假如以 C 為圓心的圓與 AB 相切于 D ，那么⊙ C 的半徑長為、 【三】解答題〔本大題共 6小題，總分值 80分、解答須寫出文字說明、證明過程 和演算步驟〕 16、〔本小題總分值 12 分〕函數(shù) f (x) 3 sin 2x cos2 x 1 ，x R 、 2 2 〔 1〕求函數(shù) f ( x) 的最小值和最小正周期； 〔 2〕設△ ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a,b, c 且 c 3 ， f (C

12、) 0 ，假設 sin B 2sin A ，求 a, b 的值。 17、〔本小題總分值 12 分〕 PM2.5 是指大氣中直徑小于或等于 2.5 微米的顆粒物，也稱為可 入肺顆粒物。我國 PM2.5 標準采納世衛(wèi)組織設定的最寬限值，即 PM2.5 日均值在 35 微克 / 立方米以下空氣質(zhì)量為一級； 在 35 微克 / 立方米 ~ 75 微克 / 立方米之間空氣質(zhì)量為二級； 在 75 微克 / 立方米以上空氣質(zhì)量為超標、 某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū) 2017 年全年每天的 PM2.5 監(jiān)測數(shù)

13、據(jù)中隨機的抽取 15 天的 數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示〔十位為莖，個位為葉〕 〔 1〕從這 15 天的 PM2.5 日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率； 〔 2〕從這 15 天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，記 表示抽到 PM2.5 監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求 的分布列； 〔 3〕以這 15 天的 PM2.5 日均值來可能一年的空氣質(zhì)量情況，那么一年〔按 360 天計算〕中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到一級或二級。 18、〔本小題總分值 14 分〕在如下圖的幾何體中， ABC 是邊長為 2 的正三角形， AE 1，

14、AE 平面 ABC，平面 BCD 平面 ABC， BD=CD，且 BD CD 、 〔 1〕假設 AE=2，求證： AC∥平面 BDE； 〔 2〕假設二面角 A— DE—B 為 60、求 AE的長。 19〔、本小題總分值 14 分〕數(shù)列 { an } 的前 n 項和為 Sn ，Sn an 1 n2 3 n 1，(n N *) 、 2 2 〔 1〕設 bn an n，證明：數(shù)列 bn 是等比數(shù)列； 〔 2〕求數(shù)列 nbn 的前 n 項和 Tn ；

15、 1 n 2013 ci 2 ci 1 〔 3〕假設 cn 2 an P ci 2 ci 、求不超過 P 的最大整數(shù)的值。 ，i 1 20、〔本小題總分值 14 分〕如下圖： 過拋物線 x 2 4 y 的焦點 F 的直線 l 與拋物線相交于 A， B 兩點。 〔 1〕求證：以 AF 為直徑的圓與 x 軸相切； 〔 2〕設拋物線 x 2 4 y 在 A， B 兩點處的切線的交點為 M，假 設點 M的橫坐標為 2，求△ A

16、BM的外接圓方程； 〔 3〕設過拋物線 x2 4 y 焦點 F 的直線 l 與橢圓 3y 2 3x2 4 1 的交點為 C、 D，是否存在直線 l 使得 2 AF CF BF DF ，假 存在，求出直 l 的方程，假 不存在， 明理由。 21、〔本小 分 14分〕函數(shù) f (x) ln x ， g( x) k x 1 〔 1〕求函數(shù) F ( x) f ( x) g( x) 的 區(qū) ； x 1 〔 2〕當 x 1 ，函數(shù)

17、 f ( x) g (x) 恒成立，求 數(shù) k 的取 范 ； 〔 3〕 正 數(shù) a1, a2 , , an 足 a1 a2 an 1 、求 ： ln 1 1 ln 1 1 ln 1 1 2n2 、 a12 a22 an2 n 2 參考答案 【一】 號  1  2  3  4  5  6  7  8 答案  D  C  D  C  D

18、  B  B  A 1、【解析】 z 1 3i 1 3i i = 3+ i 、 D、 i 3 2、【解析】 M x x 1 ， N x x 1 、 C、 3、【解析】因 分母 1， 3， 5， 7， 9，?， 2018 ，因此 填入 i i 2 、 D、 4、【解析】畫出可行域〔如 〕 ，在 B(10,20) 點取最大 zmax 10 3 20 50 、答 案： C、

19、 1 (1 q2 ) 5、【解析】 S2 2 2 1 q 3 q 3 ， 1 q 1 (1 q4 ) 1 (1 q2 ) S4 2 2 (1 2 ) 2 10 20 、 D、 1 q 1 q q 6 、 【 解 析 】 設 A( x1 ，4 x1 ) 、 x1 x2

20、3 ， x1 2， 2 2 B( x2 ， 4x2 ) 、 4x1 4x2 x2 ， 因 此 A(2 ，8) 2， 1， 2 B(1 ， 4) 、 因此 AB = (2 1) 2 [8 ( 4)]2 1 144 145 、 B、 7、【解析】如 ，四棱 A BCDE 、

21、D C 1 6 V 2 4 、 B、 3 ( x ，y) 的角 8、【解析】 點 〔不妨 E B 設(0 ， ) 〕那么 2 2 2sin cos 1 cos2 sin2 A cos 2 sin2 1 1 1 2 sin(2 1 ，其中 1

22、 cos2 2 1 ( ) ) 是 (1 ， ) 的角〔不 2 2 2 2 妨 (0 ， ) 〕、 2 x 2 +2 x y y x 1 5 、 A、 當 ，有 y 2 2 max 【二】填空 〔本大 共 7 小 ，分 必做 和 做 兩

23、部分、每 5 分， 分 30 分〕 9、 16， 10、 2，11、 1 ， 12、 ，13、 3 ， 14、 8 ， 15、 3 3 ， 6 9、【解析】依 意我 明白二年 的女生有 380 人，那么三年 的學生的人數(shù) 是 500 ，即 體中各個年 的人數(shù)比例 3 : 3 : 2 ，故在分 抽 中 在三年 抽取的學生人 數(shù) 64 2 16 、答案： 16 、 8

24、 e1 1 10、【解析】 f ( f (2)) f (1) 2 2 、答案： 2 、 11、【解析】 y 3x2 a 2 3 12 a a 1 、答案： 1 、 12、【解析】由得 x k 2 ，k Z ，由 x 1代入得 3 k ，k Z ， 6 又 | | 2 ，因此 、答案： 6 、 6

25、 13、【解析】 BE BA AE AB 1 AC , 1 4 CD CA AD AC AB 2 BE CD ( AB 1 AC ) ( AC 1 4 AB ) 9 AB AC 1

26、 AB 1 AC 9 2 4cos A 1 421 42 9 8 4 3 、 2 2 4 8 3 、 2 4 8 2 4 答案： 〔二〕 做 〔 14～ 15 ，考生只能從中 做一 〕 14、【解析】曲 x 4cos 表示的 準方程 y 2 3sin

27、 x2 y2 1，可知點 A 2,0 ， B 2,0 的焦點，故 16 12 PA PB 2a 8 、答案： 8 、 15、【解析】 連 C ，D 那么 B DCA 300 ，在 Rt ADC 中， CD AC sin DAC , CD 6 3 3 3 、答案： 3

28、 3 、 2 6小 ， 分 80分、解答 寫出文字 明、 明 程和演算 【三】解答 〔本大 共 步 〕 16、【解析】〔 1〕 f ( x) 3 sin 2 x 1 cos2x 1 sin(2 x ) 1 ，? 3 分 2 2 2 6 那么 f ( x) 的最小 是 2 ，

29、 最小正周期是 T 2 ；???? 6 分 2 〔 2〕 f (C ) sin(2C ) 1 0 ，那么 sin(2C 6 ) 1 0 ，???? 7 分 6 11 0 C , 0 2C 2 , 因此 2C ， 6 6 6

30、 因此 2C 6 ， C ，???? 9 分 2 3 因 sin B 2sin A ，因此由正弦定理得 b 2a ，??①???? 10 分 由余弦定理得 c2 a 2 b2 2abcos ，即 c2 a 2 b2 ab 3 ??②??? 11 分 由①②解得： a 1 ， b 2 3

31、 、???? 12 分 17、【解析】〔1〕 “從 15 天的 PM2.5 日均 數(shù)據(jù)中，隨機抽出三天，恰有一天空氣 量達到一 ” 事件 A ， P( A) C51 C102 45 、???????? 4 分 C153 91 〔 2〕依據(jù)條件， 服從超幾何分布： 其中 N 15, M 5,n 3， 的可能 0,1

32、,2,3 ， 其分布列 ： k C5kC103 k k ???????? 7 分 P C153 0,1,2,3 0 1 2 3 P 24 45 20 2 91 91 9

33、1 91 ???????? 7 分 〔 3〕依 意可知，一年中每天空氣 量達到一 或二 的概率 P 10 2 ，10 分 15 3 ~ 一年中空氣 量達到一 或二 的天數(shù) ，那么 2

34、 B(360, ) 3 E 360 2 240 ， 一年中平均有 240 天的空氣 量達到一 或二 。 12 分 3 18、【解析】〔 1〕分 取 BC， BA， BE 的中點 M，N， P , 接 DM ， MN ，

35、 ， DP , 那么 MN ∥ AC , NP ∥ AE , 且 NP= 1 AE 1 ， NP 2 因 BD CD ， BC 2 , M 為 BC 的中點， 因此 DM BC , DM 1， 又因 平面 BCD ⊥平面 ABC ， 因此 DM 平面 ABC 、????? 3 分

36、 又 AE 平面 ABC , 因此 DM ∥ AE ，?? 5 分 因 此 DM ∥ NP ， 且 D M N, 因P此四 形 DMNP D 平行四 形， 因此 MN ∥ DP ，因此 AC ∥ DP ，又 AC 平面 BDE ，DP 平面 BDE ， 因此 AC ∥平面 BDE . ? 7 分 〔或者建立空 直角坐 系，  E P A 求出平面 BDE 的法向量 n1， 算 C M n1 AC 0 即 〕 〔 2

37、〕解法一 : 過 M 作 MH 垂直 ED 的延 于 H , 接 BH . 因 BC AM , BC D DM , 因 此 BC 平 面 D M , ED 平面 DMAE H 那么有 BC ED . B 因 此 ED BMH 平 面 M BH 平面 , C , 因此 ED BH . M 因 此 M H B 二 面 角 為 A ED B 的平面角，

38、 即 MHB =60 . ?? 10 分 在 Rt 1 , 2 BMH 中， BM =1，那么 MH = BH =. 3 3 在 Rt 6 MHD 中， DH =. 3 設 AE h 1 ， 那 么 D E 2 h3 , 因 此 H E BE h 2 122

39、 2 在 Rt BHE 中 , BE 2 BH 2 NE 2 , 即 h 2 22 = 2 1 3 解得 h 6 ，因此 AE 6 1、?????? 14 分 解法二 : 由〔 1〕知 DM 平面 ABC ， AM MB , 建立如下 的空 直角坐 系 M xyz . 設 AE h ，那么 M 0，0，0 , B 1

40、，0，0 , D 0 ，0，1 A 0 ， 3 ，0 , E 0， 3 ，h ， BD 1，0，1 , BE 1， 3 ，h . 平面 BDE 的法向量 n1 ( x , y , z)  N E A 2 h3 6 3 h2 3 6 3 z E

41、 D  B B ， 又 2 ， y A BD n1 0 , 因此 x z 0 ， 那么 x 3y zh 0. BE n1 0 ,

42、 令 x 1 , 因此 n1 (1, 1 h ,1) ， 3 ???????? 11 分 又平面 ADE 的法向量 n2 (1, 0 ,0) ， 因此 cos n1 , n2 n1 n2 1 2 1 ， n1 n2 2 12 12 1 h

43、 3 解得 h 6 1，即 AE 6 1、???????? 14 分 19、【解析】 (1) 因 1 n2 3 n ， an Sn 1 2 2 因此①當 n 1 ， 2a1 1 ，那么 a1 1 ，???????????? 1 分 ②當 n≥ 2 ， 2 ，???????? 2 分 an

44、 1 Sn 1 1 2 3 2 ( n 1) 2 (n 1) 1 因此 2an an 1 n 1 ，即 2(an n) an 1 n 1 ， 因此 1 ，而 a1 1 1 ，???????? 4 分 bn 2 bn 1 (n ≥ 2) b1 2 因此數(shù)列 bn 是首 1 ，公比 1 的等比

45、數(shù)列，因此 bn 1 2 2 2  n 、????? 5 分 〔 2〕由(1) 得 n 、 nbn n 2 因此① Tn 1 2 3 4 .......... n 1 n ， 2 22 23 24 2n 1 2n ② 2Tn 1 2 3 4 .......... n 1 n ，????? 7 分 2 22 23 2n 2 2 n 1

46、 ② - ①得： Tn 1 1 1 ...... 1 n ，????? 8 分 n 2 22 2n 1 2n 1 1 2 n n 2 Tn 2 1 2n 2n . ?????? 10 分 1

47、 2 n 〔 3〕由 (1) 知 a n 1 n cn n ?????? 11 分 2 cn 2 cn 1 n( n 1) 1 1 1 1 1 1 ，??? 13 分 cn 2 cn

48、 n( n 1) n( n 1) n n 1 因此 P 2013 ci 2 ci 1 c 2 c i 1 i i (1 1 1) (1 1 1) (1 1 1) (1 1 1 ) 2014

49、 1 ， 1 2 2 3 3 4 2013 2014 2014 故不超 P 的最大整數(shù) 2013、????????????????? 14 分 20、【解析】〔 1〕解法一〔幾何法〕 段 AF 中點 O1 ， O1 作 O1O2 垂直于 x ， 垂足 O 2 , 那么 | AF | | AA1 | P | AA1 | 1 | AA1 | | OF | 2

50、 r 2 2 2 2 ，????? 2 分 又∵ | O1 O2 | | AA1 | | OF | ，????? 3 分 2 ∴ r | O1O 2 | ∴以 段 AF 直徑的 與 x 相切。????? 4 分 解法二〔代數(shù)法〕 A( x1 , y1 ) , 段 AF中點

51、 O1 ， O1 作 O1O2 垂直于 x ， 垂足 O2 ，那么 | AF | x1 2 ( y1 1) 2 4 y1 ( y1 1) 2 y1 1， ∴ r y1 1 2 分 2 、????? 又∵點 O1 段 AF 的中點，∴ | O1O2 | yA yF y1 1 ，????? 3 分 ∴ r | O1O 2 | ，

52、 2 2 ∴以 段 AF 直徑的 與 x 相切。????? 4 分 〔 2〕 直 AB的方程 y kx 1， A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ， y kx 1 x2 4kx 4 0， 由 4 y x2 x1 x2 4k 5 分

53、 ∴ 、????? x1 x2 4 由 x2 4y y x2 y x ， 4 2 K MA K MB x1 x2 x1 x2 4 1 ， 2 2 4 4 MA MB ????? 6 分

54、 MAB為 Rt ，故 MAB 的外接 心 段 AB 的中點。 段 AB 中點 點 P，易 ⊙ P 與拋物 的準 相切，切點 點 M， xP xM 2， x1 x2 2 2k 2， k 1、?? 7 分 2 yP y1 y2 (kx1 1) (kx2 1) x1 x2 2 4k 2 圓心 P(2,3) 8 分 2 2 2

55、 3 2 又 r | MP | | 3 ( 1) | 4 ， 所求 MAB 的外接圓的方程為 : ( x 2) 2 ( y 3)2 16 、????? 9 分 〔 3〕 | AF | |CF | | BF | | DF | ， | AF | | DF | ， | AF | | DF | ， 10 分 | BF | |CF | | BF | | CF | 那么 AF FB 且 D

56、F FC ， C (x3 , y3 )，D( x4 , y4 ) ，那么 ( x1 ,1 y1 ) (x2 , y2 1) x1 x2 即 x1 x2 ????? 11 分 ( x4 ,1 y4 ) ( x3 , y3 1) x4 x3 x4 x3 將 x1 x2 代入 x1 x2 4k 1 、①????? 12 分 x1 x2 可得： 1)2

57、 4 ( 4k 2 y kx 1 x3 x4 2k k 2 2 ， 由 4y 2 2x2 1 (3k2 6) x2 6kx 1 0 3 3 x3 x4 3k2 1

58、 6 立 x4 x3 可得 3k 2 6 13 分 1)2 ，②????? ( 36k 2 立①②可得 1 3k 2 6 ，解得 k 2 1 k 1、

59、4k 2 36k 2 所求直線方程為 : y x 1 。????? 14 分 存在符合題意的直線且 21、【解析】〔 1〕 F ( x) ln x k x 1 x2 x 1 F ( x) 1 k ( x 2 2(1 k) x 1 ，?? 1分 x 1)2 x( x 1)2

60、 由 x2 2(1 k)x 1 0 的判 式 4(1 k )2 4 4( k 2 2k) ， ①當 0 即 k 0,2 ， F (x) 0 恒成立，那么 F (x) 在 (0, ) 增；? 2 分 ②當 k 0 ， F (x) 0 在 (0, ) 恒成立，那么 F ( x) 在 (0, ) 增；? 3 分 ③ 當 k 2 時 ， 方 程 x2 2(1 k ) x 1 0 的

61、 兩 正 根 為 k 1 k2 2k ,k 1 k 2 2k 那么 F ( x) 在 (0, k 1 k 2 2k ) 增， (k 1 k 2 2k ,k 1 k2 2k ) 單調(diào) 減， (k 1 k2 2k , ) 增、 上，當 k 2 ，只有 增區(qū) ； 當 k

62、2 ， 增區(qū) (0, k 1 k 2 2k ) ， (k 1 k 2 2k , ) ； 減區(qū) (k 1 k2 2k , k 1 k 2 2k ) 、?? 5 分 〔 2〕即 x 1 ， F ( x) 0 恒成立、 當 k 2 ， F ( x) 在 (0, ) 增， ∴當 x 1 ， F ( x) F (1) 0 足條件

63、、? 7 分 當 k 2 ， F ( x) 在 ( k 1 k 2 2k , k 1 k2 2k ) 減， 那么 F ( x) 在 (1, k 1 k 2 2k ) 減， 如今 F ( x) F (1) 0 不 足條件， 故 數(shù) k 的取 范 ，2 、?? 9 分 〔 3〕由

64、〔 2〕知， ln x 2 x 1 在 (1, ) 恒成立， x 1 1 令 x 1 1 1 2 an 2 2 2 ，?? 10 分 an 2 ，那么 ln(1 2 ) 1 2 an 2

65、2an 1 2an 1 an 2 n 12 ) 1 1 1 ∴ ln(1 2( ) 、?? 11 分 i 1 ai 2a1 1 2a2 1 2an 1 又 ( 1 1 1 1 ) (2a1 1) (2 a2 1) (2an 1) n2 ， 2a1 1 2a2 2an 1 ∴ 2( 1 1 1 1 ) 2n2 ，?? 13 分 2a1 1 2a2 2an 1 n 2 n 1 2n 2 ln(1 、?? 14 ∴ 2 ) n 分 i 1 ai 2