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1、高等數(shù)學(xué)（上） 第四講 第一章 第二節(jié) 數(shù)列的極限（ 1） 教學(xué)內(nèi)容 數(shù)列、數(shù)列極限的概念 數(shù)列極限的幾何解釋 數(shù)列極限的有界性定理 備注 教學(xué)要求 理解 數(shù)列、數(shù)列極限 的概念， 理解 數(shù)列極限的“ ”定義。 掌握利用數(shù)列極限的“ ”定義。證明簡單數(shù) 列 的極限 教學(xué)重點(diǎn) 數(shù)列極限的“ ”定義。 利用數(shù)列極限的定義。證明簡單數(shù)列的極限 教學(xué)難點(diǎn) 數(shù)列極限的“ ”定義。 第二節(jié) 數(shù)列的極限 N, N, N, N, 有很多實(shí)際問題的精確值，僅僅通過有限次的 而必須通過分析一個 由此產(chǎn)生了 例如 一、極限思想 算術(shù)運(yùn)算是求不出來的， 無限變化過程的變化趨勢才能求得， 極限概念和極限方法。 (1)

2、我國晉朝時代數(shù)學(xué)家劉徽 割圓術(shù) , 21 nAAA 依次求出圓內(nèi)接 正六邊形，正十二邊形， 正二十四邊形 就接近于對應(yīng)圓的面積 . 126 n正 邊形的面積： 正多邊形的面積 An 利用圓內(nèi)接正多邊形的面積 推算圓的面積 當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越來越大 (2) 二、數(shù)列的概念 稱為一般項(xiàng)（通項(xiàng)）nx ),( nfx n , 321 nxxxx按照一定的順序排成的 一列數(shù) 中學(xué)的定義 叫做一個 數(shù)列， ,1,34,23,2 nn ,)1(,31,21,1 n n ,2 1)1(,1,0,1,0 n ,9,4,1 2n ,11 nx n nx n n )1( 2 1)1( n nx 2 nx n 數(shù)列可

3、表示為 xn 數(shù)列 xn=f (n)是一個以正整數(shù)集 Z+為定義域的函數(shù) , 也可表示為 (3) 1 x 觀察數(shù)列 1. n x n 11 從直觀上看 ,這個數(shù)列 當(dāng) n越來越大時 , 對 應(yīng)的項(xiàng) xn會 越來越接近于 1。 2 x1 2 3 x2 3 4 x3 4 5 x4 xn 如何用精確的 , 量化的數(shù)學(xué)語言來刻劃這一事實(shí) ? 三、數(shù)列的極限 常數(shù) 1就是 數(shù)列 xn當(dāng) n趨向于無窮大時的極限 ？ (4) 就是說 :無論你給一個多么小的 正數(shù) , 當(dāng) n充分 大 時 , 要說明 “ 當(dāng) n越來越大時 , xn越來越接近于 1” 只須說明 “ 當(dāng) n越來越大時 , | xn1 |會越來越接

4、近于 0” . 而要說明 “ | x n1 | 越來越接近于 0” 則只須說明 “ 當(dāng) n充分大時 ,| xn1 | 能夠小于任意給 定 由于 是任意的 ,從而就說明了 |xn1| 會越來越接近于 0. 的 , 無論多么小的正數(shù) ” | xn1 | 比 還小 , (5) 事實(shí)上 , nnx n 1|111|1| , 給 1000 1 , 很小 , 10 00 11|1| nx n , 只須 n1000 即可 , 數(shù)列中 ,從第 1001項(xiàng)開始 ,以后各項(xiàng)都有 10 00 1|1| nx 要 也即在這個 又給 10000 1 , 則從第 10001項(xiàng)開始 , 以后各項(xiàng)都有 10 00 0 1|1

5、| nx(6) n x n 11 一般 , 任給 0, 不論多么小 , nx n 1|1| 只須 1n . 因此 , 從第 11 項(xiàng)開始 , 以后各項(xiàng)都有 |1| nx . 因 是任意的 , 這就說明了 當(dāng) n越來越大時 , xn會越來越接近于 1. 要使 存在一個整正數(shù) N (7) 定義 : 設(shè) xn是一個數(shù)列 , a是一個確定的常數(shù) , )( , lim naxax nnn 或 若 0, 則稱 a是數(shù)列 xn當(dāng) n 無限增大時的極限 , 記作 這時 , 也稱 xn的極限存在 , 否則 , 稱 xn的 極限不存在 , 或稱 xn是發(fā)散的 . )( , lim( naxax nnn 或 正整數(shù)

6、 N, 使得當(dāng) nN時 , 都有 |xna|N時 , 有 | xna |”的意思是 說 , 從第 N+1項(xiàng)開始 ,以后各項(xiàng)都有 |xna |, 至于 以前的項(xiàng)是否滿足此式不必考慮 . (9) 四、幾何解釋 : x2 x1 a- xN+5 a xN+1 a+ x3 x ) ( xN 由于 | xna | xn以 a為極限 , 就是對任何以 a為中心 , 以任意小的 總能 找到一個 N, 而只有有限項(xiàng)落在 U(a, )外部 . a xn0, 由 |xna|N() 取 N=N() 關(guān)鍵在于找出 N (11) 若 0, 正整數(shù) N, 使得當(dāng) nN 時 , 都有 |xna|N時 , xn與其極限之差的絕

7、對值小于正數(shù) , 當(dāng) 0.001時 , 求出數(shù) N. 解 0lim nn x . n n x n |2c os| |0| 要使 |x n0|N, 有 |xn0|0 n 1 例 2 .1)1(l i m 1 n n n n 證明 證 1nx因 1)1( 1 n n n n 1,0任給 ,1 nx要使 , 1 n只要 ,1n即 ,1N取 ,時則當(dāng) Nn 1)1( 1 n n n有 .1)1(lim 1 n n n n 所以 若 0, 正整數(shù) N, 使得當(dāng) nN 時 , 都有 |xna|0, 41 N 當(dāng) nN時 , 有 |2312 13| nn 所以 2 3 12 13lim n n n 證明 取

8、 |2312 13| nn 習(xí)題 1 19 2、 例 3、 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明 : 2、 n a nann a n nan n an 2 22 22222 )( |1| 2a n 2 aN |1| 22 n an 1lim 22 n an n 3、 0, na 2 |1| 22 n an 要使 只須 即 當(dāng) nN時 , 有 證明 取 1lim 22 n an n 所以 結(jié)束 例 2. 證明 0c os1lim nn n 證 : 0 .1|0c o s1|0| nnnx n 因 |0| nx要使 ,1 n只須 則當(dāng) nN時 , 有 .|0c os1|0| nnx n .1n即 .0c os1lim nn n 故 |c o s1|0c o s1| nnnn ,1 N取 (3) 若 0, 正整數(shù) N, 使得當(dāng) nN 時 , 都有 |xna|, ax nn lim則 例 4. 設(shè) q是滿足 |q | 0. 設(shè) 0 |q |1. 現(xiàn)在 , xn = qn, a = 0. 因 | xn a | = |qn 0| = |qn | = |q | n , 要使 | xn a | , (5) 只須 |q | n . 即 n ln |q | N 時 , 有 ,|ln ln|ln ln qqn 從而有 .0lim nn q故 | qn 0 | |q | n (6)