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1、 長 沙 縣 維 漢 實 驗 中 學 趙 攀 峰 一 、 教 材 分 析 : 數(shù) 列 是 高 中 數(shù) 學 的 重 要 內(nèi) 容 ， 是 學 習 高 等 數(shù) 學 的 基礎 ， 在 高 考 中 占 有 重 要 的 地 位 . 考 綱 要 求 :“ 理 解 數(shù) 列 的概 念 , 了 解 通 項 公 式 的 意 義 , 了 解 遞 推 公 式 , 掌 握 等 差 數(shù)列 , 等 比 數(shù) 列 的 通 項 公 式 與 前 n項 和 公 式 , 并 能 解 決 簡 單的 問 題 .” 教 材 中 數(shù) 列 編 排 在 函 數(shù) 內(nèi) 容 之 后 , 因 為 數(shù) 列 是以 正 整 數(shù) 為 自 變 量 的 一 種 特 殊

2、 函 數(shù) , 這 樣 安 排 既 有 利 于 認識 數(shù) 列 的 本 質(zhì) , 也 有 利 于 加 深 和 鞏 固 對 函 數(shù) 概 念 的 理 解 . 數(shù) 列 綜 合 以 數(shù) 列 為 引 線 和 依 托 , 結(jié) 合 函 數(shù) 、 方 程 、 不 等 式 、解 析 幾 何 等 知 識 , 題 型 新 穎 , 解 法 靈 活 , 能 有 效 地 考 查 學生 的 思 維 能 力 、 創(chuàng) 新 意 識 和 實 踐 能 力 . 、 地 位 與 作 用 、 重 點 、 難 點 與 關 鍵 根 據(jù) 高 考 考 試 說 明 的 要 求 ,結(jié) 合 對 歷 屆 高 考 試題 的 分 析 , 本 節(jié) 內(nèi) 容 的 教 學

3、重 點 是 : 利 用 數(shù) 列 的 通 項公 式 與 前 項 和 等 有 關 知 識 為 主 要 工 具 求 解 數(shù) 列 綜 合 問題 . 而 與 數(shù) 列 交 匯 的 、 呈 現(xiàn) 遞 推 關 系 的 綜 合 性 試 題 , 特 別 是 與 不 等 式 的 綜 合 是 教 學 的 難 點 . 從 教 學 實 踐 來看 , 學 生 對 數(shù) 列 綜 合 題 存 在 畏 難 情 緒 , 總 覺 得 難 以 掌握 , 因 此 教 學 的 關 鍵 是 運 用 轉(zhuǎn) 化 思 想 將 問 題 轉(zhuǎn) 化 成 簡單 的 、 熟 悉 的 問 題 來 求 解 , 同 時 注 意 培 養(yǎng) 學 生 的 良 好的 個 性 品

4、質(zhì) , 特 別 是 排 除 萬 難 的 精 神 . 二 、 高 考 回 顧 “ 在 知 識 的 交 匯 點 設 置 能 力 型 問 題 ” 是 指 導 高 考 命題 的 思 想 之 一 . 數(shù) 列 是 高 中 數(shù) 學 知 識 結(jié) 構 的 一 個 重 要 的交 匯 點 . 數(shù) 列 綜 合 題 在 每 年 高 考 中 都 會 重 點 考 查 .下 面 列表 對 近 兩 年 高 考 試 題 作 分 類 統(tǒng) 計 , 統(tǒng) 計 如 下 表 : 從 上 表 可 以 看 出 , 2004年 的 15份 理 科 試 題 中 , 每 套 試題 均 有 一 道 解 答 題 . 其 中 處 在 壓 卷 題 位 置 的

5、 有 8道 ; 2005年 的 16份 理 科 試 題 中 , 除 廣 東 卷 外 每 套 試 題 均 有 一 道 解答 題 , 其 中 處 在 壓 卷 題 位 置 的 有 5道 . 由 此 不 難 得 知 , 數(shù)列 解 答 題 是 高 考 命 題 必 考 的 難 度 大 的 內(nèi) 容 , 其 命 題 熱 點是 與 不 等 式 交 匯 的 、 呈 現(xiàn) 遞 推 關 系 的 綜 合 性 試 題 , 其 中 , 以 函 數(shù) 迭 代 、 解 析 幾 何 中 曲 線 上 的 點 列 為 命 題 載 體 , 有著 高 等 數(shù) 學 背 景 的 數(shù) 列 解 答 題 是 未 來 高 考 命 題 的 一 個 新的

6、亮 點 . 2004年 2005年全 國 1 分 奇 、 偶 項 的 遞 推 數(shù) 列 的 通 項 等 比 數(shù) 列 的 公 比 與 前 n項 和 全 國 2 通 項 與 前 n 項 和 、 等 比 數(shù) 列 的 判 定 等 比 數(shù) 列 、 等 差 數(shù) 列 的 綜 合全 國 3 數(shù) 列 通 項 、 數(shù) 列 不 等 式 的 證 明 等 比 數(shù) 列 、 等 差 數(shù) 列 的 綜 合全 國 4 導 數(shù) 、 數(shù) 列 求 和 與 數(shù) 列 極 限 北 京 抽 象 函 數(shù) 、 數(shù) 列 通 項 與 極 限 等 比 數(shù) 列 的 判 定 、 數(shù) 列 極 限 上 海 點 列 、 等 差 數(shù) 列 、 探 索 性 問 題 涉

7、及 兩 個 數(shù) 列 的 應 用 性 問 題 天 津 函 數(shù) 迭 代 、 數(shù) 列 的 通 項 與 極 限 數(shù) 列 的 求 和 、 數(shù) 列 的 極 限 重 慶 數(shù) 列 不 等 式 、 數(shù) 列 項 大 小 比 較 數(shù) 學 歸 納 法 、 數(shù) 列 不 等 式 遼 寧 函 數(shù) 迭 代 中 的 數(shù) 列 不 等 式 函 數(shù) 迭 代 、 數(shù) 列 不 等 式 證 明 山 東 同 全 國 卷 1 導 數(shù) 、 等 比 數(shù) 列 的 判 定 江 蘇 數(shù) 列 前 項 的 和 、 探 索 性 問 題 數(shù) 列 不 等 式 的 證 明 浙 江 點 列 問 題 、 等 比 數(shù) 列 的 判 定 點 列 問 題 、 等 差 數(shù) 列

8、的 判 定 福 建 涉 及 兩 個 數(shù) 列 的 應 用 性 問 題 遞 推 公 式 、 數(shù) 列 不 等 式 湖 北 遞 推 數(shù) 列 的 極 限 、 數(shù) 列 不 等 式 數(shù) 列 不 等 式 的 證 明 、 數(shù) 列 極 限 湖 南 解 析 幾 何 、 遞 推 數(shù) 列 的 綜 合 應 用 探 索 性 問 題 、 數(shù) 列 不 等 式 廣 東 三 角 函 數(shù) 中 的 等 比 數(shù) 列 問 題 無 江 西 同 全 國 卷 1 數(shù) 列 通 項 、 數(shù) 列 不 等 式 的 證 明 三 、 數(shù) 列 綜 合 問 題 類 型 及 求 解 策 略 由 于 數(shù) 列 綜 合 問 題 形 式 多 變 、 思 考 性 強 、區(qū)

9、 分 度 高 , 因 此 大 多 數(shù) 同 學 解 此 類 問 題 時 思 維常 常 受 阻 , 甚 至 無 從 下 手 , 下 面 我 結(jié) 合 近 幾 年的 高 考 題 , 就 數(shù) 列 綜 合 問 題 類 型 及 解 題 策 略 作一 點 探 討 . 1、 數(shù) 列 各 部 分 知 識 的 綜 合 求 解 策 略 解 純 數(shù) 列 綜 合 題 ,要 充 分 利 用等 差 數(shù) 列 與 等 比 數(shù) 列 的 有 關 性 質(zhì) 求 解 .本 題 的關 鍵 是 注 意 到 akn的 雙 重 身 份 既 是 等 比 數(shù) 列的 第 n項 , 又 是 等 差 數(shù) 列 的 第 k n項 ,先 求 出 通 項kn,再

10、求 出 其 前 n項 的 和 . 例 1. 已 知 an為 等 差 數(shù) 列 (公 差 d ), an中 的 部 分 項 組 成 的 數(shù) 列 ak1,ak2,， akn,為 等 比 數(shù) 列 ， 其 中 k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+kn 的 值 . 例 2. 已 知 函 數(shù) 是 定 義 在 R上 的 不 恒 為 零 的 函 數(shù) , 且對 于 任 意 的 , 都 滿 足 若 , 求 證 :數(shù) 列 是 等 比 數(shù) 列 . )(xf Rba , ).()()( abfbafbaf )()2(,2)2( *Nnnfaf nn na2、 數(shù) 列 與 函 數(shù) 的 綜 合 分 析 一 :

11、 由 于 已 知 條 件 只 有 函 數(shù) 關 系 式 和 的 表 達 式 , 要求 證 數(shù) 列 是 等 比 數(shù) 列 , 關 鍵 是 求 出 , 可 以 嘗 試 數(shù)學 歸 納 法 .證 法 一 : 由 已 知 可 得 : 猜 想 : , 用 數(shù) 學 歸 納 法 證 明 (略 ).na na )2( nf ,),(3)(),(2)()()( 232 afaafaafaafaafaf )()( 1 afnaaf nn 分 析 三 : 設 法 將 轉(zhuǎn) 化 為 熟 悉 的 數(shù) 列 .證 法 三 : 所 以 , 即 是 公 差 為 首 項 為 的 等 差 數(shù) 列 .)2( nf ,2)2(2)2(2)2(

12、2)22()2( 1111 nnnnnn fffff ,12 )2(2 )2( 1 1 n nn n ff n nf 2 )2( ,1 )21(2 f 分 析 二 : 將 所 給 函 數(shù) 關 系 式 適 當 變 形 , 根 據(jù) 其 形 式 特 點 構 造 另 一 個 函 數(shù) , 設 法 用 此 函 數(shù) 求 出 . 證 法 二 : 當 時 , 由 可 得 : 令 則 )( naf0ba )()()( abfbafbaf bbfaafababf )()()( ,)()( xxfxg ).()()()()( nnn agaafbgagabg 求 解 策 略 解 數(shù) 列 與 函 數(shù) 的 綜 合 題 ,

13、 一 般 要利 用 函 數(shù) 、 數(shù) 列 的 性 質(zhì) 以 及 它 們 之 間 的 相 互聯(lián) 系 . 本 題 是 一 道 已 知 抽 象 函 數(shù) 關 系 , 利 用 函數(shù) 迭 代 求 證 數(shù) 列 是 等 比 數(shù) 列 的 問 題 . 所 提 供 的三 種 證 法 中 , 證 法 一 思 路 自 然 , 但 較 為 繁 瑣 ; 證法 二 技 巧 性 強 ; 證 法 三 思 維 跨 度 大 , 但 三 種 證法 都 體 現(xiàn) 了 一 個 不 變 的 事 實 : 充 分 應 用 已 知 條件 變 形 轉(zhuǎn) 化 , 根 據(jù) 其 形 式 特 點 構 造 新 的 數(shù) 列 , 然 后 利 用 數(shù) 列 的 性 質(zhì) 求

14、解 . 3、 數(shù) 列 與 不 等 式 的 綜 合 法 一 : (數(shù) 學 歸 納 法 ) 當 n=1時 , 不 等 式 成 立 . 假 設 n=k時 , 成 立 . 當 n=k+1時 , 即 n=k+1時 , 成 立 .綜 上 , 可 知 對 一 切 正 整 數(shù) n成 立 . ,11221 a12 kak .1)1(213221 2222 1 kakaaa kkkk 1)1(21 kak 12 nan例 3. (2004年 重 慶 卷 )設 數(shù) 列 滿 足 對 一 切 正 整 數(shù) 成 立 ； na ).3,2,1(,1,2 11 naaaa nnn12)1( nan證 明 n .,),2,1(,

15、)2( 1 并 說 明 理 由的 大 小與判 斷令 nnnn bbnnab 法 二 : (數(shù) 學 歸 納 法 ) 當 n=1時 ,不 等 式 成 立 . 假 設 n=k時 , 成 立 . 當 n=k+1時 , 由 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 和 歸 納 假 設 有 . 只 需 證 : ,即 證只 需 , 顯 然 成 立 .即 n=k+1時 ,結(jié) 論 成 立 .因 此 , 對 一 切 正 整 數(shù) n成 立 .12 kak )1(1)( xxxxf 12 11211 kkaaa kkk 3212112 kkk32)12 112( 2 kkk012 1 k 12 nan法 三 : 由 遞 推 公 式 得

16、 , , ,將 上 述 各 式 相 加 并 化 簡 得 (n )又 n=1時 , 顯 然 成 立 . 所 以 對 一 切 正 整 數(shù) n成 立 .2 12 12 12 nnn aaa ,12 2 22 22 1 nnn aaa .12 212122 aaa 1222)1(2211)1(2 22 121212 nnnaanaa nn 212 na n 2)解 法 一 : 1)12( )1(21)1211(1)11(1 211 nn nnnnnnnana nabb nnnnn .,0.121 41)21(12 )1(2 12 nnn bbbnnnnn 故由解 法 二 : 又 .0)112 1(11

17、)1212 12(11 nnnnnnn ,22 1 nn bb ,0nb .1 nn bb )12(11 )21(111 22 22222 1221 naan naaannanabb nn nnnnnnn 求 解 策 略 證 明 數(shù) 列 不 等 式 問 題 , 一 般 可 采 用 數(shù)學 歸 納 法 、 分 析 法 、 綜 合 、 比 較 法 、 放 縮 法 等 方 法 來 證明 . 有 時 要 綜 合 使 用 幾 種 方 法 .其 中 (1)中 證 法 一 、 證 法二 都 利 用 了 數(shù) 學 歸 納 法 , 證 法 一 、 證 法 三 都 將 目 標 鎖 定為 證 明 去 掉 了 根 式 ,

18、 利 用 放 縮 法 得 證 ;證 法 二 , 看 到 遞 推 關 系 與 函 數(shù) 的 關 系 , 利 用 函 數(shù) 單調(diào) 性 和 分 析 法 得 證 . 證 法 三 利 用 迭 加 , 變 更 了 遞 推 關 系 , 這 是 對 遞 推 公 式 常 用 的 變 形 方 式 之 一 . (2)中 利 用 比 較法 , 方 法 一 是 作 商 法 , 方 法 二 并 不 是 直 接 作 差 , 而 是 利用 平 方 差 , 消 除 了 根 式 , 簡 化 了 運 算 , 在 不 等 式 的 證 明中 , 觀 察 式 子 的 結(jié) 構 特 征 再 合 理 地 進 行 放 縮 , 是 成 功 的關 鍵

19、. 122 nan xxxf 1)( 求 解 策 略 數(shù) 列 與 解 析 幾 何 的 綜 合 題 以 坐 標 為 載 體 ,以數(shù) 列 為 主 體 內(nèi) 容 將 解 析 幾 何 、 平 面 幾 何 與 數(shù) 列 的 相 關 知 識聯(lián) 系 在 一 起 . 該 類 問 題 往 往 以 曲 線 上 的 點 的 無 限 運 動 為 背景 , 解 決 問 題 的 關 鍵 是 尋 求 點 的 坐 標 間 的 相 互 聯(lián) 系 , 得 到遞 推 關 系 ,再 運 用 數(shù) 列 知 識 進 行 求 解 .例 4.（ 2004浙 江 ) OBC的 三 個 頂 點 坐 標 分 別 為 (0,0)、(1,0)、 (0,2),

20、設 P1為 線 段 BC的 中 點 , 為 線 段 CO的 中 點 , 為 線 段 的 中 點 ,對 于 每 一 個 正 整 數(shù) n, 為 線 段的 中 點 ,令 的 坐 標 為 , .(1)求 (2)證 明(3)若 記 證 明 是 等 比 數(shù) 列 .,444 Nnyyb nnn nb4、 數(shù) 列 與 解 析 幾 何 的 綜 合 2P3P 1OP 3nP 1nnPPnP ),( nn yx 121 nnn yya 2 ny;, 321 naaaa 及 ;,414 Nnyy nn 5、 數(shù) 列 應 用 問 題 例 5.(2001年 全 國 卷 )從 社 會 效 益 和 經(jīng) 濟 效 益 出 發(fā) ,

21、 某 地 投 入 資 金 進 行 生 態(tài) 環(huán) 境 建 設 , 并 以 此 發(fā) 展 旅 游 產(chǎn) 業(yè) . 根 據(jù) 規(guī) 劃 , 本 年 度 投 入 800萬 元 ,以 后 每 年 投 入 將 比 上 年 減 少 , 本 年 度 當 地 旅 游 業(yè) 收 入 估 計 為 400萬 元 , 由 于 該 項 建 設 對 旅 游 業(yè) 的 促 進 作 用 , 預 計 今 后 的 旅 游 業(yè) 每 年 會 比 上 年 增 加 (1)設 年 n內(nèi) (本 年 度 為 第 一 年 )總 投 入 為 萬 元 ,旅 游 總 收 入 為 萬 元 , 寫 出 的 通 項 公 式 ; (2)至 少 經(jīng) 過 幾 年 , 旅 游 業(yè)

22、的 總 收 入 才 能 超 過 總 投 入 ? 51 .41 nanb nn ba , 求 解 策 略 解 數(shù) 列 應 用 題 的 關 鍵 是 將 實 際 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 數(shù)列 問 題 (等 差 、 等 比 數(shù) 列 、 遞 推 關 系 模 型 ), 然 后 利 用 相 關知 識 求 解 . 解 題 時 首 先 要 讀 懂 題 目 , 理 解 題 意 , 對 陌 生 的背 景 、 文 字 敘 述 比 較 長 的 題 目 , 要 充 滿 信 心 , 從 問 題 中 盡可 能 多 地 獲 取 信 息 ,大 膽 聯(lián) 想 ,合 理 轉(zhuǎn) 化 為 我 們 熟 悉 的 問 題 . 總 之 , 數(shù) 列 綜

23、合 題 常 常 是 數(shù) 列 與 函 數(shù) 、不 等 式 、 幾 何 等 知 識 點 的 交 匯 , 因 此 要 加強 數(shù) 學 知 識 的 綜 合 運 用 , 要 有 意 識 的 運 用函 數(shù) 方 程 思 想 、 轉(zhuǎn) 化 思 想 和 分 類 討 論 的 思想 來 探 求 解 題 思 路 . 同 時 要 鼓 勵 合 理 的 猜想 、 要 重 視 數(shù) 學 歸 納 法 的 運 用 . 四 、 教 法 分 析 新 的 課 程 標 準 指 出 , 教 學 過 程 也 是 學 生 的 認 識 過 程 , 學生 在 教 學 活 動 中 始 終 處 于 主 體 地 位 , 教 師 則 應 成 為 學 習 活動 的

24、 促 進 者 , 而 非 單 純 的 知 識 傳 授 者 , 其 基 本 任 務 也 就 在于 促 進 和 增 強 學 生 的 數(shù) 學 學 習 過 程 . 根 據(jù) 本 節(jié) 內(nèi) 容 的 特 點和 學 生 的 認 知 規(guī) 律 , 我 采 用 : 問 題 探 究 式 、 啟 發(fā) 發(fā) 現(xiàn) 式 等方 法 進 行 教 學 , 同 時 采 用 討 論 式 組 織 課 堂 教 學 . 在 教 學 中我 都 是 先 提 出 問 題 , 讓 學 生 觀 察 分 析 、 自 主 探 索 、 歸 納 總結(jié) , 從 而 真 正 使 學 生 養(yǎng) 成 獨 立 思 考 , 仔 細 觀 察 , 認 真 分 析 , 嚴 謹 推

25、理 的 學 習 習 慣 , 并 提 高 他 們 的 自 學 能 力 與 探 索 意 識 .同 時 鼓 勵 學 生 相 互 交 流 ， 從 而 促 使 學 生 真 正 成 為 自 覺 投 入且 積 極 建 構 的 學 習 活 動 中 的 主 體 . 五 、 評 價 分 析 本 節(jié) 內(nèi) 容 的 設 計 從 教 學 內(nèi) 容 的 引 入 、 展 開 、 揭 示 等 方 面出 發(fā) , 教 給 學 生 探 求 知 識 的 方 法 , 教 會 學 生 應 用 所 學 知 識 解決 問 題 的 能 力 . 本 節(jié) 教 學 設 計 以 發(fā) 展 學 生 的 思 維 能 力 為 中 心 , 以 轉(zhuǎn) 化 為 主 線

26、, 注 重 展 示 學 生 的 思 維 過 程 , 注 重 讓 學 生 參 與知 識 的 形 成 過 程 , 由 特 殊 到 一 般 , 由 易 到 難 , 一 環(huán) 扣 一 環(huán) , 從 而 增 強 他 們 學 好 數(shù) 學 的 信 心 . 同 時 以 問 題 為 載 體 , 讓 學 生經(jīng) 歷 主 動 參 與 , 積 極 探 求 的 過 程 , 讓 學 生 觀 察 、 歸 納 、 總 結(jié) 、反 思 , 因 而 有 效 的 實 現(xiàn) 了 教 學 目 標 , 發(fā) 展 了 學 生 的 能 力 . 六 、 教 學 過 程 設 計 本 節(jié) 內(nèi) 容 共 分 兩 個 課 時 , 數(shù) 列 各 部 分 知 識 、 數(shù)

27、 列與 函 數(shù) 、 數(shù) 列 與 不 等 式 的 綜 合 為 第 一 課 時 , 數(shù) 列 和解 析 幾 何 的 綜 合 與 數(shù) 列 的 應 用 題 為 第 二 課 時 . 第 一 課 時 共 分 五 個 環(huán) 節(jié) , 具 體 安 排 如 下 ： 復 習 回 顧 教 師 開 門 見 山 點 出 主 題 , 并 引 導 學 生 回顧 數(shù) 列 的 有 關 性 質(zhì) . 課 前 熱 身 教 師 給 出 三 個 小 題 , 讓 學 生 先 練 習 , 教 師 進 行 行 間 巡 視 ,個 別 輔 導 ,然 后 請 學 生 回 答 ,教 師再 作 補 充 . 范 例 分 析 將 復 習 目 標 題 型 化 ,

28、通 過 三 個 典 型 例 題 , 讓學 生 在 具 體 問 題 中 理 解 知 識 , 掌 握 方 法 , 這 樣 能 使 學 生 理解 更 加 具 體 、 深 刻 . 該 環(huán) 節(jié) 先 讓 學 生 獨 立 思 考 、 自 主 練 習 , 然 后 教 師 采 用 “ 焦 點 訪 談 ” 式 的 教 學 , 在 焦 點 (難 點 、 疑 點 、迷 點 、 易 錯 點 )啟 發(fā) 學 生 尋 找 突 破 口 , 通 過 訪 談 (請 同 學 回答 ), 集 中 學 生 的 智 慧 ,讓 學 生 的 思 維 在 關 鍵 處 閃 光 , 能 力在 要 害 處 增 長 , 缺 點 在 細 微 處 暴 露 ,意 志 在 艱 難 處 磨 礪 .通過 訪 談 ,實 現(xiàn) 師 生 之 間 、 學 生 之 間 智 慧 和 能 力 互 補 , 并 促 進心 靈 和 感 情 的 溝 通 . 歸 納 總 結(jié) 提 煉 本 節(jié) 課 的 要 點 , 歸 納 主 要 涉 及 的 數(shù) 學 思想 方 法 、 技 巧 、 規(guī) 律 . 這 一 環(huán) 節(jié) 先 讓 學 生 回 答 , 然 后 教 師適 當 補 充 、 完 善 . 鞏 固 練 習 本 節(jié) 課 共 布 置 練 習 六 個 , 其 中 最 后 兩 題 為 選作 題 (為 第 二 節(jié) 課 作 鋪 墊 ).