分離爪零件的機(jī)械加工工藝規(guī)程及鉆φ3孔夾具設(shè)計(jì),分離爪零件的機(jī)械加工工藝規(guī)程及鉆φ3孔夾具設(shè)計(jì),分離,零件,機(jī)械,加工,工藝,規(guī)程,夾具,設(shè)計(jì) 目錄 一、 零件的分析 1 （一） 零件的作用 1 （二） 零件的工藝分析 1 （三） 零件圖 1 二、 工藝規(guī)程設(shè)計(jì) 2 (一)確定毛坯的制造形式 2 （二）基面的選擇 3 （三）制定工藝路線 3 （四）機(jī)械加工余量、工序尺寸及毛皮尺寸的確定 4 三、 夾具設(shè)計(jì) 9 （一）問(wèn)題的提出 10 （二）確定結(jié)構(gòu)方案 10 (三)平衡配重設(shè)計(jì) 11 （四）設(shè)計(jì)制定夾具主要技術(shù)條件 11 （五）設(shè)計(jì)感想及體會(huì) 11 參考文獻(xiàn) 13 零件的分析 （一） 零件的作用 題目所給的零件是分離爪。它位于車床變速機(jī)構(gòu)中，主要起換檔的作用，使主軸回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)按照工作者的要求工作，工作過(guò)程：撥叉零件是在傳動(dòng)系統(tǒng)中撥動(dòng)滑移齒輪，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)調(diào)速，轉(zhuǎn)向。 （二） 零件的工藝分析 C6132D車床共有兩處加工表面和一個(gè)空內(nèi)表面，其間有一定位置要求。分述如下： 1， 零件孔Φ40mm的上加工表面 這一組加工表面包括：孔Φ40mm的下加工表面，孔Φ40mm的外表面，有粗糙度要求為Ra等于5um。 加工時(shí)以Φ50mm下端面為基準(zhǔn)面，并加緊Φ50的左右兩端面。 2， 孔Φ50mm下端面及孔Φ36的內(nèi)表面 其中Φ50mm的下端面有粗糙度要求為Ra等于5um，這需要粗車；孔Φ36mm的內(nèi)表面粗糙度要求5，需要進(jìn)一步精車，這都以Φ40空及端面定位，這就是先選一粗基準(zhǔn)，然后必須要用已加工表面作為精基準(zhǔn) 根據(jù)各加工方法的經(jīng)濟(jì)精度及一般機(jī)床所能達(dá)到的位置精 度，該零件沒(méi)有很難加工的表面尺寸，上述表面的技術(shù)要求采用常規(guī)加工工藝均可以保證，對(duì)于這兩組加工表面而言，可以先加工其中一組表面，然后借助于專用夾具加工另一組表面，并且保證它們的位置精度要求 （三） 零件圖 二、 工藝規(guī)程設(shè)計(jì) (一)確定毛坯的制造形式 1：零件材料為QT40-10?？紤]零件在機(jī)床運(yùn)行過(guò)程中所受沖擊不大，零件結(jié)構(gòu)又比較簡(jiǎn)單，故選擇鑄件毛坯。 2：已知零件的生產(chǎn)為大批生產(chǎn)，初步確定工藝安排的基本傾向?yàn)椋杭庸み^(guò)程劃分階段，工序都要集中，加工設(shè)備主要以專用設(shè)備為主，采用專用夾具，這樣生產(chǎn)質(zhì)量高，投產(chǎn)快生產(chǎn)率較高，能適應(yīng)大批量需求 3：根據(jù)零件的材料確定毛坯為鑄件，材料為QT40-10，毛坯的鑄造方法為砂型型鑄造，鑄件尺寸公差等級(jí)為IT13級(jí)以下。 （二）基面的選擇 基面選擇是工藝規(guī)程設(shè)計(jì)中的重要工作之一?；孢x擇得正確與合理可以使加工質(zhì)量得到保證，生產(chǎn)率得以提高。 （1）粗基準(zhǔn)的選擇。對(duì)于零件而言，盡可能選擇不加工表面為粗基準(zhǔn)。而對(duì)有若干個(gè)不加工表面的工件，則應(yīng)以與加工表面要求相對(duì)位置精度較高的不加工表面作粗基準(zhǔn)。根據(jù)這個(gè)基準(zhǔn)選擇原則，現(xiàn)選取φ50孔的上表面作為粗基準(zhǔn)，利用圓柱來(lái)定位，另外四爪握住兩邊來(lái)限制六個(gè)自由度，達(dá)到完全定位,然后進(jìn)行車削。 （2）精基準(zhǔn)的選擇。主要應(yīng)該考慮基準(zhǔn)重合的問(wèn)題。 （三）制定工藝路線 制定工藝路線，在生產(chǎn)綱領(lǐng)確定的情況下, 根據(jù)零件的幾何形狀、尺寸精度及位置精度等技術(shù)要求來(lái)制定工藝路線?？梢钥紤]采用萬(wàn)能性機(jī)床配以專用工卡具,并盡量使工序集中來(lái)提高生產(chǎn)率。除此之外，還應(yīng)當(dāng)考慮經(jīng)濟(jì)效果，以便使生產(chǎn)成本盡量下降。 1..工藝路線方案 工序一 鑄造。 工序二 低溫退火熱處理。 工序三 以Φ50mm的孔及下端面定位，車φ40孔，并車孔的上端面。 工序四 以Φ40內(nèi)孔及上端面定位，車Φ50下端面及Φ36mm孔。 工序五 以Φ40內(nèi)孔及上端面定位，精車φ36及Φ36.5孔。 工序六 以Φ36內(nèi)孔及端面定位，精車Φ40外圓倒角。 工序七 以Φ36內(nèi)孔及端面定位，銑Φ8.3mm孔兩端至尺寸8+0.5mm，保證30mm尺寸至30±0.03mm，表面粗糙度要求為5mm。 工序八　 以Φ36內(nèi)孔及端面定位，鉆、鉸Φ8.3mm至尺寸。 工序九 以Φ36內(nèi)孔及端面定位，鉆Φ3的孔，孔口倒角。 工序十　 以Φ36內(nèi)孔及端面定位，精銑螺旋面 工序十一 去毛刺。 工序十二 檢驗(yàn)。 2，選擇機(jī)床 （1） 工序三，工序四，工序五，工序六均為車表面，可用C6132D車床。 （2） 工序七為銑削工藝，可采用銑床XD6132。 (３) 工序八、九為鉆，鉸工藝，用臺(tái)式鉆床Z402。 (４) 工學(xué)十需精銑螺旋面，很復(fù)雜，選用數(shù)控立式升降臺(tái)銑床XK5025 3，選擇夾具:每個(gè)工序都可以采用專用的夾具,夾具后面再設(shè)計(jì)。 4，選擇刀具:在銑床上用硬質(zhì)合金端銑刀，銑上下兩槽用三面刃銑刀，在車床上選硬質(zhì)合金外圓車刀和端面車刀，鉆床用直柄麻花鉆和錐柄機(jī)用鉸刀，數(shù)控銑床用專用螺旋面銑刀 5，選擇量具:精度要求較高的可用內(nèi)徑千分尺量程50～125，其余用游標(biāo)卡尺分度值為0.02 （四）機(jī)械加工余量、工序尺寸及毛皮尺寸的確定 ”分離爪”；零件材料為QT40-10，生產(chǎn)類型大批量，鑄造毛坯。 據(jù)以上原始資料及加工路線，分別確定各加工表面的機(jī)械加工余量、工序尺寸及毛坯尺寸如下： 1. 查《機(jī)械制造工藝設(shè)計(jì)簡(jiǎn)明手冊(cè)》（以下稱《工藝手冊(cè)》 銑削加工余量為： 粗銑 2-4mm 半精銑 1-2mm 精銑 0-1mm 2．圓柱（φ40用鑄成）內(nèi)孔φ8.3用鉆和鉸成，加工余量： 鉆孔 1mm 3．粗車加工余量： 粗 車 1.2mm 半精車 0.8mm 由于本設(shè)計(jì)規(guī)定的零件為大批量生產(chǎn)，應(yīng)該采用調(diào)整加工。因此在計(jì)算最大、最小加工余量時(shí)應(yīng)按調(diào)整法加工方式予以確認(rèn)。 （五）確立切削用量及基本工時(shí) 工序一 　　毛坯工序Ⅰ 用鑄造尺寸如毛坯圖（CAD毛坯圖） 工序二　以φ36mm孔及端面定位銑φ8.3孔上下兩端面 1. 加工條件 工件材料：QT40-10，σb=16GPa，HB=190~241,鑄造。 加工要求：粗銑φ8.3上下兩端面面。 機(jī)床：銑床，XD6132臥式銑床。 刀具：硬質(zhì)合金鋼端銑刀,牌號(hào)YG6。銑削寬度ae<=40mm,深度ap<=1.5mm齒數(shù)z=10,故據(jù)《切削用量簡(jiǎn)明手冊(cè)》（后簡(jiǎn)稱《切削手冊(cè)》）取刀具直徑do=80mm。選擇刀具前角γo＝＋5°后角αo＝8°，副后角αo’=8°，刀齒斜角λs=－10°,主刃Kr=60°,過(guò)渡刃Krε=30°,副刃Kr’=5°過(guò)渡刃寬bε=1mm。 2. 切削用量 1）銑削深度 因?yàn)榍邢髁枯^小，故可以選擇ap=1.3mm，一次走刀即可完成所需長(zhǎng)度。 2）每齒進(jìn)給量 機(jī)床功率為7.5kw。查《切削手冊(cè)》f=0.14~0.24mm/z。由于是對(duì)稱銑，選較小量f=0.14 mm/z。 3）查后刀面最大磨損及壽命 查《切削手冊(cè)》表3.7，后刀面最大磨損為1.0~1.5mm。 查《切削手冊(cè)》表3.8，壽命T=180min 4）計(jì)算切削速度 按《切削手冊(cè)》，V c= 算得 Vc＝98mm/s，n=439r/min,Vf=490mm/s 據(jù)XA6132銑床參數(shù)，選擇nc=475r/min,Vfc=475mm/s,則實(shí)際切削速度V c=3.14*80*475/1000=119.3m/min,實(shí)際進(jìn)給量為f zc=V fc/ncz=475/(300*10)=0.16mm/z。 5)校驗(yàn)機(jī)床功率 查《切削手冊(cè)》Pcc=1.1kw,而機(jī)床所能提供功率為Pcm>Pcc。故校驗(yàn)合格。 最終確定 ap=1.3mm，nc=475r/min,Vfc=475mm/s，V c=119.3m/min，f z=0.16mm/z。 6）計(jì)算基本工時(shí) tm＝L/ Vf=(40+40)/475=0.168min。 工序三 　　以φ36及端面為精基準(zhǔn)，鉆、鉸φ8.3孔 1. 選擇鉆頭 選擇直柄麻花鉆鉆頭，粗鉆時(shí)do=8mm，鉆頭采用雙頭刃磨法，后角αo＝12°，二重刃長(zhǎng)度=2.5mm,橫刀長(zhǎng)b=1.5mm,寬l=3mm,棱帶長(zhǎng)度 ° ° ° 2.選擇切削用量 （1）決定進(jìn)給量 查《切》 ，所以， 按鉆頭強(qiáng)度選擇 按機(jī)床強(qiáng)度選擇 最終決定選擇機(jī)床已有的進(jìn)給量 經(jīng)校驗(yàn) 校驗(yàn)成功。 （2）鉆頭磨鈍標(biāo)準(zhǔn)及壽命　 后刀面最大磨損限度（查《切》）為0.5～0.8mm，壽命． 　（3）切削速度 查《切》 修正系數(shù) 故。 查《切》機(jī)床實(shí)際轉(zhuǎn)速為 故實(shí)際的切削速度 （4）校驗(yàn)扭矩功率 所以 故滿足條件，校驗(yàn)成立。 3.計(jì)算工時(shí) T=L/nf=65/272*1.45=0.163min 工序四 　　以φ36及端面為精基準(zhǔn)，鉆、鉸φ3mm孔，倒角 1. 選擇鉆頭 選擇粗直柄麻花鉆鉆頭，粗鉆時(shí)do=3mm，鉆頭采用雙頭刃磨法，后角αo＝4°，二重刃長(zhǎng)度=1.5mm,橫刀長(zhǎng)b=1mm,寬l=3mm,棱帶長(zhǎng)度 ° ° ° 2.選擇切削用量 （1）決定進(jìn)給量 查《切》 f=0.3-0.5mm/r ，所以， 按鉆頭強(qiáng)度選擇 按機(jī)床強(qiáng)度選擇 最終決定選擇機(jī)床已有的進(jìn)給量 經(jīng)校驗(yàn) 校驗(yàn)成功。 （2）鉆頭磨鈍標(biāo)準(zhǔn)及壽命　 后刀面最大磨損限度（查《切》）為0.5～0.8mm，壽命． ?。?）切削速度 查《切》 修正系數(shù) 故。 查《切》機(jī)床實(shí)際轉(zhuǎn)速為 故實(shí)際的切削速度 （4）校驗(yàn)扭矩功率 所以 故滿足條件，校驗(yàn)成立。 3.計(jì)算工時(shí) T=L/nf=65/272*1.45=0.163min 工序十一 去毛刺 工序十二 檢查。 其余幾步數(shù)據(jù)見(jiàn)工藝卡片。 三、 夾具設(shè)計(jì) 經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析決定設(shè)計(jì)鉆床夾具。在確定夾具設(shè)計(jì)方案時(shí)應(yīng)當(dāng)遵循的原則是：① 確保工件的加工質(zhì)量；② 工藝性好，結(jié)構(gòu)盡量簡(jiǎn)單；③ 使用性好，操作省力高效；④ 定位、夾緊快速、準(zhǔn)確，能提高生產(chǎn)率；⑤ 經(jīng)濟(jì)性好，制造成本低廉。確定最合理的設(shè)計(jì)方案。 ⑴ 確定定位方案，設(shè)計(jì)定位裝置。定位應(yīng)符合“六點(diǎn)定位原則”。定位元件盡可能選用標(biāo)準(zhǔn)件。 ⑵ 確定夾緊方案，設(shè)計(jì)夾緊機(jī)構(gòu)。夾緊可以用手動(dòng)、氣動(dòng)、液壓或其它動(dòng)力源。重點(diǎn)應(yīng)考慮夾緊力的大小、方向、作用點(diǎn)，以及作用力的傳遞方式，保證不破壞定位，不造成工件過(guò)量變形，不會(huì)有活動(dòng)度為零的“機(jī)構(gòu)”，并且應(yīng)滿足生產(chǎn)率的要求。 ⑶ 確定夾具整體結(jié)構(gòu)方案。定位、夾緊確定之后，還要確定其它機(jī)構(gòu)，如對(duì)刀裝置、導(dǎo)引元件、分度機(jī)構(gòu)、頂出裝置等。最后設(shè)計(jì)夾具體，將各種元件、機(jī)構(gòu)有機(jī)地連接在一起。 ⑷ 夾具精度分析。在繪制的夾具結(jié)構(gòu)草圖上，標(biāo)注出初步確定的定位元件的公差配合關(guān)系及相互位置精度，然后計(jì)算定位誤差，根據(jù)誤差不等式關(guān)系檢驗(yàn)所規(guī)定的精度是否滿足本工序加工技術(shù)要求，是否合理。否則應(yīng)采取措施（如重新確定公差、更換定位元件、改變定位基準(zhǔn)，必要時(shí)甚至改變?cè)O(shè)計(jì)方案），然后重新分析計(jì)算。 ⑸ 夾具夾緊力分析。首先應(yīng)計(jì)算切削力大小，它是計(jì)算夾緊力的主要依據(jù)。通常確定切削力有以下三種方法：① 由經(jīng)驗(yàn)公式算出；② 由單位切削力算出；③ 由手冊(cè)上提供的諾模圖（如M-P-N圖）查出。根據(jù)切削力、夾緊力的方向、大小，按靜力平衡條件求得理論夾緊力。為了保證工件裝夾的安全可靠，夾緊機(jī)構(gòu)（或元件）產(chǎn)生的實(shí)際夾緊力，一般應(yīng)為理論夾緊力的～倍。 （一）問(wèn)題的提出 在給定的零件中，對(duì)本步加工的定位提出具體的要求是一定的公差，定位要求較高。因此，本步的重點(diǎn)應(yīng)在保證工件的定位，來(lái)保證兩孔的尺寸。 具體要求：1、保證孔1，孔2的尺寸。 　　2、保證圖中其它的標(biāo)尺寸。 （二）確定結(jié)構(gòu)方案 方案一： 兩小頭孔外圓用一邊為固定Ｖ型塊，另一邊用可松緊的活動(dòng)Ｖ型塊來(lái)夾緊工件。此結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)在于結(jié)構(gòu)十分簡(jiǎn)單，并且易于實(shí)際應(yīng)用。但其同時(shí)有致命的缺點(diǎn)—夾緊精度不能保證，并且豎直方向沒(méi)有任何夾緊力，這使得零件加工出來(lái)的精度質(zhì)量并不高，并且在進(jìn)行加工時(shí)會(huì)發(fā)生翹曲形變。 方案二： 根據(jù)得到題目要求，需要加工的工序是鉆直徑為的小頭孔，因此工件左端用活動(dòng)Ｖ型塊固定小頭孔外圓，另使用定位銷在中心大孔處進(jìn)行定位。上端使用開口墊圈進(jìn)行固定，這樣在保證豎直方向夾緊力的同時(shí)，又方便加工零件的拆裝。在夾具底座上鑄造有鉆模板，雖然相對(duì)來(lái)說(shuō)結(jié)構(gòu)略微復(fù)雜，但是真正實(shí)際生產(chǎn)當(dāng)中的操作并不繁瑣，甚至要較方案１更加簡(jiǎn)便。 最后確定選擇方案一。 (三)平衡配重設(shè)計(jì) 平衡配重的計(jì)算通常較復(fù)雜，對(duì)于設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，只在夾具體上設(shè)計(jì)了配重塊，配重的調(diào)整需根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行。 （四）設(shè)計(jì)制定夾具主要技術(shù)條件 1： 首先保證孔1，孔2的尺寸和表面粗糙度不大于。 2：其次要保證外圓的尺寸。 3：同時(shí)保證外圓端面粗糙度。 4：繪制裝配圖及零件圖（附）。 （五）設(shè)計(jì)感想及體會(huì) 為期三周的夾具課程設(shè)計(jì)已經(jīng)接近尾聲，回顧整個(gè)過(guò)程，通過(guò)老師和同學(xué)的幫助，還有自己不懈的努力，終于定時(shí)定量的完成了這次課程設(shè)計(jì)。課程設(shè)計(jì)作為《機(jī)械制造技術(shù)基礎(chǔ)》課程的重要環(huán)節(jié)，使理論與實(shí)踐更加接近，加深了理論知識(shí)的理解，強(qiáng)化了生產(chǎn)實(shí)習(xí)中的感性認(rèn)識(shí)。 本次課程設(shè)計(jì)主要經(jīng)歷了兩個(gè)階段：第一段是接卸加工工藝規(guī)程設(shè)計(jì)，第二階段是專用夾具設(shè)計(jì)。第一階段運(yùn)用了基準(zhǔn)選擇、切削用量選擇計(jì)算、機(jī)床選用、實(shí)踐定額計(jì)算等方面的知識(shí)；夾具設(shè)計(jì)的階段運(yùn)用了工件定位、夾緊機(jī)構(gòu)及零件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)等方面的知識(shí)。 通過(guò)此次設(shè)計(jì)，是我基本掌握了零件的加工過(guò)程分析、工藝文件的編制、專用夾具設(shè)計(jì)的方法和步驟等。學(xué)會(huì)了查相關(guān)手冊(cè)、選擇使用工藝裝備等等。本設(shè)計(jì)還存在很多不足之處。一是由于本人的畫圖不夠純熟，在畫圖遇到復(fù)雜的和難的地方時(shí)顯力不從心，使圖沒(méi)達(dá)到預(yù)期設(shè)計(jì)出來(lái)的水平。二是對(duì)分離爪的工作原理掌握的不夠熟練，在設(shè)計(jì)過(guò)程中不能全面地考慮問(wèn)題，造成走許多彎路，設(shè)計(jì)速度緩慢，這些都需要進(jìn)一步研究和進(jìn)一步實(shí)踐來(lái)解決。 總的來(lái)說(shuō)，這次設(shè)計(jì)，使我們?cè)诨纠碚摰木C合運(yùn)用及正確解決實(shí)際問(wèn)題等方面得到了一次較好的訓(xùn)練。提高了我們的思考、解決問(wèn)題創(chuàng)新設(shè)計(jì)的能力，為以后的設(shè)計(jì)工作打下了較好的基礎(chǔ)。 由于能力所限，設(shè)計(jì)還有許多不足之粗，懇請(qǐng)老師們批評(píng)指正。 參考文獻(xiàn) 1. 機(jī)械工業(yè)出版社.《機(jī)械制造技術(shù)基礎(chǔ)課程設(shè)計(jì)指導(dǎo)教程》 2. 機(jī)械工業(yè)出版社. 《互換性與測(cè)量技術(shù)基礎(chǔ)》第3版 3. 高等教育出版社. 《機(jī)械制圖》 4. 機(jī)械工業(yè)出版社. 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號(hào) 硬 度 型 號(hào) 重 量 QT40-10 170～220 球墨鑄鐵 0.72kg 設(shè) 備 夾 具 名 稱 輔 助 工 具 名 稱 型 號(hào) 臥式車床 C6132D 專用車夾具 安 裝 工 步 安裝及工步說(shuō)明 刀 具 量 具 走 刀 長(zhǎng) 度 走 刀 次 數(shù) 切 削 深 度 進(jìn)給量 主 軸 轉(zhuǎn) 速 切 削 速 度 基 本 工 時(shí) 1 2 粗車大端面 粗車φ36的孔 硬質(zhì)合金外圓車刀 硬質(zhì)合金端面車刀 游標(biāo)卡尺 36mm 1 2.5mm 0.2mm/z 300r/min 33.91mm/min 4.3min 設(shè) 計(jì) 者 指 導(dǎo) 教 師 共 ９ 頁(yè) 第 2 頁(yè) 材料成型及控制工程 機(jī)械加工工序卡片 工序名稱 車削 工序號(hào) 30 零件名稱 分離爪 零件號(hào) 1 零件重量 同時(shí)加工零件數(shù) 1 材 料 毛 坯 牌 號(hào) 硬 度 型 號(hào) 重 量 QT40-10 150-180 球墨鑄鐵 設(shè) 備 夾 具 名 稱 輔 助 工 具 名 稱 型 號(hào) 臥式車床 C6132D 專用車夾具 安 裝 工 步 安裝及工步說(shuō)明 刀 具 量 具 走 刀 長(zhǎng) 度 走 刀 次 數(shù) 切 削 深 度 進(jìn)給量 主 軸 轉(zhuǎn) 速 切 削 速 度 基 本 工 時(shí) 1 2 精車φ36, φ36.5至尺寸要求 硬質(zhì)合金外圓車刀 游標(biāo)卡尺 35mm 2 0.25mm 0.10mm/z 150r/min 16.96 mm/min 17.72 mm/min 5.8min 設(shè) 計(jì) 者 指 導(dǎo) 教 師 共 ９ 頁(yè) 第 3 頁(yè) 材料成型及控制工程 機(jī)械加工工序卡片 工序名稱 車削 工序號(hào) 40 零件名稱 分離爪 零件號(hào) 1 零件重量 同時(shí)加工零件數(shù) 1 材 料 毛 坯 牌 號(hào) 硬 度 型 號(hào) 重 量 QT40-10 150-180 球墨鑄鐵 設(shè) 備 夾 具 名 稱 輔 助 工 具 名 稱 型 號(hào) 臥式車床 C6132D 專用車夾具 安 裝 工 步 安裝及工步說(shuō)明 刀 具 量 具 走 刀 長(zhǎng) 度 走 刀 次 數(shù) 切 削 深 度 進(jìn)給量 主 軸 轉(zhuǎn) 速 切 削 速 度 基 本 工 時(shí) 1 ２ 精車φ40外圓至尺寸要求，倒角1×45度 硬質(zhì)合金外圓車刀 游標(biāo)卡尺 內(nèi)徑千分尺 35mm 2 0.25mm 0.10mm/z 150r/min 18.84 mm/min 2.75min 設(shè) 計(jì) 者 指 導(dǎo) 教 師 共 ９ 頁(yè) 第 4 頁(yè) 材料成型及控制工程 機(jī)械加工工序卡片 工序名稱 銑削 工序號(hào) 50 零件名稱 分離爪 零件號(hào) 1 零件重量 同時(shí)加工零件數(shù) 1 材 料 毛 坯 牌 號(hào) 硬 度 型 號(hào) 重 量 QT40-10 170～220 球墨鑄鐵 0.72kg 設(shè) 備 夾 具 名 稱 輔 助 工 具 名 稱 型 號(hào) 立式銑床 X715 專用銑夾具 安 裝 工 步 安裝及工步說(shuō)明 刀 具 量 具 走 刀 長(zhǎng) 度 走 刀 次 數(shù) 銑 削 深 度 進(jìn)給量 主 軸 轉(zhuǎn) 速 銑 削 速 度 基 本 工 時(shí) 1 1 銑φ8.3孔左端面，保證30mm尺寸至30±0.03，表面粗糙度要求為5um 硬質(zhì)合金端銑刀 游標(biāo)卡尺 8.3mm 1 2.5mm 0.18mm/r 530r/min 50m/min 84s 設(shè) 計(jì) 者 指 導(dǎo) 教 師 共 ９ 頁(yè) 第 5 頁(yè) 材料成型及控制工程 機(jī)械加工工序卡片 工序名稱 銑削 工序號(hào) ６０ 零件名稱 分離爪 零件號(hào) 1 零件重量 同時(shí)加工零件數(shù) 1 材 料 毛 坯 牌 號(hào) 硬 度 型 號(hào) 重 量 QT40-10 170～220 球墨鑄鐵 0.72kg 設(shè) 備 夾 具 名 稱 輔 助 工 具 名 稱 型 號(hào) 立式銑床 X715 專用銑夾具 安 裝 工 步 安裝及工步說(shuō)明 刀 具 量 具 走 刀 長(zhǎng) 度 走 刀 次 數(shù) 銑 削 深 度 進(jìn)給量 主 軸 轉(zhuǎn) 速 銑 削 速 度 基 本 工 時(shí) 1 1 銑φ8.3孔右端面，表面粗糙度要求為5um 硬質(zhì)合金端銑刀 游標(biāo)卡尺 8.3mm 1 2.5mm 0.18mm/r 530r/min 50m/min 84s 設(shè) 計(jì) 者 指 導(dǎo) 教 師 共 ９ 頁(yè) 第 6 頁(yè) 材料成型及控制工程 機(jī)械加工工序卡片 工序名稱 　　　　鉆 工序號(hào) ７０ 零件名稱 分離爪 零件號(hào) 1 零件重量 同時(shí)加工零件數(shù) 1 材 料 毛 坯 牌 號(hào) 硬 度 型 號(hào) 重 量 QT40-10 170～220 球墨鑄鐵 0.72kg 設(shè) 備 夾 具 名 稱 輔 助 工 具 名 稱 型 號(hào) 立式鉆床 Z402 專用鉆夾具 安 裝 工 步 安裝及工步說(shuō)明 刀 具 量 具 走 刀 長(zhǎng) 度 走 刀 次 數(shù) 銑 削 深 度 進(jìn)給量 主 軸 轉(zhuǎn) 速 銑 削 速 度 基 本 工 時(shí) 1 　２ 鉆，鉸φ8.3的孔至要求尺寸 直柄麻花鉆 錐柄機(jī)用鉸刀 內(nèi)徑千分尺 18mm 1 0.4mm/z 0.２mm/z 0.１m/z 400r/min 630r/min 630r/min 29.7m/min 15 m/min 29.7 m/min 25s 25s 25s 設(shè) 計(jì) 者 指 導(dǎo) 教 師 共 ９ 頁(yè) 第 7 頁(yè) 材料成型及控制工程 機(jī)械加工工序卡片 工序名稱 鉆 工序號(hào) ８０ 零件名稱 分離爪 零件號(hào) 1 零件重量 同時(shí)加工零件數(shù) 1 材 料 毛 坯 牌 號(hào) 硬 度 型 號(hào) 重 量 QT40-10 170～220 球墨鑄鐵 0.72kg 設(shè) 備 夾 具 名 稱 輔 助 工 具 名 稱 型 號(hào) 立式鉆床 Z402 專用鉆夾具 安 裝 工 步 安裝及工步說(shuō)明 刀 具 量 具 走 刀 長(zhǎng) 度 走 刀 次 數(shù) 銑 削 深 度 進(jìn)給量 主 軸 轉(zhuǎn) 速 銑 削 速 度 基 本 工 時(shí) 1 ２ 鉆φ3mm孔，孔口倒角1×45度 直柄麻花鉆 內(nèi)徑千分尺 15mm 1 480r/min 520r/min 58.34m/min 37.25m/min 61s 25s 設(shè) 計(jì) 者 指 導(dǎo) 教 師 共 ９ 頁(yè) 第 ８ 頁(yè) 材料成型及控制工程 機(jī)械加工工序卡片 工序名稱 銑削 工序號(hào) ９０ 零件名稱 分離爪 零件號(hào) 1 零件重量 同時(shí)加工零件數(shù) 1 材 料 毛 坯 牌 號(hào) 硬 度 型 號(hào) 重 量 QT40-10 170～220 球墨鑄鐵 0.72kg 設(shè) 備 夾 具 名 稱 輔 助 工 具 名 稱 型 號(hào) 數(shù)控立式升降臺(tái)銑床 XK5025 專用銑夾具 安 裝 工 步 安裝及工步說(shuō)明 刀 具 量 具 走 刀 長(zhǎng) 度 走 刀 次 數(shù) 銑 削 深 度 進(jìn)給量 主 軸 轉(zhuǎn) 速 銑 削 速 度 基 本 工 時(shí) 1 1 精銑螺旋面 1 73s 設(shè) 計(jì) 者 指 導(dǎo) 教 師 共 ９ 頁(yè) 第 ９ 頁(yè) 材料成型及控制工程 機(jī) 械 加 工 工 藝 過(guò) 程 卡 片 零件號(hào) 零 件 名 稱 1 分離爪 工序號(hào) 工 序 名 稱 設(shè) 備 夾 具 刀 具 量 具 名 稱 型 號(hào) 名 稱 名 稱 名 稱 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 砂型鑄造 熱處理 粗車φ40外圓至尺寸φ42mm 粗車端面保證尺寸16mm 粗車大端面 粗車φ36的孔 精車φ36, φ36.5至尺寸要求 精車φ40外圓至尺寸要求，倒角1×45度 銑φ8.3孔左端面，保證30mm尺寸至30±0.03，表面粗糙度要求為5um 銑φ8.3孔右端面，表面粗糙度要求為5um 鉆，鉸φ8.3的孔至要求尺寸 鉆φ3mm孔，孔口倒角1×45度 精銑螺旋面 去毛刺 檢驗(yàn) 臥式車床 臥式車床 臥式車床 臥式車床 立式銑床 立式銑床 立式鉆床 立式鉆床 立式銑床 C6132D C6132D C6132D C6132D X715 X715 Z402 Z402 XK5025 專用車夾具 專用車夾具 專用車夾具 專用車夾具 專用銑夾具 專用銑夾具 專用鉆夾具 專用鉆夾具 專用銑夾具 硬質(zhì)合金外圓車刀 硬質(zhì)合金端面車刀 硬質(zhì)合金外圓車刀 硬質(zhì)合金端面車刀 硬質(zhì)合金外圓車刀 硬質(zhì)合金外圓車刀 硬質(zhì)合金端銑刀 硬質(zhì)合金端銑刀 直柄麻花鉆 錐柄機(jī)用鉸刀 直柄麻花鉆 螺旋銑刀 游標(biāo)卡尺 游標(biāo)卡尺 游標(biāo)卡尺 游標(biāo)卡尺 游標(biāo)卡尺 游標(biāo)卡尺 游標(biāo)卡尺 游標(biāo)卡尺 內(nèi)徑千分尺 內(nèi)徑千分尺 游標(biāo)卡尺 Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 21 (2005) 368378 Keywords: Fixture design; Geometry constraint; Deterministic locating; Under-constrained; Over-constrained constraint status, a workpiece under any locating scheme falls into one of the following three categories: locating problem using screw theory in 1989. It is concluded that the locating wrenches matrix needs to be full rank to achieve deterministic location. This method has been adopted by numerous studies as well. Wang et al. 3 considered ARTICLE IN PRESS 0736-5845/$-see front matter r 2005 Elsevier Ltd. All rights reserved. doi:10.1016/j.rcim.2004.11.012 C3 Corresponding author. Tel.: +15088316092; fax: +15088316412. E-mail address: hsongwpi.edu (H. Song). 1. Well-constrained (deterministic): The workpiece ismatedat auniqueposition when six locatorsare madeto contact the workpiece surface. 2. Under-constrained: The six degrees of freedom of workpiece are not fully constrained. 3. Over-constrained: The six degrees of freedom of workpiece are constrained by more than six locators. In 1985, Asada and By 1 proposed full rank Jacobian matrix of constraint equations as a criterion and formed the basis of analytical investigations for deterministic locating that followed. Chou et al. 2 formulated the deterministic 1. Introduction A xture is a mechanism used in manufacturing operations to hold a workpiece rmly in position. Being a crucial step in process planning for machining parts, xture design needs to ensure the positional accuracy and dimensional accuracy of a workpiece. In general, 3-2-1 principle is the most widely used guiding principle for developing a location scheme. V-block and pin-hole locating principles are also commonly used. Alocationschemeforamachiningxturemustsatisfyanumberofrequirements.Themostbasicrequirementisthat it must provide deterministic location for the workpiece 1. This notion states that a locator scheme produces deterministic location when the workpiece cannot move without losing contact with at least one locator. This has been one of the most fundamental guidelines for xture design and studied by many researchers. Concerning geometry Abstract Geometry constraint is one of the most important considerations in xture design. Analytical formulation of deterministic location has been well developed. However, how to analyze and revise a non-deterministic locating scheme during the process of actual xture design practice has not been thoroughly studied. In this paper, a methodology to characterize xturing systems geometry constraint status with focus on under-constraint is proposed. An under-constraint status, if it exists, can be recognized withgiven locatingscheme.All un-constrainedmotionsofaworkpiece inanunder-constraintstatuscanbeautomaticallyidentied. This assists the designer to improve decit locating scheme and provides guidelines for revision to eventually achieve deterministic locating. r 2005 Elsevier Ltd. All rights reserved. CAM Lab, Department of Mechanical Engineering, Worcester Polytechnic Institute, 100 Institute Rd, Worcester, MA 01609, USA Received 14 September 2004; received in revised form 9 November 2004; accepted 10 November 2004 Locating completeness evaluation and revision in xture plan H. Song C3 , Y. Rong locatorworkpiece contact area effects instead of applying point contact. They introduced a contact matrix and pointed out that two contact bodies should not have equal but opposite curvature at contacting point. Carlson 4 suggested that a linear approximation may not be sufcient for some applications such as non-prismatic surfaces or non-small relative errors.Heproposed asecond-order Taylor expansionwhichalsotakes locatorerror interaction into account. Marin and Ferreira 5 applied Chous formulation on 3-2-1 location and formulated several easy-to-follow planning rules. Despite the numerous analytical studies on deterministic location, less attention was paid to analyze non-deterministic location. In the Asada and Bys formulation, they assumed frictionless and point contact between xturing elements and workpiece. The desired location is q*, at which a workpiece is to be positioned and piecewisely differentiable surface function is g i (as shown in Fig. 1). The surface function isdened as g i q C3 0: To be deterministic, there should be a unique solution for the following equation set for all locators. g i q0; i 1;2; .; n, (1) where n is the number of locators and q x 0 ; y 0 ; z 0 ;y 0 ;f 0 ;c 0 C138 represents the position and orientation of the workpiece. Only considering the vicinity of desired location q C3 ; where q q C3 Dq; Asada and By showed that ARTICLE IN PRESS H. Song, Y. Rong / Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 21 (2005) 368378 369 g i qg i q C3 h i Dq, (2) where h i is the Jacobian matrix of geometry functions, as shown by the matrix in Eq. (3). The deterministic locating requirement can be satised if the Jacobian matrix has full rank, which makes the Eq. (2) to have only one solution q q C3 : rank qg 1 qx 0 qg 1 qy 0 qg 1 qz 0 qg 1 qy 0 qg 1 qf 0 qg 1 qc 0 : qg i qx 0 qg i qy 0 qg i qz 0 qg i qy 0 qg i qf 0 qg i qc 0 : qg n qx 0 qg n qy 0 qg n qz 0 qg n qy 0 qg n qf 0 qg n qc 0 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 8 : 9 = ; 6. (3) Upongivena3-2-1locatingscheme, therankofaJacobianmatrixforconstraintequationstellstheconstraintstatus as shown in Table 1. If the rank is less than six, the workpiece is under-constrained, i.e., there exists at least one free motion of the workpiece that is not constrained by locators. If the matrix has full rank but the locating scheme has more than six locators, the workpiece is over-constrained, which indicates there exists at least one locator such that it can be removed without affecting the geometry constrain status of the workpiece. For locating a model other than 3-2-1, datum frame can be established to extract equivalent locating points. Hu 6 has developed a systematic approach for this purpose. Hence, this criterion can be applied to all locating schemes. X Y Z O X Y Z O (x 0 ,y 0 ,z 0 ) g i UCS WCS Workpiece Fig. 1. Fixturing system model. They further introduced several indexes derived from those matrixes to evaluate locator congurations, followed by optimization through constrained nonlinear programming. Their analytical study, however, does not concern the ARTICLE IN PRESS revision of non-deterministic locating. Currently, there is no systematic study on how to deal with a xture design that failed to provide deterministic location. 2. Locatingcompletenessevaluation If deterministic location is not achieved by designed xturing system, it is as important for designers to know what the constraint status is and how to improve the design. If the xturing system is over-constrained, informa- tion about the unnecessary locators is desired. While under-constrained occurs, the knowledge about all the un- constrained motions of a workpiece may guide designers to select additional locators and/or revise the locating scheme more efciently. A general strategy to characterize geometry constraint status of a locating scheme is described in Fig. 2. In this paper, the rank of locating matrix is exerted to evaluate geometry constraint status (see Appendix for derivation of locating matrix). The deterministic locating requires six locators that provide full rank locating matrix W L : As shown in Fig. 3, for given locator number n; locating normal vector a i ; b i ; c i C138 and locating position x i ; y i ; z i C138 for each locator, i 1;2; .; n; the n C26 locating matrix can be determined as follows: a 1 b 1 c 1 c 1 y 1 C0 b 1 z 1 a 1 z 1 C0 c 1 x 1 b 1 x 1 C0 a 1 y 1 : : : : 2 6 3 7 Kang et al. 7 followed these methods and implemented them to develop a geometry constraint analysis module in their automated computer-aided xture design verication system. Their CAFDV system can calculate the Jacobian matrix and its rank to determine locating completeness. It can also analyze the workpiece displacement and sensitivity to locating error. Xiong et al. 8 presented an approach to check the rank of locating matrix W L (see Appendix). They also intro- duced left/right generalized inverse of the locating matrix to analyze the geometric errors of workpiece. It has been shown that the position and orientation errors DX of the workpiece and the position errors Dr of locators are related as follows: Well-constrained : DX W L Dr, (4) Over-constrained : DX W T L W L C01 W T L Dr, (5) Under-constrained : DX W T L W L W T L C01 Dr I 6C26 C0 W T L W L W T L C01 W L l, (6) where l is an arbitrary vector. Table 1 Rank Number of locators Status o 6 Under-constrained 6 6 Well-constrained 6 46 Over-constrained H. Song, Y. Rong / Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 21 (2005) 368378370 W L a i b i c i c i y i C0 b i z i a i z i C0 c i x i b i x i C0 a i y i : : : : a n b n c n c n y n C0 b n z n a n z n C0 c n x n b n x n C0 a n y n 6 6 6 6 6 4 7 7 7 7 7 5 .(7) When rankW L 6 and n 6; the workpiece is well-constrained. When rankW L 6 and n46; the workpiece is over-constrained. This means there are n C06 unnecessary locators in the locating scheme. The workpiece will be well-constrained without the presence of those n C06 locators. The mathematical representationforthisstatusisthat thereare n C06 rowvectorsinlocating matrix thatcanbeexpressed as linear combinations of the other six row vectors. The locators corresponding to that six row vectors consist one ARTICLE IN PRESS locat determ 1. 2. 3. 4. be 3. workpi H. Song, Y. Rong / Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 21 (2005) 368378 371 ing scheme that provides deterministic location. The developed algorithm uses the following approach to ine the unnecessary locators: Find all the combination of n C06 locators. For each combination, remove that n C06 locators from locating scheme. Recalculate the rank of locating matrix for the left six locators. If the rank remains unchanged, the removed n C06 locators are responsible for over-constrained status. This method may yield multi-solutions and require designer to determine which set of unnecessary locators should removed for the best locating performance. When rankW L o6; the workpiece is under-constrained. Algorithmdevelopmentandimplementation The algorithm to be developed here will dedicate to provide information on un-constrained motions of the ece in under-constrained status. Suppose there are n locators, the relationship between a workpieces position/ Fig. 2. Geometry constraint status characterization. X Z Y (a 1 ,b 1 ,c 1 ) 2 ,b 2 ,c 2 ) (x 1 ,y 1 ,z 1 ) (x 2 ,y 2 ,z 2 ) (a i ,b i ,c i ) (x i ,y i ,z i ) (a Fig. 3. A simplied locating scheme. orient ij L L L ARTICLE IN PRESS 372 5. To identify allthe un-constrained motions oftheworkpiece, V dx i ;dy i ;dz i ;da xi ;da yi ;da zi C138 isintroducedsuchthat V DX 0. (9) Since rankDXo6; there must exist non-zero V that satises Eq. (9). Each non-zero solution of V represents an un- constrained motion. Each term of V represents a component of that motion. For example, 0;0;0;3;0;0C138 says that the rotation about x-axisisnotconstrained. 0;1;1;0;0;0C138 meansthat theworkpiececanmovealongthedirection given by vector 0;1;1C138: There could be innite solutions. The solution space, however, can be constructed by 6C0 rankW L basic solutions. Following analysis is dedicated to nd out the basic solutions. From Eqs. (8) and (9) VX dxDx dyDy dzDz da x Da x da y Da y da z Da z dx X n i1 w 1i Dr i dy X n i1 w 2i Dr i dz X n i1 w 3i Dr i da x X n i1 w 4i Dr i da y X n i1 w 5i Dr i da z X n i1 w 6i Dr i X n i1 Vw 1i ; w 2i ; w 3i ; w 4i ; w 5i ; w 6i C138 T Dr i 0. 10 Eq. (10) holds for 8Dr i if and only if Eq. (11) is true for 8i1pipn: Vw 1i ; w 2i ; w 3i ; w 4i ; w 5i ; w 6i C138 T 0. (11) Eq. (11) illustrates the dependency relationships among row vectors of W r : In special cases, say, all w 1j equal to zero, V has an obvious solution 1, 0, 0, 0, 0, 0, indicating displacement along the x-axis is not constrained. This is easy to understand because Dx 0 in this case, implying that the corresponding position error of the workpiece is not dependent of any locator errors. Hence, the associated motion is not constrained by locators. Moreover, a combined motion is not constrained if one of the elements in DX can be expressed as linear combination of other elements. For instance, 9w 1j a0;w 2j a0; w 1j C0w 2j for 8j: Inthisscenario,theworkpiece cannotmovealong x-ory-axis.However,it can move along the diagonal line between x-andy-axis dened by vector 1, 1, 0. To nd solutions for general cases, the following strategy was developed: 1. Eliminate dependent row(s) from locating matrix. Let r rank W L ; n number of locator. If ron; create a vector in n C0 r dimension space U u 1 : u j : u nC0r hi 1pjpn C0 r; 1pu j pn: Select u j in the way that rankW L r still holds after setting all the terms of all the u j th row(s) equal to zero. Set r C26 modied locating matrix W LM a 1 b 1 c 1 c 1 y 1 C0 b 1 z 1 a 1 z 1 C0 c 1 x 1 b 1 x 1 C0 a 1 y 1 : : : : a i b i c i c i y i C0 b i z i a i z i C0 c i x i b i x i C0 a i y i : : : : a n b n c n c n y n C0 b n z n a n z n C0 c n x n b n x n C0 a n y n 2 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 rC26 , wher geomet ation errors and locator errors can be expressed as follows: DX Dx Dy Dz a x a y a z 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 w 11 : w 1i : w 1n w 21 : w 2i : w 2n w 31 : w 3i : w 3n w 41 : w 4i : w 4n w 51 : w 5i : w 5n w 61 : w 6i : w 6n 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 C1 Dr 1 : Dr i : Dr n 2 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 , (8) e Dx;Dy;Dz;a x ;a y ;a z are displacement along x, y, z axis and rotation about x, y, z axis, respectively. Dr i is ric error of the ith locator. w is dened by right generalized inverse of the locating matrix W r W T W W T C01 H. Song, Y. Rong / Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 21 (2005) 368378 where i 1;2; :; niau j : 4. 6. constr Exampl vector ARTICLE IN PRESS L 3 : 0, 0, 1 0 , 2, 1, 0 0 , L 4 : 0, 1, 0 0 , 3, 0, 2 0 , L 5 : 0, 1, 0 0 , 1, 0, 2 0 . Consequently, the locating matrix is determined. W L 001 3 C010 001 3 C030 001 1 C020 010C0203 2 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 . L L v s : v 6 6 6 6 4 7 7 7 5 w q k i : w q k r 6 6 6 4 7 7 7 5 C1 w l1 : w li : w lr : w 61 : w 6i : w 6r 6 6 6 4 7 7 7 5 , where s 1;2; :;6saq j ; saq k ; l 1;2; :;6 laq j : Repeat step 4 (select another term from Q) and step 5 until all 6C0 r basic solutions have been determined. Based on this algorithm, a C+ program was developed to identify the under-constrained status and un- ained motions. e1. In a surface grinding operation, a workpiece is located on a xture system as shown in Fig. 4. The normal and position of each locator are as follows: 1 : 0, 0, 1 0 , 1, 3, 0 0 , 2 : 0, 0, 1 0 ,3,3,0 0 , Calculated undetermined terms of V: V is also a solution of Eq. (11). The r undetermined terms can be found as follows. v 1 : 2 6 6 6 3 7 7 7 w q k 1 : 2 6 6 6 3 7 7 7 w 11 : w 1i : w 1r : 2 6 6 6 3 7 7 7 C01 5. W rm w l1 : w li : w lr : w 61 : w 6i : w 6r 6 6 6 4 7 7 7 5 6C26 , where l 1;2; :;6 laq j : Normalize the free motion space. Suppose V V 1 ; V 2 ; V 3 ; V 4 ; V 5 ; V 6 C138 is one of the basic solutions of Eq. (10) with all six terms undetermined. Select a term q k from vector Q1pkp6C0 r: Set V q k C01; V q j 0 j 1;2; :;6C0 r; jak; ( 2. Compute the 6C2 n right generalized inverse of the modied locating matrix W r W T LM W LM W T LM C01 w 11 : w 1i : w 1r w 21 : w 2i : w 2r w 31 : w 3i : w 3r w 41 : w 4i : w 4r w 51 : w 5i : w 5r w 61 : w 6i : w 6r 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 6C2r 3. Trim W r down to a r C2 rfull rank matrix W rm : r rankW L o6: Construct a 6C0 r dimension vector Q q 1 : q j : q 6C0r hi 1pjp6C0 r; 1pq j pn: Select q j in the way that rankW r r still holds after setting all the terms of all the q j th row(s) equal to zero. Set r C2 r modied inverse matrix w 11 : w 1i : w 1r : 2 6 6 6 3 7 7 7 H. Song, Y. Rong / Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 21 (2005) 368378 373 010C0201 ARTICLE IN PRESS This locating system provides under-constrained positioning since rankW L 5o6: The program then calculates the right generalized inverse of the locating matrix. W r 00 000 0:50:5 C01 C00:51:5 0:75 C01:25 1:50 0 0:25 0:25 C00:50 0 0:5 C00:5000 0000:5 C00:5 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 . The rst row is recognized as a dependent row because removal of this row does not affect rank of the matrix. The other ve rows are independent rows. A linear combination of the independent rows is found according the requirementinstep5oftheprocedureforunder-constrainedstatus.Thesolutionforthisspecialcaseisobviousthatall the coefcients are zero. Hence, the un-constrained motion of workpiece can be determined as V C01; 0; 0; 0; 0; 0C138: This indicates that the workpiece can move along x direction. Based on this result, an additional locator should be employed to constraint displacement of workpiece along x-axis. X Z Y L 3 L 4 L 5 L 2 L 1 Fig. 4. Under-constrained locating scheme. H. Song, Y. Rong / Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 21 (2005) 368378374 Example2. Fig. 5 shows a knuckle with 3-2-1 locating system. The normal vector and position of each locator in this initial design are as follows: L 1 : 0, 1, 0 0 , 896, C0877, C0515 0 , L 2 : 0, 1, 0 0 , 1060, C0875, C0378 0 , L 3 : 0, 1, 0 0 , 1010, C0959, C0612 0 , L 4 : 0.9955, C00.0349, 0.088 0 , 977, C0902, C0624 0 , L 5 : 0.9955, C00.0349, 0.088 0 , 977, C0866, C0624 0 , L 6 : 0.088, 0.017, C00.996 0 , 1034, C0864, C0359 0 . The locating matrix of this conguration is W L 0 1 0 515:000:8960 01 0378: 1:0600 0 1 0 612:00:0100 0:9955 C00:0349 0:0880 C0101:2445 C0707:2664 0:8638 0:9955 C00:0349 0:0880 C098:0728 C0707:2664 0:8280 0:0880 0:0170 C00:9960 866:6257998 :2466 0:0936 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 , rankW L 5o6 reveals that the workpiece is under-constrained. It is found that one of the rst ve rows can be removed without varying the rank of locating matrix. Suppose the rst row, i.e., locator L 1 is removed from W L ; the ARTICLE IN PRESS modied locating matrix turns into W LM 010378:001:0600 0 1 0 612: :0100 0:9955 C00:0349 0:0880 C0101:2445 C0707:2664 0:8638 0:9955 C00:0349 0:0880 C098:0728 C0707:2664 0:8280 0:0880 0:0170 C00:996 866:6257998 :2466 0:0936 2 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 . The right generalized inverse of the modied locating matrix is W r 1:8768 C01:8607 C020:6665 21:3716 0:4995 3:0551 C02:0551 C032:4448 32:4448 0 C01:0956 1:0862 12:0648 C012:4764 C00:2916 C00:0044 0:0044 0:0061 C00:0061 0 0:0025 C00:0025 0:0065 C00:0069 0:0007 C00:0004 0:0004 0:0284 C00:0284 0 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 . The program checked the dependent row and found every row is dependent on other ve rows. Without losing generality, the rst row is regarded as dependent row. The 5C25 modied inverse matrix is 2 3 Fig. 5. Knuckle 610 (modied from real design). H. Song, Y. Rong / Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 21 (2005) 368378 375 W rm 3:0551 C02:0551 C032:4448 32:4448 0 C01:0956 1:0862 12:0648 C012:4764 C00:2916 C00:0044 0:0044 0:0061 C00:0061 0 0:0025 C00:0025 0:0065 C00:0069 0:0007 C00:0004 0:0004 0:0284 C00:0284 0 6 6 6 6 6 6 4 7 7 7 7 7 7 5 . The undetermined solution is V C01; v 2 ; v 3 ; v 4 ; v 5 ; v 6 C138: To calculate the ve undetermined terms of V according to step 5, 1:8768 C01:8607 C020:6665 21:3716 0:4995 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 T C1 3:0551 C02:0551 C032:4448 32:4448 0 C01:0956 1:0862 12:0648 C012:4764 C00:2916 C00:0044 0:0044 0:0061 C00:0061 0 0:0025 C00:0025 0:0065 C00:0069 0:0007 C00:0004 0:0004 0:0284 C00:0284 0 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 C01 0; C01:713; C00:0432; C00:0706; 0:04C138. Substituting this result into the undetermined solution yields V C01;0; C01:713; C00:0432; C00:0706; 0:04C138 This vector represents a free motion dened by the combination of a displacement along C01, 0, C01.713 direction combine