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第24講 矩形、菱形與正方形,1．矩形的概念、性質(zhì)及判定,2.菱形的概念、性質(zhì)及判定,3．正方形的概念、性質(zhì)及判定,1．(2015·蘭州)下列命題錯誤的是( ) A．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 B．平行四邊形的對角線互相平分 C．矩形的對角線相等 D．對角線相等的四邊形是矩形 2．(2015·天水)如圖，將矩形紙帶ABCD沿EF折疊后，CD兩點分別落在C′，D′的位置，經(jīng)測量得∠EFB＝65°，則∠AED′的度數(shù)是( ) A．65° B．55° C．50° D．25°,D,C,B,2,6．(2015·甘肅省)如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠B＝60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連結(jié)CE，DF. (1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形； (2)①當AE＝____cm時，四邊形CEDF是矩形； ②當AE＝____cm時，四邊形CEDF是菱形．,3.5,2,7．(2015·甘南州)如圖①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC分別交于M，H. (1)求證：CF＝CH； (2)如圖②，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉(zhuǎn)到∠BCE＝45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論．,【例1】 (2015·內(nèi)江)如圖，將?ABCD的邊AB延長至點E，使AB＝BE，連接DE，EC，DE交BC于點O. (1)求證：△ABD≌△BEC； (2)若∠BOD＝2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．,【點評】 利用平行線的相關性質(zhì)找到對應角相等，再結(jié)合已知條件來證三角形全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了對角線的判定方法，有時會比邊與角更直接簡便．,證明：過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G點，可證：△CGB≌△CED，∴CE＝CG.又∵∠G＝∠A＝∠CEA＝90°， ∴四邊形CGAE是矩形，∴CG＝AE，∴CE＝AE,【例2】 (2015·巴中)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，MN過點O且與邊AD，BC分別交于點M和點N. (1)請你判斷OM和ON的數(shù)量關系，并說明理由； (2)過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，當AB＝6，AC＝8時，求△BDE的周長．,【點評】 菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．,證明：∵AF∥CD，F(xiàn)G∥AC，∴四邊形ACGF是平行四邊形，∠FCG＝∠AFC，∵CE平分∠ACD，∴∠ACF＝∠GCF，∴∠ACF＝∠AFC，∴AC＝AF，∴四邊形ACGF是菱形,【例3】 (2015·梧州)如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A，D重合，BP的垂直平分線分別交CD，AB于E、F兩點，垂足為Q，過點E作EH⊥AB于點H. (1)求證：HF＝AP； (2)若正方形ABCD的邊長為12，AP＝4，求線段EQ的長．,【點評】 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和判定是中考的熱點．,(1)解：FG⊥ED.理由如下：∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至△DBE后，∴∠DEB＝∠ACB，∵把△ABC沿射線平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠DEB＋∠GFE＝90°，∴∠FHE＝90°，∴FG⊥ED,(2)證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，∵CG∥EB，∴∠BCG＋∠CBE＝180°，∴∠BCG＝90°，∴四邊形BCGE是矩形，∵CB＝BE，∴四邊形CBEG是正方形,【例4】 (2014·牡丹江)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE. (1)求證：CE＝AD； (2)當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； (3)若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．,(1)證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE＝AD (2)解：四邊形BECD是菱形，理由是：∵D為AB中點，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB中點，∴CD＝BD，∴四邊形BECD是菱形 (3)解：當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D為BA中點，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四邊形BECD是菱形，∴四邊形BECD是正方形，即當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形,【點評】 在判定矩形、菱形或正方形時，要弄清是在“四邊形”，還是在“平行四邊形”的基礎上來求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認真審題，通過對已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法．,[對應訓練] 4．(2015·南充)如圖，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接EF，∠AEF，∠CFE的平分線交于點G，∠BEF，∠DFE的平分線交于點H. (1)求證：四邊形EGFH是矩形； (2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進行了探索，過G作MN∥EF，分別交AB，CD于點M，N，過H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點P，Q，得到四邊形MNQP，此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框中補全他的證明思路．,(2)解：答案不唯一：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證?MNQP是菱形，只要證MN＝NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要證GM＝FQ，即證△MGE≌△QFH，易證 GE＝FH，∠GME＝∠FQH.故只要證∠MGE＝∠QFH，易證∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，∠GEF＝∠EFH，即可得證,