二次方程，二次函數(shù)，二次不等式 二次方程 一 解方程 1. x2 2x 8 0 2. ( x 4) 2 5( x 4) 3. ( x 1) 2 4x 4. ( x 1)( x 2) 2x 4 5. 2x 2 10x 3 6.(x －2）（ x－5）=－ 2 二、已知方程 ax 2 4x 1 0 ,則 1 當(dāng) a 取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？ 2 當(dāng) a 取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？ 3 當(dāng) a 取什么值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？ 4.當(dāng) a 取什么值時(shí)，方程有二個(gè)根實(shí)數(shù)根 ？ 5.當(dāng) a 取什么值時(shí)，方程有二個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根 6.當(dāng) a 取什么值時(shí)，方程有一正一負(fù)實(shí)數(shù)根 三、已知關(guān)于 x 的方程 1 x2 (m 2) x m 2 0 4 ⑴ 若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ,求 m 的值 ,并求出此時(shí)方程的根 ⑵ 是否存在正數(shù) m ,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于 224 ？若存在 ,求出滿 足條件的 m 的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 四，練習(xí) (1) 設(shè)實(shí)數(shù) a 、 b 、c 滿足 a 2－ bc － 8a ＋ 7＝ 0 b 2＋c 2 ＋bc －6a ＋ 6＝0 求 a 的取值范圍 . （ 2）方程 x2 －2|x| ＝ a(a ∈ R) 有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 是 _______. 2 － 2ax ＋9＝0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 α、β，則 2 （ 3）關(guān)于 x 的方程 x (1)α＋－ ( β－ 1) 2 的最小值是 _______________. （ 4）設(shè) a ， b 為實(shí)常數(shù)， k 取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù) y ＝(k2 ＋k＋1)x 2－ 2(a ＋k) 2 x＋ (k 2 ＋ 3ak ＋b) 的圖象與 x 軸都交于點(diǎn) A(1 ， 0).求 a 、b 的值； 第 1 頁(yè) 共 4 頁(yè) 二次函數(shù) 問(wèn)題 1． 1. 設(shè)二次函數(shù) f ( x) 滿足 f (x 2) f ( x 2) ，且圖象在 y 軸上的截距為 1，在 x 軸 截得的線段長(zhǎng)為 2 2 ，求 f (x) 的解析式 2. 已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為 x 2 ，截 x 軸上的弦長(zhǎng)為 4 ，且過(guò)點(diǎn) (0, 1) ，求函 數(shù)的解析式． 3. 已知 f ( x) 為二次函數(shù)，且 f ( x 1) f (x 1) 2x 2 4x ，求 f (1 2 ) 的值 . 4. 已知二次函數(shù) f( x) 滿足 f(2)= -1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8, 試確定 此二次函數(shù)的解析式 . 1 已知二次函數(shù) y ax2 bx c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (-1,0) 、B (0,-3) 、C (4,5) 三點(diǎn) . 求 : (1) 解析式 (2) 頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸 2. 已知二次函數(shù) f( x) 滿足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8, 試確 定此二次函數(shù)的解析式 . 問(wèn)題 2． 1. 二次函數(shù) y 2 2 3, ， x [1,2] 試求函數(shù)的最小值 x ax 2. 已知函數(shù) f( x)=4 x2-4ax +a 2-2a +2 在區(qū)間 [0, 2] 上有最小值 3, 求實(shí)數(shù) a 的值 . 3.. 函數(shù) f (x) x2 4x 4 在閉區(qū)間 t, t 1 （ t R ）上的最小值記為 g(t) ， 1 試寫(xiě)出 g(t) 的函數(shù)表達(dá)式； 2 作出 g(t ) 的圖像并求出 g(t) 的最小值 4. 已知 f ( x) x2 2mx m2 m 3 ，當(dāng) x 0, 時(shí)， f ( x) 0 ， 2 2 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . 問(wèn)題 3． 1 方程 x2 2ax 4 0 的兩根均大于 1，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 2 方程 x 2 2ax 4 0 的一根大于 ，一根小于 1 ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 1 3 方程 x2 2ax 4 0 的根在 0,1 內(nèi)，另一根在 6,8 ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 第 2 頁(yè) 共 4 頁(yè) 問(wèn)題 4．已知二次函數(shù) f ( x) ax2 bx （ a,b 為常數(shù)，且 a 0 ）滿足條件： f ( x 5) f (x 3) ，且方程 f (x) x 有等根 . 1 求 f ( x) 的解析式； 2 是否存在實(shí)數(shù) m 、n（ m n ），使 f (x) 的定義域和值域分別是 m, n 和 3m,3n . 如果存在，求出 m 、 n 的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 問(wèn)題 5．對(duì)于函數(shù) f (x) ，若存在 x0 R ，使 f ( x0 ) x0 ，則稱 x0 是 f (x) 的一個(gè) 不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù) f (x) ax2 (b 1)x (b 1)(a 0) ， 1 當(dāng) a 1,b 2 時(shí)，求函數(shù) f (x) 的不動(dòng)點(diǎn)； 2 對(duì)任意實(shí)數(shù) b ，函數(shù) f ( x) 恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求 a 的取值范圍； 鞏固練習(xí)： 1（04 江蘇）二次函數(shù) y ax 2 bx c （ x R）的部分對(duì)應(yīng)值如下表： x －3 －2 －1 01 23 4 y 6 0 －4 － 6 －6 －4 0 6 則不等式 ax 2 bx c 0 的解集是 2 已知 ( ) 2 , a b 0, 且 f ( x1 ) f ( x2 ) 2006, 則 f (x1 x2 ) f x ax bx 3（ 03上海）若函數(shù) y x 2 (a 2) x 3（ x [ a, b] ）的圖象關(guān)于 x 1 對(duì)稱， 則 b 4 若不等式 x 2 ax 1≥ 0 對(duì)一切 x 1 成立，則 a 的最小值為（ ） 0， 2 A. 0 B. 2 C. 5 D. 3 2 5. 已知 f ( x) x2 ax 3 a ，若 x 2,2 時(shí) f ( x) ≥ 0 恒成立，則 a 的范圍是 6.設(shè) a 、 b 、 c R ，且 4a 4b c 0 ， a 2b c 0 ，則下列結(jié)論中正確的是 A. b2 ≤ ac B. b2 ac C. b2 ac 且 a 0 D. b2 ac 且 a 0 7 已知函數(shù) f ( x) x2 (2a 1)x a2 2 與非負(fù) x 軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，求 a 的范圍． 8. 關(guān)于 x 的方程 9x 4 a 3x 4 0 有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a 的范圍是 9. m 取何值時(shí)，方程 7 x 2 ( m 13) x m 2 m 2 0 的一根大于 ，一根小于 1 ． 1 第 3 頁(yè) 共 4 頁(yè) 10. 不等式 ( a 2) x 2 2(a 2) x 4 0 對(duì)一切 x R 恒成立，則 a 的范圍是 11. 設(shè)函數(shù) f ( x) ax 2 2ax 1 在 3,2 上有最大值 4 ，求實(shí)數(shù) a 的值。 12. （ 03北京西城模擬）已知函數(shù) f (x) x2 6x 8 （ x 1, a ），并且函數(shù) f (x) 的 最小值為 f (a) ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 二次不等式 二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系 例 1 解下列不等式 （ 1） x2 -x-6 >0 (2)x 2+x-60 (3)x 2 +2x> 1 (4)-3x 2+6x> 2 (5) x2+3x+2 ≥0 例 2 已知關(guān)于 x 的不等式 ax 2+bx+2> 0 的解集是 {x︱ - 1 <x<1 },求實(shí)數(shù) a,b 的值 2 例 3 解關(guān)于 x 的不等式 2 x 2 kx k 2 0 例 4.設(shè)函數(shù) f ( x) 1 ， 4 x x2 2m （1）若 f (x) 的定義域?yàn)?( 2, 6) ，求實(shí)數(shù) m 的值 （2）若 f (x) 在區(qū)間 ( 2, 6) 上有意義，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 第 4 頁(yè) 共 4 頁(yè)