《高等數(shù)學(xué)課件第四章》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)課件第四章（175頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法第四章 解 析 函 數(shù) 的 冪 級(jí) 數(shù) 表 示 輔 導(dǎo) 課 課 件 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 一 .本 章 知 識(shí) 提 要 二 .學(xué) 習(xí) 與 考 試 要 求 三 .本 章 重 點(diǎn) 與 難 點(diǎn) 四 . 本 章 疑 難 解 析 五 .本 章 典 型 例 題 六 .本 章 習(xí) 題 解 析 七 .本 章 測(cè) 試 題 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 一 .本 章 知 識(shí) 提 要1.復(fù) 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)1) 定 義 1 2 n n na a ib設(shè) 有 復(fù) 數(shù) 列 ， （ ，

2、 .)1 21 . .n nn a a a a 稱 為 復(fù) 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 1 2 .n ns a a a 稱 為 復(fù) 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 部 分 和 表 達(dá) 式 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 n如 果 說(shuō) 部 分 和 數(shù) 列 s 收 斂 ，nan=1那 么 稱 級(jí) 數(shù) 收 斂 ， lim nn s s 即 ，,a s nn=1記 為1 nn a否 則 稱 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。 01 lim 0.n nnn a a 收 斂 112 lim 0. (3) lim =0. n nn nn nn na aa a 則 必 發(fā) 散則 不 一 定 收 斂 s為 該 級(jí) 數(shù) 的 和

3、數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 4.2 因 此 ， 一 個(gè) 復(fù) 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 問(wèn) 題 ， 完 全 歸 結(jié) 為 兩 個(gè) 實(shí) 數(shù) 項(xiàng)級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 問(wèn) 題 13 , ,n c nn=1 設(shè) 為 復(fù) 常 數(shù) ， 則c nn=1c1( )nn 1 1, n nn na a ib a a a a b nn=1即 設(shè) 則 且 b 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 n n n=1 n=1如 果 級(jí) 數(shù) 收 斂 ， 則 稱 級(jí) 數(shù) 為 絕 對(duì) 收 斂則 稱 級(jí) 數(shù) 為 條 件 收 斂 級(jí) 數(shù) 1 nn n（ 1） 若 收 斂 必 收 斂

4、2 nn=1如 果 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 ， 那 么 任 意 重 排 它 各 項(xiàng), nn=1的 次 序 所 得 到 的 級(jí) 數(shù) d 也 絕 對(duì) 收 斂 ，n n n=1 n=1如 果 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ， 而 級(jí) 數(shù) 為 收 斂 且 其 和 不 變 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 1 13 ,nn n 如 果 級(jí) 數(shù) 都 絕 對(duì) 收 斂1 ,nn nn=1， 那 么 級(jí) 數(shù) 也 絕 對(duì) 收 斂 且1 2 1 1 2 1 nn n n n 其 中 n n nn=1 n=1稱 為 與 的 柯 西 乘 積 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 （ 二

5、 ） 冪 級(jí) 數(shù)1， 復(fù) 變 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) ： 各 項(xiàng) 為 復(fù) 變 函 數(shù) 的 級(jí) 數(shù) ：1 2( ) ( ) ( )nf z f z f z (4.7)( ) ( ) n nf z s zn=1為 級(jí) 數(shù) 的 部 分 和 ， 記 位 ,D 0若 對(duì) 于 內(nèi) 某 一 點(diǎn) 極 限0 0lim ( ) ( )nn s z s z 4.7在 ， 我 們 稱 復(fù) 變 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)0 0( )z s z在 收 斂 ， 稱 為 它 的 和 。 若 級(jí) 數(shù) 在 D內(nèi) 處 處 收 斂 ，則 其 和 是 的 z函 數(shù) s( ):1 2( ) ( ) ( )nf z f z f z 1 2( ) (

6、) ( )nz f z f z f z s( )= 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 重 要 定 理 0( )n nnM f z M n=0外 爾 斯 特 拉 斯 判 定 法 ， 若 的 強(qiáng) 級(jí) 數(shù) 收 斂 。4.3:定 理 （ 外 爾 斯 特 拉 斯 定 理 ）( )f z Df nn=0設(shè) 級(jí) 數(shù) 的 各 項(xiàng) 均 在 區(qū) 域 上 解 析 ,且 級(jí) 數(shù) 在 區(qū) 域 D上 內(nèi)閉 一 致 收 斂 于 (z),則 0i ( ) ( )nnf z f z D 則 在 區(qū) 域 內(nèi) 解 析 ； ii D在 內(nèi) 級(jí) 數(shù) 可 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 任 意 階 ， 且( )0( ) ( ),(

7、 1,2,3 );pnnf z f z p (p) ( )( ) ( ).piii f z f z (p)nn=0在 D上 任 一 閉 子 域 D上 ， 一 致 收 斂 于 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 形 如 20 1 2( ) ( ) ( ) . ( ) .nnz a c c z a c z a c z a nn=0c 0 1 2. nc c c c a的 級(jí) 數(shù) 稱 為 冪 級(jí) 數(shù) 其 中 ， ， ， ， 和 都 是 復(fù) 常 數(shù) ， 進(jìn) 行 變 換z a ， 則 冪 級(jí) 數(shù) 形 式 為 20 1 2 . .n nnz c c z c z c z z nn=0c

8、（ 仍 寫 為 ） 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 nz nn=0 ） 如 果阿 貝 爾 （ be 冪l 級(jí) 數(shù) c） 定 理 在 點(diǎn) z z 收 斂 ，z z則 對(duì) 滿 足 z 的 ， 級(jí) 數(shù) 必 絕 對(duì) 收 斂 ；z 如 果 在 點(diǎn) z z級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ， 則 對(duì) 滿 足 z 的 z， 級(jí) 數(shù) 必 發(fā) 散 nn c ） 收 斂 圓 與 收 斂 半 徑 ： 對(duì) 一 個(gè) 冪 級(jí) 數(shù) 來(lái) 說(shuō) ， 若 存 在一 個(gè) 正 數(shù) 使 冪 級(jí) 數(shù) 在 R R 在 z 內(nèi) 絕 對(duì) 收 斂 ， 在 z 外 發(fā) 散 ，z R R 則 稱 為 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 圓 周 ， z為 收

9、 斂 圓 ， R為 收 斂 半 徑 ， 冪 級(jí) 數(shù) 在 收 斂圓 周 上 各 點(diǎn) 是 否 收 斂 ， 要 視 具 體 情 況 確 定 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 1 1i lim , ( 0).nn nc l R lc l ） 比 值 法 若 則) lim , .( 0)nnii c l ll 1根 植 法 若 則 R=) -iii 柯 西 哈 達(dá) 瑪 法 （ cauchy-hadanmard). , 1lim ( 0).n nl c R Ll 若 = 則l 當(dāng) =0時(shí) ， R=+ ；l 當(dāng) =+ 時(shí) ， R=O. 4） 收 斂 半 徑 的 求 法 常 用 以

10、下 三 種 方 法 ： 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 冪 級(jí) 數(shù) 的 運(yùn) 算 性 質(zhì)ii , ,在 收 斂 圓 內(nèi) 冪 級(jí) 數(shù) 可 以 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 11( )_ .nnnf z nc z 且 , .iii 在 收 斂 圓 內(nèi) 冪 級(jí) 數(shù) 可 以 逐 項(xiàng) 求 積0) nnni c z f z冪 級(jí) 數(shù) 和 函 數(shù) （ ） 在 收 斂 圓 內(nèi) 解 析 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 01) ( ) ,f z D z泰 勒 定 理 ： 若 函 數(shù) 在 區(qū) 域 內(nèi) 解 釋 為 D內(nèi) 一 點(diǎn) ,0d為 z 到 D的 邊 界 各 點(diǎn) 的, ,d0最 短

11、 距 離 那 么 當(dāng) z-z 時(shí) 有 0( ).f z z nn=0 (z)= c( ) 0, ( )/ !.( 0,1,2, )nnc f z n n 成 立 其 中 0( )f z z式 中 級(jí) 數(shù) 稱 為 在 的 泰 勒 級(jí) 數(shù) 4.解 釋 函 數(shù) 的 泰 勒 級(jí) 數(shù) 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 ( ) ,f z D d 0若 在 內(nèi) 有 奇 點(diǎn) 則 等 于 z 到 最.近 一 個(gè) 奇 點(diǎn) 的 距 離0 .0當(dāng) z 時(shí) 級(jí) 數(shù) 稱 為 麥 克 勞 林 級(jí) 數(shù)任 何 解 析 函 數(shù) 在 一 點(diǎn) 的 泰 勒 級(jí) 數(shù) 是 唯 一 的 . 02) ( ) ( )f z

12、 z f z D函 數(shù) 在 解 析 的 充 分 必 要 條 件 是 在 內(nèi) 任 一.點(diǎn) 的 某 領(lǐng) 域 可 展 為 級(jí) 數(shù) 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 3)一 些 初 等 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 式20 1 , .! ! !n nx n z z ze z zn z n 1 0sin ( 1) (2 1)!znnn zz n 3 5 2 1( 1) ,3! 5! (2 1)!nnz z zz zn 20cos ( 1) (2 )!nnn zz n 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 4 21 ( 1) ,2! 4! (2 )!nnz z z

13、z n z 2 3 1ln(1 ) . ( 1) .2 3 nnz z zz z n 2( 1)(1 ) 1 .2!nz z z ( 1).( 1) .,| | 1.! nn z zn 2 3 2 1 21 1 . .,| | 1.1 n nz z z z z zz 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 5.解 析 函 數(shù) 的 羅 倫 級(jí) 數(shù) ） 雙 邊 冪 級(jí) 數(shù) 10 0 1 0( ) . ( ) . ( )n nn nn c z z c z z c z z 0 1 0 0( ) . ( ) .nnc c z z c z z 0nc z稱 為 羅 倫 級(jí) 數(shù) ， 其 中

14、（ ， ， .)及 均 為 常 數(shù) 若 組 成 羅 倫 級(jí) 數(shù)的 正 冪 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 與 負(fù) 冪 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 都 收 斂 稱 羅 倫 級(jí) 數(shù) 收 斂 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 f z r z z f z ） 羅 倫 定 理 ： 設(shè) （ ） 在 圓 環(huán) 域 | 內(nèi) 解 析 ， 則 在 此 圓 環(huán) 內(nèi) （ ）可 以 展 為 0( )nnnf z c z z （ ） 1 01 ( ); , ,( 0, 1,.)2 ( )n nc fc d ni z 其 中 0 rR+c z為 圓 環(huán) 域 內(nèi) 繞 的 任 何 一 條 正 向 簡(jiǎn) 單 閉 曲 線 f z在 一 個(gè) 圓 環(huán)

15、內(nèi) ， 解 析 函 數(shù) （ ） 的 羅 倫 級(jí) 數(shù) 是 唯 一 的 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 ） 羅 倫 級(jí) 數(shù) 的 兩 個(gè) 部 分0( )nnn c z zr 羅 倫 級(jí) 數(shù) 的 正 冪 部 分 稱 為 級(jí) 數(shù) 的 主 要 部 分 ， 在 無(wú) 界 區(qū) 域 z z 內(nèi) 收 斂 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 二 . 學(xué) 習(xí) 與 考 試 要 求(1) 理 解 級(jí) 數(shù) 收 斂 、 發(fā) 散 及 和 的 概 念 ； 了 解 級(jí) 數(shù) 收 斂 的 必 要 與 充 分必 要 條 件 ； 了 解 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 與 收 斂 的 關(guān) 系 (2) 理

16、解 冪 級(jí) 數(shù) 收 斂 圓 與 收 斂 半 徑 的 概 念 ， 掌 握 冪 級(jí) 數(shù) 收 斂 半 徑的 求 法 (3) 掌 握 將 一 個(gè) 解 析 函 數(shù) 展 為 冪 級(jí) 數(shù) 的 基 本 方 法 ， 記 住 一 些 常 用初 等 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 式 (4) 理 解 羅 倫 級(jí) 數(shù) 的 概 念 為 羅 倫 級(jí) 數(shù) 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 三 .重 點(diǎn) 與 與 難 點(diǎn) 本 章 的 重 點(diǎn) 是 冪 級(jí) 數(shù) 收 斂 半 徑 的 求 法 ， 一 個(gè) 解 析 勒 級(jí) 數(shù) 及 在 圓 環(huán) 域 內(nèi) 解 析 函 數(shù) 的 羅 朗 展 開 難 點(diǎn) 是 將 一 個(gè) 解 析 函

17、 數(shù) 展 為 泰 勒 級(jí) 數(shù) 或 羅 倫 級(jí) 數(shù) 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 四 .本 章 疑 難 解 析1 1 1 1n n n n nn n n n 已 知 若 與 都 收 斂 ， 則 （ ） 收 斂 1 1 1 1n n n n nn n n n 若 與 都 發(fā) 散 ， 則 （ ） 也 發(fā) 散 嗎 ？答 ： 不 一 定 1 1n n n nn ni in n n n ， ， 和 都 發(fā) 散 ， 但1 1 1 1n n n nn n n nin n （ ） 收 斂 ， （ ） 發(fā) 散 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2.什 么 時(shí) 候 復(fù)

18、 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 具 有 可 結(jié) 合 性 與 可 交 換 性 ?i inn=1如 級(jí) 數(shù) i是 發(fā) 散 的 ， 加 括 號(hào) 后 的 級(jí) 數(shù) 如 （ ） i i（ ） .是 收 斂 的 因 此 ， 項(xiàng) 的 結(jié) 合 改 變 了 原 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 但 是 ， 收 斂 級(jí) 數(shù) 具 有 可 結(jié) 合 性 ； 絕 對(duì) 收 斂 具 有 可 交 換 性 ， 即 nn=1如 果 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 ， 則 任 意 重 排 她 各 項(xiàng) 的 次 序 所 得 到 級(jí) 數(shù) 也 絕 對(duì) 收 斂 ，且 其 和 不 變 答 : 一 般 的 復(fù) 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 與 實(shí) 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 一 樣 不 具 有 項(xiàng) 的 可

19、 結(jié) 合 性與 可 交 換 性 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 3 求 無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 的 和 與 求 序 列 極 限 之 間 有 什 么 聯(lián) 系 ?答 : 與 實(shí) 級(jí) 數(shù) 收 斂 性 概 念 一 樣 ， 無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 前 n項(xiàng) 的 和 定 義 為部 分 和 ， 部 分 和 序 列 的 斂 散 性 確 定 無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 1n nnS 即 部 分 和 序 列 收 斂 ， 則 收 斂 ； 1n nnS 如 果 部 分 和 序 列 發(fā) 散 ， 則 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 冪 級(jí) 數(shù) 在 收 斂 圓 周 上 的

20、 斂 散 性 怎 樣 確 定 ？答 冪 級(jí) 數(shù) 在 收 斂 于 圓 周 上 的 斂 散 性 要 根 據(jù) 具 體 情 況 確 定 因 為 在 收 斂 圓 周 上 z 確 定 ， 可 以 依 復(fù) 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 斂 散 性 討 論 n n n nn n=0 n=0 n=0z z例 如 ， 級(jí) 數(shù) ） z； ） ； ） 的 收 斂 半 徑 都 是 但 在 z收 斂 半 徑 圓 周 上 斂 散 性 卻 各 不 相 同 n ） 因 一 般 項(xiàng) z 不 趨 于 ， 收 斂 圓 周 上 無(wú) 收 斂 點(diǎn) ； 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 ） 在 點(diǎn) z 發(fā) 散 ， 在 其 他 點(diǎn) 都

21、 收 斂 ，n z ） 因 為 ， 隨 意 在 收 斂 圓 周 上 處 處 收 斂 n n 函 數(shù) 能 展 為 冪 級(jí) 數(shù) 有 哪 些 等 價(jià) 命 題 ？答 函 數(shù) 能 展 為 冪 級(jí) 數(shù) 的 等 價(jià) 命 題 ；f z z 若 函 數(shù) （ ） 在 的 某 領(lǐng) 域 可 展 成 冪 級(jí) 數(shù) ， 則 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 f z z ） （ ） 在 解 析 ；f z u iv v u z ） （ ） 的 虛 部 和 實(shí) 數(shù) 在 的 某 領(lǐng) 域 有 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 且滿 足 條 件 ；f z z ） （ ） 在 的 某 領(lǐng) 域 可 導(dǎo) ；f z z ） （ ） 在

22、 的 某 領(lǐng) 域 連 續(xù) 且 在 此 領(lǐng) 域 內(nèi) 沿 任 一 簡(jiǎn) 單 閉 曲 線 的 積 分 為 零 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 6.復(fù) 變 量 函 數(shù) 展 為 泰 勒 級(jí) 數(shù) 的 條 件 與 實(shí) 函 數(shù) 情 形 有 何 不 同 ?答 復(fù) 變 量 函 數(shù) 展 為 泰 勒 級(jí) 數(shù) 的 條 件 比 實(shí) 函 數(shù) 時(shí) 要 弱 得 多 因 為 f（ z） 解 析 就 可 以 保 證 無(wú) 限 次 可 微 與 各 階 導(dǎo) 數(shù) 的 連 續(xù) 性 ； 而 在 實(shí) 函 數(shù) 情 形 ， 要 實(shí) 現(xiàn) 任 意 階 可 導(dǎo) 已 是 很 困 難 的 了 ， 要 證 明 余 項(xiàng)趨 于 零 則 更 為

23、 困 難 所 以 ， 復(fù) 變 量 函 數(shù) 展 為 泰 勒 級(jí) 數(shù) 的 實(shí) 用 范 圍 就 要廣 闊 得 多 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 8.將 一 個(gè) 解 析 函 數(shù) 展 為 泰 勒 級(jí) 數(shù) 有 哪 些 常 用 的 方 法 ？答 常 用 的 方 法 有 兩 類 ： 直 接 展 開 法 與 間 接 展 開 法 直 接 展 開 法nf z nn（ ） n （ ）是 通 過(guò) 直 接 計(jì) 算 系 數(shù) c （ ,1,2.),從 而 得 到 冪 級(jí) 數(shù)！ nz z n n=0c（ ） 的 ； 間 接 展 開 發(fā) 則 是 利 用 某 些 已 知 函 數(shù) 的 展 開 式 與 冪nz

24、 z n n=0級(jí) 數(shù) 的 運(yùn) 算 性 質(zhì) ， 求 冪 級(jí) 數(shù) c（ ） 常 用 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) ， 逐 項(xiàng) 求 積 ， 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 代 換 ， 乘 除 ， 微 分 方 程 ， 待 定 系 數(shù) 等 方 法 由 于 使 用 見 解 展 開 法 不 需 要 求 各 階 導(dǎo) 數(shù) 與 收 斂 半 徑 ， 因 此 比直 接 展 開 更 為 簡(jiǎn) 捷 ， 使 用 范 圍 也 更 廣 泛 8 奇 、 偶 函 數(shù) 的 泰 勒 級(jí) 數(shù) 有 什 么 特 點(diǎn) ?答 奇 函 數(shù) 的 泰 勒 級(jí) 數(shù) 只 含 z的 奇 次 冪 項(xiàng) ， 偶 函 數(shù) 的 泰 勒 級(jí)數(shù) 只 含 z的

25、偶 次 冪 項(xiàng) 因 此 ， 在 用 直 接 展 開 法 展 開 奇 偶 函 數(shù) 的 泰 勒級(jí) 數(shù) 時(shí) ， 可 利 用 這 一 點(diǎn) 來(lái) 簡(jiǎn) 化 計(jì) 算 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 nna z z zn=0 冪 級(jí) 數(shù) （ ） 能 否 收 斂 而 在 發(fā) 散 ？nna z z zn=0因 為 （ ） 的 收 斂 圓 中 心 為 ， 若 在 答 不 能 nnz a z n=0收 斂 ， 則 收 斂 半 徑 這 時(shí) ， 在 收 斂 域 內(nèi) 所 以 （ ）z不 可 能 在 發(fā) 散 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 有 了 根 值 法 ， 為 什 么 還

26、要 柯 西 哈 達(dá) 瑪 法 ？limn nn nnc z c n=0答 因 為 對(duì) 于 某 些 冪 級(jí) 數(shù) ， 可 能 不 存 在 ， 這 時(shí)lim nn n nn c c z n=0 若 存 在 ， 則 可 確 定 的 斂 散 性 0 limn n nnn z c n例 如 ， 對(duì) 于 （ ） ， 由 根 值 法 可 知 不 存 在 ，0lim nn nn nc z n無(wú) 法 確 定 其 斂 散 性 但 是 ， 所 以 可 以 確 定 （ ）的 收 斂 半 徑 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 11.羅 倫 級(jí) 數(shù) 與 泰 勒 級(jí) 數(shù) 的 關(guān) 系 是 一 般 與 特 殊

27、 的 關(guān) 系 ， 羅 倫 級(jí) 數(shù)是 一 個(gè) 雙 邊 冪 級(jí) 數(shù) ， 其 解 析 部 分 就 是 一 個(gè) 普 通 冪 級(jí) 數(shù) ； 羅 倫 級(jí) 數(shù)r z z z r 的 收 斂 區(qū) 域 的 、 是 圓 環(huán) 域 當(dāng) ， ， nc 時(shí) ， 羅 倫 級(jí) 數(shù) 就 退 化 為 泰 勒 級(jí) 數(shù) 泰 勒 級(jí) 數(shù) 是 羅 倫 級(jí) 數(shù) 的特 殊 情 形 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 1nr f d f zz n （ ） 在 羅 倫 定 理 證 明 中 ， （ ） 但 在 羅 倫 i （ ） ！f z r z z 定 理 中 （ ） 在 圓 環(huán) 域 中 解 析 ， 內(nèi) 不 是 單 連 通 域

28、 ，nf z（ ） 因 而 不 能 應(yīng) 用 高 階 導(dǎo) 數(shù) 公 式 ， 不 再 等 于 （ ） n！ 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 113. sec z 1z 1 函 數(shù) 在 的 去 心 領(lǐng) 域 內(nèi) 能 否 展 為 羅 倫 級(jí) 數(shù) ？ 為 什 么 ？答 不 能 展 為 羅 倫 級(jí) 數(shù) 。z secz1因 為 =1是 的 一 個(gè) 奇 點(diǎn) ， 但 不 是 一 個(gè) 孤 立 奇 點(diǎn) 。 由-11 1sec 1z 1 cos 1z （ ） sec z=1z1知 除 外 ，-1 k 1z k 0 1 21k 12 還 有 許 多 奇 點(diǎn) （ ， ， ， .),（ ） 數(shù) 學(xué) 物

29、理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 kk z 1 當(dāng) 時(shí) ， ， z 1所 以 是 非 孤 立 奇 點(diǎn) ，是 一 系 列 奇 點(diǎn) 的 一 個(gè) 極 限 點(diǎn) ， sec z 1z-1 1 從 而 知 函 數(shù) 在 的 去 心領(lǐng) 域 內(nèi) 還 有 奇 點(diǎn) ， 不 解 析 ， 不 能 展 為 羅 倫 級(jí) 數(shù) 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 15.怎 樣 理 解 羅 倫 級(jí) 數(shù) 展 開 式 的 唯 一 性 ？( )f z答 由 于 函 數(shù) 解 析 的 圓 環(huán) 域 有 時(shí) 不 止 一 個(gè) ，因 此 我 們 要 弄 清 的 是 ： 羅 倫 級(jí) 數(shù) 展 開 式 的 唯 一 性

30、是 指 一 個(gè) 函 數(shù) 在某 一 圓 環(huán) 域 內(nèi) 只 有 唯 一 展 開 式 ， 而 在 不 同 圓 環(huán) 域 內(nèi) 可 以 有不 同 的 展 開 式 ， 兩 者 并 不 矛 盾 。 2( 1)( ) (2 6)zf z z z 例 如 ， 函 數(shù) 有 兩 個(gè) 奇 點(diǎn) ； 3z 22 和 。( )f z因 此 解 析 的 圓 環(huán) 域 有 三 個(gè) ， 羅 倫 展 開 式 也 各 不 相 同 。分 別 是 ： 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 21 7 35 49z ( ) ( .).7 6 36 216z zf z 2在 | | 內(nèi) ，3 23 21 9 3 1 3 3| |

31、2 ( ) (. .)7 8 4 2 4 8z f z z zz z z 3在 內(nèi) ,2 2 31 7 21 105( ) ( .)7 2 4 8f z x z z 在 2|z|+ 內(nèi) , 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 五 . 本 章 典 型 例 題一 ， 復(fù) 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 斂 散 性 分 析復(fù) 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 可 以 由 兩 個(gè) 實(shí) 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 確 定 因 此 ， 高 等 數(shù) 學(xué) 課 程 中 關(guān) 于 實(shí) 級(jí) 數(shù) 判 斂 的 方 法 與 技 巧 都 可 以 應(yīng) 用例 1.(1) 2 11 nin n=1級(jí) 數(shù) 是 否 收 斂 ？

32、2 11 0,nin n解 級(jí) 數(shù) 滿 足 必 要 條 件 ， 即 但lim 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 11 1 ( 1)n ni in n n=1 n=11 1 1 1(1 .) (1 .),2 3 2 3i n-1n n 1n n =1 =11 1級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ， 雖 然 （ ） 收 斂 ， 原 級(jí) 數(shù) 仍 發(fā) 散 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 (2) 1 ;nn in1 1 1 .2 3 4 5nn i i iin 解 ： 1 1 1 1 1( .) (1 .)2 4 6 3 5i n n-11 11 11 12 2 1n

33、 nn n 級(jí) 數(shù) （ ） 收 斂 ， 級(jí) 數(shù) （ ） 也 收 斂 ，所 以 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 n1 nn n ！（ 3） ； 1 1 1,lim nn naa e 解 ； 因 為 所 以 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 ，n1 cosin4 2n（ ） n n+11 1 1cosin 1 1( ) ( ) 2 2 2 2 2n n n nn n ne e ee 解 ； 1 11 e( ) ( )2 2n nn ne 由 于 收 斂 ， 而 等 比 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ， 故 原 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提

34、例 2. 判 別 下 列 級(jí) 數(shù) 是 否 收 斂 ?是 否 絕 對(duì) 收 斂 ?; 2) (1 )ni n nn=1 n=1(3+5i) n1） n! 21解 ： ） 絕 對(duì) 收 斂 ， 因 為 級(jí) 數(shù) n234 nn=1 n=1(3+5i) ，n! n!收 斂 ， 所 以 原 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2） 絕 對(duì) 收 斂 。 原 級(jí) 數(shù) 很 難 分 離 實(shí) 部 與 虛 部 ， 但 由 于21(1 ) ( ) , n2 nni n nn 當(dāng) 時(shí) ， 有2 11 1 1 1( 2) . 1.2 2( 2)n nn nn n (1 )ni

35、nn=1 n所 以 ， 收 斂 ， 即 原 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 。2 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 3例 。 試 求 下 列 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 半 徑 ：21 ; (2) ; (3) ;22nn nnnz nz z nn=1 n=1 n=1(-2)（ ） n(n+1) 2 1(2 1)(4) 3 ( 1) ; (5) ;2n n n n nnz z n-1n=1 n=1(-i)( 2) , (4.10)( 1)nn n n解 ： (1)C 由 得 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 11 ( 2)( 1)( 2)( 1)( 2)lim l

36、im nn nn nnC n nR C n n 2 1;2 2limn n n 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 21(2) , (4.10)2n nC 據(jù) 得22( 1)1 22lim lim nn nn nnCR C 2 12 ;lim nn (3) , (4.11)2 n nnC 由 得1 1 2 2;2lim lim lim nnn n nn n nR n nC 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 (4) 3 ( 1) n nnC (4.12)據(jù)3 ( 1) 4lim lim nn nn nC 1.4R 所 以12 2 1 (2 1)(5) 0

37、, ( ) ,2nn n nnC C i (4.10)因 此 不 能 套 用 公 式 或 用 比 值 審 斂 法 。 1 2 12 1( ) ( ) ,2n nnnf z i z 記 則 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 1 21 1 2 1( ) (2 1)2 | | 1| |( ) (2 1)2 | | 2lim lim n nn n nn nnf z n z zf z n z 21| | 1, | | 22 z z 當(dāng) 即 時(shí) ， 原 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 ； 21| | 1, | | 22 z z 當(dāng) 即 時(shí) ， 原 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。.故 原 級(jí) 數(shù) 收

38、斂 半 徑 R= 2 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 注 ： 2 2 1n=0 n=0 0)n nn n na z a z a 求 形 如 或 （ 缺 頂 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 1 , .lim nn na l R la 半 徑 時(shí) ， 若 先 求 出 極 限 則 其 收 斂 半 徑 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 三 、 解 析 函 數(shù) 展 為 冪 級(jí) 數(shù) 的 方 法 分 析因 為 用 直 接 展 開 法 要 求 各 階 導(dǎo) 數(shù) ， 所 以 我 們 主 要 介 紹 間 接 展 開 法 。解 析 函 數(shù) 展 為 冪 級(jí) 數(shù) 的 方 法 與 實(shí) 函

39、數(shù) 展 為 冪 級(jí) 數(shù) 的 方 法 有 很 多 相 似之 處 ， 我 們 可 以 進(jìn) 行 借 鑒 。 0( )f z z先 介 紹 直 接 展 開 法 ， 我 們 首 先 要 注 意 的 是 在z 0展 開 還 是 在 展 開 ， 兩 者 的 冪 級(jí) 數(shù) 形 式 不 同 ， 收 斂 區(qū) 域 也 不 同 。其 次 是 考 察 在 制 定 點(diǎn) 是 否 能 展 開 。 最 后 ， 要 善 于 歸 納 通 項(xiàng) 形 式 ，使 展 開 式 的 形 式 較 為 簡(jiǎn) 捷 明 了 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 1( ) z 13 2f z z 例 24 將 展 成 （ ） 的 冪

40、級(jí) 數(shù) ， 并 指 出 其 收 斂半 徑 。解 ； 用 直 接 計(jì) 算 導(dǎo) 數(shù) 方 法 ， 得2 2 32 2 2!( ) , ( ) ,.(3 2 ) (3 2 )f z f zz z ( ) 12 !( ) ,.(3 2 )nn nnf z z 22 31 2 2 2!( 1) , ( 1) , ( 1) ,.5 5 5f f f 從 而( ) 12 !( 1) ,.5nn nnf 故 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 22 3 11 1 2 2 2( 1) ( 1) . ( 1) .3 2 5 5 5 5 n nnz z zz 3 5( ) z 12 2f z

41、由 于 只 有 唯 一 奇 點(diǎn) ， 它 到 展 開 中 心 距 離 為 ，52R 所 以 收 斂 半 徑 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 1( ) z ) ,f z a a bz b 例 30 將 展 為 （ 的 冪 級(jí) 數(shù) 。 為 不 相 等 的復(fù) 數(shù) 。解 ： 由 變 形 得1 1 1.1 z az b b a b a 2 3 2 31 ( ) ( )1 .( ) ( )z a z a z ab a b a b a b a 22 2 11 ( ) ( ). .( ) ( ) ( ) nnz a z a z ab a b a b a b a 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法

42、 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 , 1, , z z a b a R a Rb a 這 里 若 則 ， 級(jí) 數(shù) 收 斂 于1 z bz-bS ； 當(dāng) 時(shí) ， 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 法當(dāng) 所 給 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 可 以 利 用 已 知 函 數(shù) 展 開 式 時(shí) ， 我 們 可 以 利 用( )f z冪 級(jí) 數(shù) 在 收 斂 圓 內(nèi) 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 的 性 質(zhì) ， 將 展 成 冪 級(jí) 數(shù) 。 但 要n注 意 和 式 記 號(hào) 下 項(xiàng) 次 的 變 化 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 1( ) ( 0,1,2,.)(1 )nf z nz 例 36。 求 的 泰

43、勒 級(jí) 數(shù)0 ,| | 1.nn z z 1解 ： 利 用 1-z 12 0 01 1 ( )(1 ) 1 n nn nz nzz z 20( 1) 1 2 3 .,| | 1nn n z z z z 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 3 2 01 1 1 1 ( 1) (1 ) 2 (1 ) 2 nn n zz z 101 ( 1)2 nn n n z 01 ( 1)( 2)2 nn n n z 21 3 6 .,| | 1z z z . 11 1 1 (1 ) (1 )k kz k z 01 ( 1).( 1) ( 1)! nn n n k zk k 0 ( 1)(

44、2).( ) ,| | 1! nn n n n k z zk 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 逐 項(xiàng) 積 分 法當(dāng) 所 給 函 數(shù) 為 某 已 知 展 開 式 的 函 數(shù) 的 積 分 時(shí) ， 可 以 應(yīng) 用冪 級(jí) 數(shù) 在 收 斂 圓 內(nèi) 可 以 逐 項(xiàng) 積 分 來(lái) 求 函 數(shù) 的 冪 級(jí) 數(shù) 展 開 式 。n同 樣 要 主 義 和 式 記 號(hào) 下 的 變 化 。 2038 arctan ,1x dzz z 例 求 而1 22 0( 1) .( ) ,| | 1.1 n nndz z zz 所 以 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 220 0 0ar

45、ctan ( 1) .( )1x x n nndzz z dzz 2 10( 1) ,| | 12 1nnn z zn 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 五 、 解 析 函 數(shù) 在 圓 環(huán) 域 中 的 羅 倫 級(jí) 數(shù)要 將 一 個(gè) 解 析 函 數(shù) 展 成 羅 倫 級(jí) 數(shù) ， 需 要 考 慮 的 問(wèn) 題 要 比 展 為 泰 勒 級(jí) 數(shù) 要 多 首 先 羅 倫 級(jí) 數(shù) 是 在 圓 環(huán) 域 內(nèi) 展 開 的 ， 一 個(gè) 函 數(shù) 在 不 同 的 圓 環(huán) 域 內(nèi) 有 不 同 的 羅 倫 展 開 式 ； 因 此 ， 給 定 一 個(gè) 函 數(shù) 后 ， 第 一 步 是 找 出 它 的 奇 點(diǎn)

46、 ， 進(jìn) 而 確 定 函 數(shù) 可 以 在 哪 些 圓 環(huán) 城 內(nèi) 展 為 羅 倫 級(jí) 數(shù) 其 次 是 展 開 的 方 式 ， 也 分 直 接 展 開 法 和 間 接 展 開 法 與 泰 勒 級(jí) 數(shù) 展 開 方 法 類 似 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 nn=01 z (| | 1)1 z z 常 用 方 法 如 下 ： 用 公 式( ) ( )cf z f zaz b 要 將 函 數(shù) 展 開 ， 關(guān) 鍵 在 于 將 變 形 ， 使 表 示1 | |11 式 中 出 現(xiàn) 因 為 ， 且 。 這 里 的 取 定 還 跟 圓 環(huán) 域的 中 心 與 半 徑 有 關(guān) ， 要 認(rèn)

47、 真 考 慮 。50 ( ) z 0 1 4f z 例 求 有 兩 個(gè) 奇 點(diǎn) 和 ， 從 而 可 以 在 個(gè) 圓 環(huán) 域 0|z|10|z-1|10|z| | 1( 1a a a ； ； ； 和 |z- 正 數(shù) ）內(nèi) 展 為 羅 倫 級(jí) 數(shù) 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 在 0|z|1內(nèi) 有1 1 1 1( ) 1 1f z z z z z 21 (1 . .)nz z zz 21 1 . .;nz z zz 在 0|z-1|1內(nèi) 有1 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( 1)f z z z z z 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 21

48、1 ( 1) ( 1) . ( 1) ( 1) .1 n nz z zz 2 11 1 ( 1) ( 1) . ( 1) ( 1) .;1 n nz z zz 1在 0|z|+ 內(nèi) | |1有z1 1 1 1 1( ) . 11 (1 )f z z z z z z 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 21 1 1 1 11 . .nz z z z z 2 31 1 1. .;nz z z 1( 1 )a a a 在 |z- |0為 常 數(shù) )1 1;( 1) 1lim lim lim kkn kn n nnc n nR c n n 解 ： 1 1z z 該 級(jí) 數(shù) 在 收

49、斂 ,在 發(fā) 散 。 0 01 k n kn nz n z n 在 上 ， 當(dāng) z=1時(shí) = 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 0,lim kn n 該 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。0 01 11 0. k n n kn nn kz n z nn n同 理 ： 時(shí) ， 級(jí) 數(shù) = （ ） 當(dāng) （ ） 發(fā) 散lim 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 21 1(5) nn zn 221 21 1 1;11lim lim limnn n nnc nnR c nn 解 ： 1 1z z 該 級(jí) 數(shù) 在 收 斂 ,在 發(fā) 散 。1 1z z 在 即 時(shí) 數(shù) 學(xué) 物 理

50、方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 21 11 1 2 1nn nz p pn n 是 級(jí) 數(shù) 且 收 斂 。2 21 11 ( 1)1 nnn nz zn n 時(shí) 是 一 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 。 收 斂 ； 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 z。 將 下 列 函 數(shù) 展 為 含 的 冪 級(jí) 數(shù) 。 并 指 明 展 式 成 立 的 范 圍 。1(1) , 0)a b baz b （ 為 復(fù) 數(shù) ，1 1 11 aaz b b zb 解 ： 01 ( 1) ( ) ,n nn a zb b 1,| |a bz zb a 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾

51、 哈 提 20(2)z ze dz 2 2 20 0 0,! ! !nn nz zn n nzz ze en n n 解 ： |z| 2 2 2 10 00 0 ,! !(2 1)z z n nz n nz ze dz dzn n n |z| 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 0 sin(3) z zdzz 2 10sin ,(2 1)!nn zz zn 解 ： |2 0sin 0(2 1)!nnz zz n |z|2 2 2 2 10 00 0sin 0 | |(2 1)! (2 1)(2 1)!n nn nz z zdz dz zz n n n 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法

52、 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2(4)cos z 22 01 1 1 (2 )cos (1 cos2 ) ( 1) .2 2 2 (2 )!nnn zz z n 2(5)sin z 2 01 1 1 (2 )sin (1 cos2 ) ( 1) .| |2 2 2 (2 )!nnn zz z zn 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 21(6)(1 )z 01 | | 11 nn z zz 1 21 1( )1 (1 )z z 又 1 1 12 0 11 1( ) ( ) ,(1 ) 1 n nn nz nzz z |z|1 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕

53、爾 哈 提 3.試 求 下 列 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 半 徑 ：20(1) ,| | 1n nn q z q 2 0,( | | 1) R .lim limn nnn nl q q q 解 ： = 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 !0(2) nn z !0 limn n nnn z l a 解 ： !0 ! 1, 1lim 1nn n nz l R 現(xiàn) ： 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 0(3) 3 ( 1) n n nn z 3 ( 1) lim lim nnn nn nl a 解 ： 43 (1) lim n n nn 為 偶 數(shù)2 為

54、奇 數(shù) 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 1412R m為 偶 數(shù)m為 奇 數(shù)1 1 1min , 4 2 4R 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 !(4) nnn n n zn 11! !( 1)( 1)!lim lim nc nn nnc n nR c n n 解 ： ( 1) 1(1 ) .lim lim n nnn nn en n 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 5 0ln(1 )4. ln(1 ) 0z ze z z z 寫 出 的 冪 級(jí) 數(shù) 至 少 含 項(xiàng) 為 逃 ， 其 中0 01, ( 1)! 1nz n n

55、n nze zn z 解 ： 1 00 ( 1)ln(1 ) | 11 1z n nndz zz zz n |10 0 ( 1)ln(1 ) ! ( 1)n n nz n nz ze z n n 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 3 4 2 3 4(1 .)( .)2! 3! 4! 2 3 4z z z z z zz z 2 3 41 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 3 2 2! 4 3 2.2! 3z z z z 51 1 1 1 1( ) .5 4 2!3 3!2 4! z 2 3 4 51 1 1 7 .2 3 4 10z z z z z

56、數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 5. 1)z將 下 列 函 數(shù) 按 （ 的 冪 級(jí) 數(shù) 展 開 ， 并 指 明 收 斂 范 圍 。(1)coszcos cos(1 1) cos1.cos( 1) sin1.sin( 1)z z z z 解 ： 2 120 0( 1) ( 1) ( 1)cos1 ( 1) sin1(2 )! (2 1)!n n nnn n zzn n 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 (2)sin zsin sin(1 1) sin1.cos( 1) cos1.sin( 1)z z z z 解 ： 2 12 0 0( 1) ( 1)

57、 ( 1)sin1 ( 1) cos1 1|(2 )! (2 1)!n n nnn n zz zn n | 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 (3) 2zz 1 1 1 112 3 1 3(1 )3z z z zz z 解 ： 0 01 1 1 1( 1) ( ) ( 1) ( )3 3 3 3n n n nn nz z z 11 10 ( 1) ( 1) ( 1) 1( 1) | 1,| 1| 33 3 3nn nn n nn z z z z | 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2(4) 2 5zz z 2 2 21 1 1 1 112 5 (

58、1) 4 41 ( )2z z z zz z z 解 ： 2 21 1 1 1 ;1 14 41 ( ) 1 ( )2 2z z z 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 20 01 1 1 1( 1) ( ) ( 1) ( )4 2 4 2n n n nn nz z z 2 1 22 2 2 2 0 ( 1) ( 1) 1( 1) , | 1,| 1| 22 2 2n nn n nn z z z z | 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 1 22 016. , ( 2)15 nn n n nn c z c c c nz z 設(shè) 證 明 ： 指 出

59、級(jí) 數(shù) 展 式之 前 項(xiàng) ， 并 指 出 收 斂 范 圍 。2 011 nnn c zz z 證 明 ： 2 0(1 ) 1nnnz z c z 1 20 0 0 1n n nn n nn n nc z c z c z 2n 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 1 20 1 02 1 0 1n n nn n nn n nc c z c z c z c z c z 2 1 20 1 0 2 00 1 0( ) 1n n nn n nn n nc c c z c z c z c z c z 0 1 0 1 01, 0, 1c c c c c 2 1 0, 2n n nc c c

60、 n t 且 令 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 22 1 2 1, , 1 0n n n n n nc c c c c c z z 令1,0 1 5 5 1 5 1 5 1,| | , ,| |2 2 2 2z z R z 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 (7) ( ) D 0, ( ) ,f z a a f z如 在 解 析 區(qū) 域 內(nèi) 一 矢 的 值 為 則 稱 為 解 析 函 數(shù) 的 零 失1 ( 1) ( )( ) ( ) . ( ) 0 ( ) 0,( 1)m mf a f a f a f a m 如 但a f z m則 稱 為 （

61、） 的 階 零 矢 ， 請(qǐng) 指 出 下 列 級(jí) 數(shù) 在 零 矢 z=0的 階 。 221 ( 1)zz e （ ） 22( ) ( 1)zf z z e 解 ： 2 22( ) 2 ( 1) 2z zf z z e z e z 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 232 ( 1) 2 , (0) 0z zz e z e f 2 2 2 22 4( ) 2( 1) 2 .2 6 4z z z zf z e ze z z e z e 2 2 22 42( 1) 10 4 , (0) 0z z ze z e z e f 2 2( ) 2.2 20 ., (0) 0z zf z

62、 ze ze f 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 2 2(4) 2 (4)( ) 4 8 20 ., (0) 0z z zf z e z e e f 220 ( ) ( 1)zz f z z e 是 的 四 階 零 點(diǎn) 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 3 3 6(2)6sin ( 6)z z z 3 3 6( ) 6sin ( 6), (0) 0f z z z z f 2 3 2 6 8( ) 18 cos 3 ( 6) 6 , (0) 0f z z z z z z f 3 4 3 6 7 7( ) 36 cos 54 sin 6 ( 6

63、) 15 48 ,(0) 0f z z z z z z z z zf 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 3 2 3( ) 36cos 36 .3 sin ., (0) 0.f z z z z z f 0z 是 三 階 零 矢 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 08. ( ) ( )z f z m g z n設(shè) 是 函 數(shù) 的 階 零 矢 ， 又 是 的 階 零 矢 ， 試 問(wèn) 下 列0z函 數(shù) 在 處 具 有 何 種 性 質(zhì) 。(1) ( ) ( )f z g z0 ( )z z f z n解 ： 是 的 階 零 矢 。 0( ) ( ) ( )

64、 ( ) 0mf z z a z z 且 0z z g z n又 是 （ ） 的 階 零 矢 。) ( ), ( ) 0ng z z a z z （ ） =( 且 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m nf z g z z a z z a z 則 0 ( )m n z z f z n 當(dāng) 時(shí) ， 為 的 階 零 矢0 ( )m n z z f z m 當(dāng) 時(shí) ， 為 的 階 零 矢0 ( )m n z z f z m 當(dāng) 時(shí) ， 為 的 階 零 矢 0 0( ) ( ) 0,z z 若 零 矢 的 階 數(shù) 大 于 m. 數(shù) 學(xué)

65、 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 (2) ( ). ( )f z g z( ). ( ) ( ) ( ) ( )m nf z g z z a z z 解 ： 0 ( ). ( )z z f z g z m n 由 此 可 見 ， 為 的 階 零 矢 。 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 ( )(3) ( )f zg z( ) ) ( )( ) ( ) ( )mnf z z a zg z z a z （解 ： m n m n 階 零 點(diǎn) n m n m 階 零 點(diǎn) n m為 解 析 點(diǎn) 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 9.將 下 列

66、函 數(shù) 在 指 定 環(huán) 域 內(nèi) 展 成 邏 輯 級(jí) 數(shù) 。2 1(1) 0 | | 1, 1 | |( 1)z z zz z 2 21 1 1( 1) ( 1) ( 1)zz z z z z z 解 ： 21 1(1 ) (1 )z z z z 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 20 01 1n nn nz zz z 1 20( ), 0|z|1n nn z z 1 | |z 在 2 21 1 1( 1) ( 1) ( 1)zz z z z z z 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 31 1 1 11 121 1z z z 2 30 01 1 1 1( ) ( )n nn nz z z z 2 30 1 1 , 1 | |n nn zz z 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈 提 2 22 5(2) 1 | | 2( 2)( 1)z z zz z 2 2 22 5 1 2( 2)( 1) 2 1z zz z z z 解 ： 2 21 1 2 121 (1 )2z z z 數(shù) 學(xué) 物 理 方 法 制 作 人 ： 帕 爾 哈