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1、 第 5章 軌跡規(guī)劃 （ 4學(xué)時(shí)） 學(xué)習(xí)目的： 1 理解軌跡規(guī)劃原理 2 學(xué)會(huì)用軌跡規(guī)劃處理實(shí)際問(wèn)題 學(xué)習(xí)內(nèi)容： 1 軌跡規(guī)劃原理 2 關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃 3 直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃 4 連續(xù)軌跡紀(jì)錄 定義： 如果規(guī)定一個(gè)機(jī)器人從 A點(diǎn)經(jīng)過(guò) B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 C點(diǎn)而不 強(qiáng)調(diào)時(shí)間的概念，那么這一過(guò)程中的位形序列就構(gòu) 成了一條 路徑 。如果我們強(qiáng)調(diào)到達(dá)其中任意一點(diǎn)的 時(shí)間，那么這就是一條 軌跡 。我們可以看出軌跡和 路徑的區(qū)別就在于 軌跡依賴(lài)速度和加速度 。 5.1 路徑與軌跡 5.2 關(guān)節(jié)空間描述與直角空間描述 1 關(guān)節(jié)空間描述 如果給定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，就可以利用逆 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算出每個(gè)關(guān)節(jié)的

2、矢量角度值；然后機(jī) 器人控制器驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)電機(jī)運(yùn)動(dòng)使機(jī)器人到達(dá)相應(yīng)的 位置。這種以關(guān)節(jié)角度的函數(shù)來(lái)描述機(jī)器人軌跡的 方法稱(chēng)為關(guān)節(jié)空間法。 特點(diǎn)： 在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，中間狀態(tài)是不可知 的，但計(jì)算量較小，不會(huì)出現(xiàn)奇異點(diǎn) 。 2 直角坐標(biāo)空間描述 將軌跡分成若干段，使機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)這些中間 點(diǎn)，在每一點(diǎn)都求解機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量，直到到達(dá) 終點(diǎn)，如下圖所示： 特點(diǎn)： 路徑可控且可預(yù)知，直觀、容易看到機(jī)器人 末端軌跡；但計(jì)算量大，容易出現(xiàn)奇異點(diǎn) ，如下圖 所示： 直角空間描述 軌跡穿過(guò) 機(jī)器人自 身 關(guān)節(jié)值突變 5.3 軌跡規(guī)劃的基本原理 一 關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃 1. 計(jì)算起點(diǎn)和終點(diǎn)的關(guān)節(jié)變量，各關(guān)節(jié)都

3、以最大角 速度運(yùn)動(dòng) 特點(diǎn)： 軌跡不規(guī)則，末端走過(guò)的距離不均勻，且各 關(guān)節(jié)不是同時(shí)到達(dá)。 A B 2. 在 1的基礎(chǔ)上對(duì)關(guān)節(jié)速率做歸一化處理，使各關(guān) 節(jié)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。 特點(diǎn)： 各關(guān)節(jié)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，軌跡各部分比較均 衡，但所得路徑仍然是不規(guī)則的。 A B 二 直角坐標(biāo)空間軌跡規(guī)劃 1. 首先畫(huà)出路徑，接著將路徑 n等分 (為了獲得較好 的沿循精度， n越大越好 ) ，分別計(jì)算到達(dá)各點(diǎn)所需 的關(guān)節(jié)變量。 特點(diǎn)： 關(guān)節(jié)角非均勻變化，末端沿已知路徑行走。 2. 在 1的基礎(chǔ)上，考慮各關(guān)節(jié)的加速減速時(shí)間，為 防止在加速期間軌跡落后于設(shè)想的軌跡，在劃分分 界點(diǎn)時(shí)，如果是直線(xiàn)軌跡，就按照方程劃分。曲線(xiàn) 軌跡就

4、相對(duì)復(fù)雜一些。 3. 多點(diǎn)的情況 （ 1） 從 A向 B先加速 ， 再勻速 ， 接近 B時(shí)再減速 ， 從 B到 C再重復(fù) 。 為避免這一過(guò)程中不必要的停 止動(dòng)作 ， 可將 B點(diǎn)兩邊的動(dòng)作進(jìn)行平滑過(guò)渡 。 機(jī) 器人先抵達(dá) B點(diǎn) ， 然后沿著平滑過(guò)渡的路徑重新 加速 ， 最終抵達(dá)并停止在 C點(diǎn) 。 （ 2）考慮到由于采用了平滑過(guò)渡曲線(xiàn)，機(jī)器人經(jīng) 過(guò)的可能不是原來(lái)的 B點(diǎn)，可事先設(shè)定一個(gè)不同 的 B點(diǎn)，使曲線(xiàn)正好經(jīng)過(guò) B點(diǎn)。 (3) 在 B點(diǎn)前后各加過(guò)渡點(diǎn) D,E，使得 B點(diǎn)落在 DE上。 三 軌跡規(guī)劃的分類(lèi) 1) 對(duì)于點(diǎn)位作業(yè)機(jī)器人，需要描述它的起始狀態(tài)和 目標(biāo)狀態(tài)。如果用 表示工具坐標(biāo)系的起始值

5、， 表示目標(biāo)值，就是表示這兩個(gè)值的相對(duì)關(guān)系。 這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng) (PTP) 2) 對(duì)于弧焊、研磨、拋光等曲面作業(yè)，不僅要規(guī)定 起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，還要規(guī)定中間整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程。對(duì) 于一段連續(xù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，理論上無(wú)法精確實(shí)現(xiàn)，實(shí)際 上是選取一定數(shù)量 (滿(mǎn)足軌跡插補(bǔ)精度 )的點(diǎn)作為中 間點(diǎn)，從而近似實(shí)現(xiàn)沿給定的路徑運(yùn)動(dòng)。 這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為連續(xù)路徑運(yùn)動(dòng)或輪廓運(yùn)動(dòng) (CP) 3) 障礙約束軌跡規(guī)劃 0T fT 5.4 關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃 0)( 0)( )( )( 32 210 3 f i ff ii t t t t tctctcct ：這里初始和末端條件是 一、 三次多項(xiàng)式的軌跡規(guī)劃 我們假設(shè)機(jī)器人某一關(guān)節(jié)的

6、運(yùn)動(dòng)方程是三次的 從上例可以看出，若我們已知開(kāi)始和終止時(shí)刻 的角度以及角速度，那么就可以求得 ，進(jìn)而求 得關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程。 ic 032 0 32 2 21 1 32 210 0 2 21 32 210 3 3 3 3 fff i f ffff ii tCtCCt Ct tCtCtCCt Ct tctcct tctctcct 得到：將初始和末端條件代入 求一階導(dǎo)數(shù)得到：對(duì) 盡管每一個(gè)關(guān)節(jié)都是分別計(jì)算的，但是在實(shí)際 控制中，所有關(guān)節(jié)自始至終都是同步運(yùn)動(dòng)； 如果機(jī)器人初始和末端速度不為零，可以通過(guò) 給定數(shù)據(jù)得到未知數(shù)值； 如果要求機(jī)器末端人依次通過(guò)兩個(gè)以上的點(diǎn)， 則每一段求解出的邊界速度和位置均可

7、作為下一段 的初始條件，其余相同； 位置、速度連續(xù)，但是加速度不連續(xù)。 例 5.1： 已知一個(gè)關(guān)節(jié)在 5秒之內(nèi)從初始角 30度運(yùn)動(dòng) 到終端角 75度，使用三次多項(xiàng)式計(jì)算在第 1， 2， 3， 4秒時(shí)關(guān)節(jié)的角度。（我們假設(shè)在開(kāi)始和終止的瞬 間關(guān)節(jié)的速度是 0) 解：由題意可得到 0)5(3)5(2)( 0)( 75)5()5()5()( 30)( 2 321 1 3 3 2 210 0 ccct ct cccct ct f i o f o i 72.0 4.5 0 30 3 2 1 0 c c c c 由此得到位置，速度和加速度的多項(xiàng)式方程如下： tt ttt ttt 32.48.10 16.2

8、8.10 72.04.530 2 32 32.70)4( 16.59)3( 84.45)2( 68.34)1( 我們可以進(jìn)一步畫(huà)出關(guān)節(jié)的位置，速度和加速度曲線(xiàn) 可以看出，本例中需要的初始加速度為 10.8度 /秒 2 運(yùn)動(dòng)末端的角加速度為 -10.8度 /秒 2。 例題： 在例 5.1的基礎(chǔ)上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，要求在其后的 3秒內(nèi)關(guān)節(jié) 角到達(dá) 。畫(huà)出該運(yùn)動(dòng)的位置，速度和加速度曲線(xiàn)。 105 思路點(diǎn)撥： 可將第一運(yùn)動(dòng)段末端的關(guān)節(jié)位置和速度 作為下一運(yùn)動(dòng)段的初始條件。 解： tt ttt ttt 332.1320)( 666.620)( 222.21075)( 2 32 進(jìn)而可以畫(huà)出以下曲線(xiàn) 可以求得 其

9、中 3 0 62)( 32 32 2 21 32 210 3 3 f i t t tCCt tCtCCt tCtCtCCt 105 75 f i 0 0 f i 為保證 機(jī)器人 的加速 度不超 過(guò)其自 身能力， 應(yīng)考慮 加速度 的限制。 2m a x )( )(4 if if tt 根據(jù)此式可計(jì)算出達(dá)到目標(biāo)所需 要的時(shí)間 二、 五次多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃 同例 5.1，若采用 五 次多項(xiàng)式，若再已知初始 加速度和末端減速度均為 5 度 /秒 2 ，其他條件不變， 試畫(huà)出三條相應(yīng)曲線(xiàn)。（邊界條件變?yōu)?6個(gè)） 3 5 2 432 4 5 3 4 2 321 5 5 4 4 3 3 2 210 201262

10、)( 5432)( )( tctctcct tctctctcct tctctctctcct 根據(jù)這些方程，可以通過(guò)位置、速度和加速度 邊界條件計(jì)算出五次多項(xiàng)式的系數(shù)。 3 5 2 432 4 5 3 4 2 321 5 5 4 4 3 3 2 210 201262)( 5432)( )( tctctcct tctctctcct tctctctctcct 32 432 5432 3 0 928.096.66.95)( 232.032.28.45)( 0464.058.06.15.30)( 6.1 30 75 30 tttt ttttt ttttt c c f o i ：進(jìn)而得到如下運(yùn)動(dòng)方程 中，

11、得出： 將初始和末端條件代入 秒度 秒度 /0 /0 f i 2 2 /5 /5 秒度 秒度 f i 58.0 0 4 1 c c 0 4 6 4.0 5.2 5 2 c c 關(guān)節(jié)位置、速度和加速度圖形 三、拋物線(xiàn)過(guò)渡的線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)軌跡 如果機(jī)器人關(guān)節(jié)以恒定速度運(yùn)動(dòng)，那么軌跡方程就相當(dāng)于 一次多項(xiàng)式，其速度是常數(shù)，加速度為 0，這說(shuō)明在起點(diǎn)和終 點(diǎn)，加速度為無(wú)窮大，只有這樣才可以瞬間達(dá)到勻速狀態(tài)。但 很顯然這是不可能的，因此在起點(diǎn)和終點(diǎn)處，可以用拋物線(xiàn)來(lái) 進(jìn)行過(guò)渡。如圖所示 2 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 21 2 210 )( )( 2 1 )( 0 )( 0)0( )0( )( )

12、( 2 1 )( ct tct tct c c c ct ct ct ct tcct tctcct i ii 顯然，這個(gè)拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)段的加速度是一常數(shù)，并在公共點(diǎn) A 和 B上產(chǎn)生連續(xù)的速度。將邊界條件代入拋物線(xiàn)段的方程， 得到： 從而給出拋物線(xiàn)段的方程為： 假設(shè) ti和 tf時(shí)刻對(duì)應(yīng)的起點(diǎn)和終點(diǎn) 位置為 和 ，拋物線(xiàn)與直線(xiàn) 部分的過(guò)渡段在時(shí)間 tb和 tf-tb處是 對(duì)稱(chēng)的，因此可得： i f 0 2 2 1 2 2 2 f iABf AB bfAbbfAB bA biA ttttt tc tc 顯然，對(duì)于直線(xiàn)段，速度將保持為常值，它可以根據(jù) 驅(qū)動(dòng)器的物理性能來(lái)加以選擇。將零出速度、線(xiàn)性段 常

13、值速度 以及零末端速度代入 和 中， 可以得到 A、 B點(diǎn)以及終點(diǎn)的關(guān)節(jié)位置和速度如下： 2 22 1)( tct i tct 2)( 顯然， 不能大于總時(shí)間 的一半，否則在整個(gè)過(guò)程中 將沒(méi)有直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)段而只有拋物線(xiàn)加速和拋物線(xiàn)減速段。 由上式可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的最大速度 。應(yīng)該 說(shuō)明，如果運(yùn)動(dòng)段的初始時(shí)間不是 0而是 ，則可采用 平移時(shí)間軸的辦法使初始時(shí)間為 0。終點(diǎn)的拋物線(xiàn)段是 對(duì)稱(chēng)的，只是其加速度為負(fù)。因此可表示為： bfb b if bfbif b tttt tttc t c 2 2 2 2 2 2 fif t/)(2m a x 由上式可以求解過(guò)渡時(shí)間： 進(jìn)而由上式可以解得過(guò)渡時(shí)間： ffi

14、 b tt bt ft at b ff tcttct 2 2 22 1 其中 b f b f b f t t tt t t tt t t )( )()( )( 2 )( 2 例題： 若已知某關(guān)節(jié)以速度 =10度 /秒在 5秒內(nèi)從 初始角 運(yùn)動(dòng)到目的角 。求解所需的過(guò)渡 時(shí)間并繪制位置、速度和加速度曲線(xiàn)。 1 30i 70f 解：代入相應(yīng)公式可得到 10 10 530 , 1 2 t t s t t fBBAAi ffi b 的方程如下所示到由到由到由 0 10 10 tA 10 )5(10 )5(570 2 t t 曲線(xiàn)如下圖所示： 5.5 直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃 實(shí)際上，所有用于關(guān)節(jié)空間軌跡

15、規(guī)劃的方法 都可用于直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃。最根本的差 別在于，直角坐標(biāo)空間軌跡規(guī)劃必須反復(fù)求解逆 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來(lái)計(jì)算關(guān)節(jié)角，也就是說(shuō)，對(duì)于關(guān)節(jié) 空間軌跡規(guī)劃，規(guī)劃函數(shù)生成的值就是關(guān)節(jié)值， 而直角坐標(biāo)空間軌跡規(guī)劃函數(shù)生成的值是機(jī)器人 末端手的位姿，他們需要通過(guò)求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 化為關(guān)節(jié)量。 以上過(guò)程可以簡(jiǎn)化為如下的計(jì)算循環(huán)： 在工業(yè)應(yīng)用中，最實(shí)用的軌跡是點(diǎn)到點(diǎn)之間的直 線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，但也經(jīng)常碰到多目標(biāo)點(diǎn) (例如有中間點(diǎn) )間需 要平滑過(guò)渡的情況。 為實(shí)現(xiàn)一條直線(xiàn)軌跡，必須計(jì)算起點(diǎn)和終點(diǎn)位姿 之間的變換，并將該變換劃分許多小段。起點(diǎn)構(gòu)型 (1) 將時(shí)間增加一個(gè)增量 t=t+ (2) 利用所選擇的軌跡函數(shù)

16、計(jì)算出手的位姿 (3) 利用機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算出對(duì)應(yīng)手位姿 的關(guān)節(jié)量 (4) 將關(guān)節(jié)信息送給控制器 t 和終點(diǎn)構(gòu)型 之間的總變換 R可通過(guò)下面的方程進(jìn)行 計(jì)算： iT fi iifi if TTR RTTTT RTT 1 11 至少有以下三種不同方法可用來(lái)將該總變換化為 許多的小段變換。 (1) 希望在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間有平滑的線(xiàn)性變換，因 此需要大量很小的分段，從而產(chǎn)生了大量的微分運(yùn)動(dòng)。 利用上一章導(dǎo)出的微分運(yùn)動(dòng)方程，可將末端手坐標(biāo)系 在每個(gè)新段的位姿與微分運(yùn)動(dòng)、雅可比矩陣及關(guān)節(jié)速 度通過(guò)下列方程聯(lián)系在一起。 dTTT TdT JDD o ldn e w DJD 1 這一方法需要進(jìn)行大量的計(jì)

17、算，并且僅當(dāng)雅可比矩 陣逆存在時(shí)才有效。 (2) 在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的變換分解為一個(gè)平移和兩 個(gè)旋轉(zhuǎn)。平移是將坐標(biāo)原點(diǎn)從起點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)，第 一個(gè)旋轉(zhuǎn)是將末端手坐標(biāo)系與期望姿態(tài)對(duì)準(zhǔn)，而第 二個(gè)旋轉(zhuǎn)是手坐標(biāo)系繞其自身周轉(zhuǎn)到最終的姿態(tài)。 所有這 3個(gè)變換同時(shí)進(jìn)行。 (3) 在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的變換 R分解為一個(gè)平移和一個(gè) K軸的旋轉(zhuǎn)。平移仍是將坐標(biāo)原點(diǎn)從起點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)， 而旋轉(zhuǎn)則是將手臂坐標(biāo)系與最終的期望姿態(tài)對(duì)準(zhǔn)。兩 個(gè)變換同時(shí)進(jìn)行。 6.78.0 8.0 38 1014 8 14 xy x y 例 5.6 一個(gè)兩自由度平面機(jī)器人要求從起點(diǎn) (3,10)沿直 線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn) (8,14)。假設(shè)路徑分為 1

18、0段，求出機(jī)器 人的關(guān)節(jié)變量。每一根連桿的長(zhǎng)度為 9英寸。 解：直角坐標(biāo)空間中起點(diǎn)和終點(diǎn)間的直線(xiàn)可描述為： 中間點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過(guò)將起點(diǎn)和終點(diǎn)的 x,y坐標(biāo) 之差簡(jiǎn)單地加以分割得到，然后通過(guò)求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方 程得到對(duì)應(yīng)每個(gè)中間點(diǎn)的兩個(gè)關(guān)節(jié)角。 或者 # X Y 1 3 10 18.8 109 2 3.5 10.4 19 104.0 3 4 10.8 19.5 100.4 4 4.5 11.2 20.2 95.8 5 5 11.6 21.3 90.9 6 5.5 12 22.5 85.7 7 6 12.4 24.1 80.1 8 6.5 12.8 26 74.2 9 7 13.2 28.2 67.8

19、 10 7.5 13.6 30.8 60.7 11 8 14 33.9 52.8 1 2 13 331 2 2 2 1 3 1 118 1 a r c c os 162 162 a r c c os a r c t a n CC SPCCP P C P P P yZ z y y x 例： 一個(gè) 3自由度機(jī)器人有兩根連桿，每根連桿長(zhǎng) 9 英寸。假設(shè)定義坐標(biāo)系使得當(dāng)所有關(guān)節(jié)角均為 0時(shí)手 臂處于垂直向上狀態(tài)。要求機(jī)器人沿直線(xiàn)從點(diǎn)（ 9， 6， 10）移動(dòng)到點(diǎn)（ 3， 5， 8）。求 3各關(guān)節(jié)在每個(gè)中 間點(diǎn)的角度值，并繪制出這些角度值。已知： 機(jī)器人及其坐標(biāo)系 解：在求解本題時(shí)，可將起點(diǎn)與終點(diǎn)之間

20、10等分。通 過(guò)求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程既可算得每個(gè)中間點(diǎn)的關(guān)節(jié)角。 X Y Z 9 6 10 56.3 104.7 27.2 8.4 5.9 9.8 54.9 109.2 25.4 7.8 5.8 9.6 53.4 113.6 23.8 7.2 5.7 9.4 51.6 117.9 22.4 6.6 5.6 9.2 49.7 121.9 21.2 6 5.5 9 47.5 125.8 20.1 5.4 5.4 8.8 45 129.5 19.3 4.8 5.3 8.6 42.2 133 18.7 4.2 5.2 8.4 38.9 136.3 18.4 3.6 5.1 8.2 35.2 139.4 1

21、8.5 1 2 3 手坐標(biāo)系及關(guān)節(jié)角 機(jī)器人的關(guān)節(jié)角曲線(xiàn) 5.6 連續(xù)軌跡記錄 有時(shí)機(jī)器人為了完成某些復(fù)雜的或軌跡難以用 直線(xiàn)或其他高次多項(xiàng)式來(lái)描述的任務(wù)，可以首先示 教機(jī)器人如何運(yùn)動(dòng)，同時(shí)記錄這些運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，然后 回放所記錄的運(yùn)動(dòng)并執(zhí)行該運(yùn)動(dòng)。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中都必須不斷地采樣并記錄關(guān)節(jié)量，此后通過(guò)回放 采樣數(shù)據(jù)并驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的關(guān)節(jié)來(lái)驅(qū)動(dòng)使機(jī)器人跟蹤 所記錄的軌跡，從而完成所規(guī)劃的任務(wù)。 前面所講的示教回放機(jī)器人 特點(diǎn)： 所需的編程和計(jì)算量較少，但需要精確執(zhí)行、 采樣和記錄所有的運(yùn)動(dòng)；每當(dāng)部分運(yùn)動(dòng)需要改變時(shí) 就必須重新示教編程。 小結(jié)： 軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行也可在直角坐標(biāo)進(jìn) 行。在兩種空間的許多方法可以通用。 直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃比較直觀，但是較難計(jì) 算和規(guī)劃。對(duì)于已指定的路徑（如直線(xiàn)）必須在 直角空間進(jìn)行規(guī)劃才能實(shí)現(xiàn)。 如果沒(méi)有指定機(jī)器人的路徑，則關(guān)節(jié)空間的軌跡 規(guī)劃更容易計(jì)算。