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1、2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數學 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則 A． B． C． D． 2．如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 3．設有下面四個命題 ：若復數滿足，則； ：若復數滿足，則； ：若復數滿足，則； ：若復數，則. 其中的真命題為 A．

2、 B． C． D． 4．記為等差數列的前項和．若，，則的公差為 A．1 B．2 C．4 D．8 5．函數在單調遞減，且為奇函數．若，則滿足的的取值范圍是 A． B． C． D． 6．展開式中的系數為 A．15 B．20 C．30 D．35 7．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為 A．10 B．12 C．14 D．16 8．右面程序框圖是為了求出滿足3n?2n>1000

3、的最小偶數n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入 A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2 9．已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結論正確的是 A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點

4、的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 10．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為 A．16 B．14 C．12 D．10 11．設xyz為正數，且，則 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 12．幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件。為激發(fā)大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學

5、問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪。那么該款軟件的激活碼是 A．440 B．330 C．220 D．110 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．已知向量a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= . 14．設x，y滿足約束條件，則的最小值為 . 15．已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半

6、徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點。若∠MAN=60，則C的離心率為________。 16．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______。 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第

7、22、23題為選考題，考生根據要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 （1）求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長. 18.（12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. 19．（12分） 為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據長期生產經驗，可以認為這條生產

8、線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數，求及的數學期望； （2）一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查． （?。┰囌f明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經計算得，

9、，其中為抽取的第個零件的尺寸，． 用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計和（精確到0.01）． 附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則， ，． 20.（12分） 已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點. 21.（12分） 已知函數ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）討論的單調性； （2

10、）若有兩個零點，求a的取值范圍. （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22．[選修4―4：坐標系與參數方程]（10分） 在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為 . （1）若a=?1，求C與l的交點坐標； （2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a. 23．[選修4—5：不等式選講]（10分） 已知函數f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）當a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值

11、范圍. 2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數學參考答案 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13． 14．-5 15． 16． 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分）△ABC的內角A

12、，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 （1）求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長. 解：（1） 由題意可得， 化簡可得， 根據正弦定理化簡可得：。 （2） 由， 因此可得， 將之代入中可得：， 化簡可得， 利用正弦定理可得， 同理可得， 故而三角形的周長為。 18.（12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. （1）證明： , 又,PA、PD都在平面PAD內， 故而可得。

13、 又AB在平面PAB內，故而平面PAB⊥平面PAD。 （2）解： 不妨設， 以AD中點O為原點，OA為x軸，OP為z軸建立平面直角坐標系。 故而可得各點坐標：， 因此可得， 假設平面的法向量，平面的法向量， 故而可得，即， 同理可得，即。 因此法向量的夾角余弦值：。 很明顯，這是一個鈍角，故而可得余弦為。 19．（12分） 為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其

14、尺寸在之外的零件數，求及的數學期望； （2）一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查． （ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，． 用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是

15、否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計和（精確到0.01）． 附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則， ，． 解：（1） 由題意可得，X滿足二項分布， 因此可得 （2） 由（1）可得，屬于小概率事件， 故而如果出現(xiàn)的零件，需要進行檢查。 由題意可得， 故而在范圍外存在9.22這一個數據，因此需要進行檢查。 此時：， 。 20.（12分） 已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的

16、斜率的和為–1，證明：l過定點. 解：（1） 根據橢圓對稱性可得，P1（1,1）P4（1，）不可能同時在橢圓上， P3（–1，），P4（1，）一定同時在橢圓上， 因此可得橢圓經過P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）， 代入橢圓方程可得：， 故而可得橢圓的標準方程為：。 （2）由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在， 不妨設直線P2A為：,P2B為：. 聯(lián)立， 假設，此時可得： ， 此時可求得直線的斜率為：， 化簡可得，此時滿足。 當時，AB兩點重合，不合題意。 當時，直線方程為：， 即，當時，，因此直線恒過定點。 21.（12分） 已知函數a

17、e2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）討論的單調性； （2）若有兩個零點，求a的取值范圍. 解： （1）對函數進行求導可得。 當時，恒成立，故而函數恒遞減 當時，，故而可得函數在上單調遞減，在上單調遞增。 （2）函數有兩個零點，故而可得，此時函數有極小值， 要使得函數有兩個零點，亦即極小值小于0， 故而可得，令， 對函數進行求導即可得到，故而函數恒遞增， 又，， 因此可得函數有兩個零點的范圍為。 （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22．[選修4―4：坐標系與參數方程]（10分） 在直角坐標系xOy中，曲

18、線C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為 . （1）若a=?1，求C與l的交點坐標； （2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a. 解： 將曲線C 的參數方程化為直角方程為，直線化為直角方程為 （1）當時，代入可得直線為，聯(lián)立曲線方程可得：， 解得或，故而交點為或 （2）點到直線的距離為， 即：， 化簡可得， 根據輔助角公式可得， 又，解得或者。 23．[選修4—5：不等式選講]（10分） 已知函數f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）當a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍. 解： 將函數化簡可得 （1） 當時，作出函數圖像可得的范圍在F和G點中間， 聯(lián)立可得點，因此可得解集為。 （2） 即在內恒成立，故而可得恒成立， 根據圖像可得：函數必須在之間，故而可得。