z0 K z z 設函數(shù) f (z)在區(qū)域 D內解析 , 而 |z-z0|=r為 D 內以 z0為中心的任何一個圓周 , 它與它的內部 全含于 D, 把它記作 K, 又設 z為 K內任一點 . 3 泰勒級數(shù) 按柯西積分公式 , 有 : 1 ( ) ( ) d ,2 K ffz iz z z z - 且 00 0 0 0 1 1 1 1 1( ) ( ) zzz z z z z z z z z z - - - - - - - 1 0011 0 00 11 22 ( ) d ( )( ) ( ) ( ) d . ( ) ( ) N nn nn n n NKK fff z z z z z i z i z z z z z zz - - - - z0 K z z 所以 00 1 0 11 (), () n n n z z z z z z zz z z - - - - ,K z Kz由于積分變量 取在圓周 上點 在 的內部 由解析函數(shù)高階導數(shù)公式 ,上式可寫成 1 0 0 0 () () ( ) ( ) ( )! nN n N n fzf z z z R z n - - 0l i m ( ) ,NN R z K 若 在 內成立 則 在 K內成立 , 即 f (z)可在 K內用冪級數(shù)表達 . z0 K z z 01 0 1 2 ()( ) ( ) ( ) n N n nNK fR z z z d iz z z z - -其中 0 0 0 () () ( ) ( )! n n n fzf z z z n - 00 0 zzzz q zrz - -令， q與積分變量 z無關 , 且 0q1. | f (z) | M. 1 2 2 n nN M qr r 01 0 1 2 () ( ) d ( ) n n nNK f z z s z z z - - 0 00 1 2 | ( ) | d | | n nNK zzf s zz z zz - - 1 NMq q - 0N | ( ) |NRz 01 0 1 0 2 ()l i m ( ) l i m ( ) . ( ) n N nNN nNK fR z z z d iz z z z - -下面證明： 由于 f (z) 在 K上連續(xù) , 0 ,M z K 因此 , 在 K內成立 : 0 0 0 () () ( ) ( )! n n n fzf z z z n - 右端的級數(shù)稱為 f (z)在 z0處的泰勒級數(shù) . 稱為 f (z)在 z0的泰勒展開式 , 則 f (z)在 z0的泰勒展開式在圓域 |z-z0|d 內成立 . 圓周 K的半徑可以任意增大 , 只要 K在 D內 . 所以 , 如果 z0到 D的邊界上各點的最短距離為 d, 一、定理 1 設 f (z)在區(qū)域 D內解析 , z0為 D內的一點 , d為 0 0 ( ) ( ) ,nn n f z c z z - 注 ： 如果 f (z)在 z0解析 , 則使 f (z)在 z0的泰勒展開式 z0到 D的邊界上各點的最短距離 , 則當 |z-z0|d 時 , 0 1 0 1 2() ( ) , , , , . ! n nc f z nn 其中 成立的圓域的半徑 R等于從 z0到 f (z)的距 z0最近一個 奇點 a 的距離 , 即 R=|a-z0|. 任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結果就是泰勒級數(shù) , 因 而是 唯一 的 . 利用泰勒展開式 , 我們可以直接通過計算系數(shù) : ),2,1,0()(!1 0)( nzfnc nn 把 f (z)在 z0展開成冪級數(shù) , 這被稱作 直接展開法 二、 直接展開法 例 1 求 ez 在 z = 0處的泰勒展開式 . 2 e 1 . 2 ! ! n z zzzz n 因為 ez在復平面內處處解析 , 上式在復平面內處處成 立 , 收斂半徑為 +. (ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有 由于 例 2 求得 sin z與 cos z在 z=0的泰勒展開式 : 3 5 2 1 13 5 2 1s in ( )! ! ( ) ! n nz z zz z z n - - - 2 4 2 112 4 2c o s ( )! ! ( ) ! n nz z zzz n - - - 除直接法外 , 也可以借助一些已知函數(shù)的展開式 , 利用冪級數(shù)的運算性質和分析性質 , 以唯一性為依據(jù) 來得出一個函數(shù)的泰勒展開式 , 此方法稱為間接展開 法 . 例如 sin z在 z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法 得出 : 00 3 5 2 1 0 11 22 1 3 5 2 1 ( ) ( ) si n ( e e ) ! () ! ! ( ) ! nn iz iz nn n n n iz iz z i i n n z z z zz n - - - - - - - 三、間接展開法 解 由于函數(shù)有一奇點 z-1, 而在 |z|1內處處解析 , 所以 可在 |z|1內展開成 z的冪級數(shù) . 因為 21 1 1 1 1 ( ) , | | . nnz z z z z - - - 例 1 把函數(shù) 展開成 z的冪級數(shù) . 211 z 將上式兩邊求導得 2 1 1 2 1 1 2 3 ( 1 ) , | | 1. ( 1 ) nnz z nz z z - - - - 例 3 求對數(shù)函數(shù)的主值 ln(1+z)在 z=0處的冪級數(shù)展開式 . 解 ln(1+z)在從 -1向左沿負實軸剪開的平面內是解析 的 ,-1是它的奇點 , 所以可在 |z|1展開為 z的冪級數(shù) . -1 O x y 0 1 l n ( 1 ) 1 ( 1 ) , - nn n z z z 因為 逐項積分得 00 0 1 dd 1 ( 1 ) d , - - zz z nn z 2 3 1 l n ( 1 ) ( 1 ) | | 1 .2 3 1 n nz z zz z z n - - - 即 解析在函數(shù) 0)( zzf 的冪級數(shù)的某鄰域內可展開為在 00)( zzzzf - 解析在區(qū)域函數(shù) Dzf )( 0()f z D z z-在 內 任 一 點 處 可 展 開 為 的 冪 級 數(shù) 推論 1： 注： 解析的等價條件：在區(qū)域函數(shù) Dzf )( 內可導；在區(qū)域函數(shù) Dzf )()1( 條件，內可微，且滿足在區(qū)域 RCDvu -,)2( 關；內連續(xù)且積分與路徑無在區(qū)域函數(shù) Dzf )()3( 內可展開為冪級數(shù)在區(qū)域函數(shù) Dzf )()4( 推論 2： 解析，在區(qū)域設函數(shù) Dzf )( ),(, 00 Dzd i s tRDz 00()f z z z R z-則 在 內 可 展 開 為 的 冪 級 數(shù) 推論 3:冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個奇點 . (即使冪級數(shù)在其收斂圓周上處處收斂 ) 例如： )( 0 2 zfn z n n 1,z 在 上 絕 對 收 斂 ),1(21)( 1 - znzzzf n 但 )(1 zfz 時：近于沿實軸從單位圓內部趨當 是一個奇點。即 1z 推論 4： 展開式：解析，且有在設函數(shù) T a y l o r)( 0zzf 0 0 ( ) ( ) ,nn n f z C z z - 最近的一個奇點，的距是 0)( zzfa 為其收斂半徑。則 0zR - a 例如： ,61)( 0 2 - n n n zCzzzf ;2R則其收斂半徑 ,)(61)( 0 2 - n n n izCzzzf 5.R 則 其 收 斂 半 徑 而如果把函數(shù)中的 x換成 z, 在復平面內來看函數(shù) 2 1 1 z 1-z2+z4- 它有兩個奇點 i, 而這兩個奇點都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上 , 所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于 1. 因此 , 即使我們只關心 z的實 數(shù)值 , 但復平面上的奇點形成了限制 . 在實變函數(shù)中有些不易理解的問題 , 一到復變函數(shù)中就成為顯 然的事情 , 例如在實數(shù)范圍內 , 展開式 2 4 2 2 1 1 ( 1 ) 1 nnx x x x - - - 的成立必須受 |x|R1時 , 即 | z |R, 0 11 ()nnnn nn c c z zz - - - 收 斂 。 因此 , 只有在 R1|z-z0|R2的圓環(huán)域 , 原級數(shù)才收斂 . z0 R1 R2 例如級數(shù) 10 11 0 () , 1 , | | | | , | | | | . | | | | | | | | | | | | | | . nn nn nn n n n nn n n n az ab zb a a a z z z z za b z b a b a z b a b 與 為 復 常 數(shù) 中 的 負 冪 項 級 數(shù) 當 即 時 收 斂 而 正 冪 項 級 數(shù) 則 當 時 收 斂 所 以 當 時 , 原 級 數(shù) 在 圓 環(huán) 域 收 斂 ; 當 時 , 原 級 數(shù) 處 處 發(fā) 散 在收斂圓環(huán)域內也具有 . 例如 , 可以證明 , 上述級數(shù)在收斂 域內其和函數(shù)是解析的 , 而且可以逐項求積和逐項求導 . 冪級數(shù)在收斂圓內的許多性質 , 級數(shù) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , nn nn n n n c z z c z z c z z c c z z c z z - - - - - - - - 現(xiàn)在反問 , 在圓環(huán)域內解析的函數(shù)是否一定能夠展開成 冪級數(shù) ?先看下例 . 2 1 ( ) 0 1 , ( 1 ) 0 | | 1 0 | 1 | 1 . 0 | | 1 1 1 1 1 ( ) 1 . ( 1 ) 1 , ( ) 0 | | 1 . n f z z z zz z z z f z z z z z z z z z f z z - - - 函 數(shù) 在 及 都 不 解 析 但 在 圓 環(huán) 域 及 內 都 是 解 析 的 先 研 究 的 情 形 : 由 此 可 見 在 內 是 可 以 展 開 為 z 的 冪 級 數(shù) 其次 ,在圓環(huán)域 :0|z-1|1內也可以展開為 z-1的冪級數(shù) : 2 1 2 1 1 1 1 () ( 1 ) 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) n n fz z z z z z z z z z z z z - - - - - - - - - - - - - 1 O x y 定理 設 f (z)在圓環(huán)域 R1 |z-z0| R2內解析 , 則 0 1 0 ( ) ( ) 1 ( ) d . ( 0 , 1 , 2 , ) 2 () n n n n n C f z c z z f cn iz z z z - - - 其 中 C為在圓環(huán)域內繞 z0的任何一條正向簡單閉曲線 . 證 設 z為圓環(huán)域內的任一點 , 在圓環(huán)域內作以 z0為中心的 正向圓周 K1與 K2, K2的半徑 R 大于 K1的半徑 r, 且使 z在 K1與 K2之間 . z K1 z K2 z z0 由柯西積分公式得 21 1 ( ) 1 ( )() 2 2 KK fff z d d i z i z zzzz zz- - 0 22 0 , , , 1 .zzK z K zz z - -對 第 一 個 積 分 在 上 在 內 22 01 0 0 , 1 ( ) 1 ( ) () 2 2 () n n nKK ff d d z z i z i z zz zz zz - - 和 泰 勒 展 開 式 一 樣 可 以 推 得 1 1 1 ( ) d . , 2 K f K iz z zz z- -第 二 個 積 分 由 于 在 上 0 1 0 , 1 .zzK zzz - -點 在 的 外 部 00 0 1 1 1 1 zz z z zz zz - - - - 因 此 1 0 01 11 00 () 1 ( ) , ( ) ( ) n n nn nn z zz z z z z z - - - - - - - - z K1 z K2 z z0 11 1 01 1 0 1 ( ) 1 ( )d d ( ) ( ) , 2 2 () N n Nn nKK ff z z R z i z i z zzzz zz - - - - - - 1 1 0 0 ( ) ( )1( ) d . 2 () n N n nNK zfRz i z z zz z- - - 其 中 0 00 , 0 1|z rqqz z z zz - -令 則 ， 因此有 1 0 0 00 1 | ( ) | ( ) | d 2 | n N nK zfR z s z z z zz z - - 11 11 1 2 . | ( ) | . 2 1 N n nN M M qq r M f z K rq - 是 在 上 的 最 大 值 l i m 0 , l i m ( ) 0 .N NNNq R z 因 為 所 以 0 0 0 01 ( ) ( ) ( ) ( ) ,n n nn n n n n n f z c z z c z z c z z - - - - - - 因 此 2 1 1 0 1 0 1 ( ) d , ( 0 , 1 , 2 , ) ; 2 () 1 ( ) d , ( 1 , 2 , ) . 2 () n n K n n K f cn iz f cn iz z z z z z z - - - - 如果在圓環(huán)域內取繞 z0的任何一條正向簡單閉曲線 C, 則 根據(jù)閉路變形原理 , 這兩個式子可用一個式子來表示 : 1 0 1 ( ) d , ( 0 , 1 , 2 , ) 2 ()n nC f cn iz z z z - C z0 R1 R2 0 1 0 1 ( )( ) ( ) , d , ( 0 , 1 , 2 , ) 2 () n nn n n C ff z c z z c n iz z z z - - - 于 是 稱為函數(shù) f (z)在以 z0為中心的圓環(huán)域 : R1|z-z0|R2內的 洛 朗 (Laurent)展開式 , 它右端的級數(shù)稱為 f (z)在此圓環(huán)域內 的 洛朗級數(shù) . 一個在某圓環(huán)域內解析的函數(shù)展開為含有正 ,負冪項 的級數(shù)是唯一的 , 這個級數(shù)就是 f (z)的洛朗級數(shù) . 根據(jù)由正負整次冪項組成的級數(shù)的唯一性 ,一般可以 用代數(shù)運算 , 代換 , 求導和積分等方法去展開 , 以求得洛 朗級數(shù)的展開式 . 解： 函數(shù) f (z) 在圓環(huán)域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 內是處處解析的 , 應把 f (z)在 這些區(qū)域內展開成洛朗級數(shù) . 11 12fz zz -例 把 在 復 平 面 上 展 開 為 z 的 冪 級 數(shù) 。 x y O 1 x y O 1 2 x y O 2 先把 f (z)用部分分式表示 : 11( ) . 12fz zz- 2 22 2 1 1 1 i) 0 | | 1 ( ) 12 1 2 1 1 3 7 ( 1 ) 1 . 2 2 2 2 4 8 z f z zz zz z z z z - - - - 在 內 : ii) 在 1 |z| 2內： 1 1 1 1 1 1 () 11 2 211 2 fz zz z z z - - - - - 2 22 2 1 1 1 1 1 ( 1 ) 1 2 2 2 1 1 1 1 . 2 4 8 nn zz z z z zz z z z - - - - - - - - - - - iii) 在 2|z|+內 : 1 1 1 1 1 1 () 12 12 11 fz z z z z zz - - - - 22 234 1 1 1 1 2 4 ( 1 ) ( 1 ) 1 3 7 . z z z z z z z z z - 例 2 把函數(shù) .|0e)( 13 內展開成洛朗級數(shù)在 zzzf z 解 因有 1 33 2 3 4 32 1 1 1 1 e ( 1 ) 2 ! 3 ! 4 ! 11 0. 2 ! 3 ! 4 ! zzz z z z z z z z z z 23 e1 2 ! 3 ! ! n z z z zz n 注意 : 一個函數(shù) f ( z ) 可以在奇點展開為洛朗級數(shù)，也 可在非奇點展開。 函數(shù)可以在以 z0為中心的 (由奇點隔開的 )不同圓環(huán)域內 解析 , 因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開 式 (包括泰勒展開式作為它的特例 ). 我們不要把這種情 形與洛朗展開式的唯一性相混淆 . 所謂洛朗展開式的 唯一性 , 是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內的洛朗展 開式是唯一的 . 例如在 zi 和 z-i處展開函數(shù) 為洛朗級數(shù)。 12() () ifz z z i - 在復平面內有兩個奇點 : z=0與 z-i, 分別在以 i為中心的 圓周 : |z-i|=1與 |z-i|=2上 . 因此 , f (z)在以 i為中心的圓環(huán)域 (包括圓域 )內的展開式 有三個 :1)在 |z-i|1中的泰勒展開式 ; 2)在 1|z-i|2中的洛朗展開式 ; 3)在 2|z-i|+中的洛朗展開式 ; 在復平面內有一個奇點 : z=0在以 -i為中心的圓周 :|zi|=1上 . 因此 , f (z)在以 -i為中心的圓環(huán)域內的展開式有二個 : 1)在 0 |zi|1中的洛朗展開式 ; 2)在 1|zi| +中的洛朗展開式。 O -i i i- 0 特別的，當洛朗級數(shù)的系數(shù)公式 1 0 1 ( ) d . ( 0 , 1 , 2 , ) 2 ()n nC fcn iz z z z - 1n - 時 ， 有 - C dzzfiC )(2 1 1 12)( - CidzzfC （即可利用 Laurent系數(shù)計算積分） 其中 C為圓環(huán)域 R1|z-z0|R2內的任何一條簡單閉曲線 , f (z) 在此圓環(huán)域內解析 . 例 - - - rzz zz dzzze0 0 30 1 )(求積分 內解析，在 - - 030 1 0)()( 0 zzzzezf zz - 0L a u r e n t 1C系數(shù)其 12 0 .iC - 解： 例 4 2 1l n 1 . z dzz 求 積 分 - - - zznz n n n 1)1(11ln 1 11 1 -C 2.i 解： 例 5 求積分 1 | | 2 d 1 z z ze z z - . 解： 函數(shù) 1 () 1 zze fz z - 在 1 | z | + 內解析 , | z | =2 在此圓環(huán)域 內 , 把它在圓環(huán)域內展開得 1 22 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 2! 1 25 1. 2 zf z e z z z z z zz - - - - 故 c-1-2, 12 4 .ic i- -原 式 =