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1、第 十 七 講3.切 比 雪 夫 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 4.模 擬 濾 波 器 的 頻 率 變 換 -模 擬高 通 、 帶 通 、 帶 阻 濾 波 器 的 設(shè) 計 3.Chebyshev低 通 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 Chebyshev低 通 濾 波 器 的 幅 度 平 方 函 數(shù) Chebyshev低 通 濾 波 器 幅 度 平 方 函 數(shù) 特 點 Chebyshev低 通 濾 波 器 的 三 個 參 量 Chebyshev低 通 濾 波 器 幅 度 平 方 函 數(shù) 的 極 點 分 布 Chebyshev低 通 濾 波 器 的 設(shè) 計 步 驟 提 出 的 背 景 巴 特 沃

2、 斯 濾 波 器 的 頻 率 特 性 曲 線 ， 無 論 在通 帶 和 阻 帶 都 是 頻 率 的 單 調(diào) 函 數(shù) 。 因 此 當(dāng) 通帶 邊 界 處 滿 足 指 標(biāo) 要 求 時 ， 通 帶 內(nèi) 肯 定 會 有 余量 。 因 此 ， 更 有 效 的 設(shè) 計 方 法 應(yīng) 該 是 將 精 確 度均 勻 地 分 布 在 整 個 通 帶 內(nèi) ， 或 者 均 勻 分 布 在 整個 阻 帶 內(nèi) ， 或 者 同 時 分 布 在 兩 者 之 內(nèi) 。 這 樣 ，就 可 用 階 數(shù) 較 低 的 系 統(tǒng) 滿 足 要 求 。 這 可 通 過 選擇 具 有 等 波 紋 特 性 的 逼 近 函 數(shù) 來 達(dá) 到 。 1） C

3、hebyshev低 通 濾 波 器 的 幅 度 平 方 函 數(shù) 22 2 21( ) ( ) 1 ( )a N pA H j C Chebyshev 型 濾 波 器 的 幅 度 平 方 函 數(shù) （ 續(xù) ） 當(dāng) N=0時 ， C0(x)=1； 當(dāng) N=1時 ， C1(x)=x； 當(dāng) N=2時 ， C2(x)=2x 2 -1； 當(dāng) N=3時 ， C3(x)=4x 3 -3x。 由 此 可 歸 納 出 高 階 切 比 雪 夫 多 項 式 的 遞推 公 式 為 C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x) 11cos( cos ) 1( ) ( ) 1N N x xC x ch Nch x

4、x 等 波 紋 幅 度 特 性單 調(diào) 增 加前 兩 項 給 出 后 才能 迭 代 下 一 個Chebyshev多 項 式 的 特 性 cx N=0,4,5切 比 雪 夫 多 項 式 曲 線 N的 影 響 ：uN越 大 阻 帶 衰 減 越 快u階 數(shù) N影 響 過 渡 帶 的帶 寬 ， 同 時 也 影 響 通帶 內(nèi) 波 動 的 疏 密 ， 因為 N等 于 通 帶 內(nèi) 最 大 值與 最 小 值 的 總 個 數(shù) 2( ) 1/ 1p aH j 2） Chebyshev低 通 濾 波 器 幅 度 平 方 函 數(shù) 特 點 ： 通 帶 外 ： 迅 速 單 調(diào) 下 降 趨 向 0p 2 21( ) 1a N

5、 pH j C N為 偶 數(shù) 2( 0) 1/ 1aH j N為 奇 數(shù) ( 0) 1aH j 通 帶 內(nèi) ： 在 1和 間 等 波 紋 起 伏p 21/ 1 0 切 比 雪 夫 型 與 巴 特 沃 斯 低 通 的 幅 度 函 數(shù) 平 方 曲 線 3） Chebyshev低 通 濾 波 器 的 三 個 參 量 ：2 max 2 min2 2max min 2( )10lg ( ) 1( ) 1 ( ) 1AAA A ： 通 帶 截 止 頻 率 ， 給 定p ： 表 征 通 帶 內(nèi) 波 紋 大 小 由 通 帶 衰 減 決 定22 0.110lg(1 )10 1 設(shè) 阻 帶 的 起 始 點 頻 率

6、 (阻 帶 截 止 頻 率 )用 s表示 ， 在 s處 的 A2( s)為 ： 2 2 21( ) 1 ( )s sN PA C 令 s=s/p， 由 s1， 有 1 21 21 1 2 1 1( ) ( ) 1( )1 1 1( )( )1 1 1 1( )N s s ssss p s C ch Nch Ach AN chchN A 可 以 解 出 濾 波 器 階 數(shù) N 的 確 定 3dB截 止 頻 率 c的 確 定22 2 11( ) 2( ) 1,1( ) ( )c cN c c pN c cA CC ch Nch 按 照 (6.2.19)式 ， 有通 常 取 c1， 因 此上 式 中

7、 僅 取 正 號 ， 得 到 3dB截 止 頻 率 計 算 公 式 ： 11 1 ( )c pch chN 令 書 上 該 公式 有 錯 4） Chebyshev低 通 濾 波 器 幅 度 平 方 函 數(shù) 的 極 點 分 布 以 上 p, 和 N確 定 后 ， 可 以 求 出 濾 波 器 的 極 點 ，并 確 定 Ha(p)， p=s/ p。 有 用 的 結(jié) 果 :設(shè) Ha(s)的 極 點 為 si= i+j i， 可 以 證 明 ： 2 1sin( )2 , 1,2,3, ,2 1cos( )2i p i p ish N i Nich N 12 22 2 2 21 1( ) 1i ip ps

8、hNsh ch 上 式 是 一 個 橢 圓 方 程 ， 因 為 ch(x)大 于 sh(x)，長 半 軸 為 pch (在 虛 軸 上 )， 短 半 軸 為 psh (在 實 軸 上 )。 令 b p和 a p分 別 表 示 長半 軸 和 短 半 軸 ， 可 推 導(dǎo) 出 ： 1 1 1 121( )21( )21 1 1N NN Nab (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 因 此 切 比 雪 夫 濾 波 器 的 極 點 就 是 一 組 分 布 在 長半 軸 為 bp ， 短 半 軸 為 ap的 橢 圓 上 的 點 。 設(shè) N=3， 平 方 幅 度 函 數(shù) 的 極 點 分 布

9、如 圖 6.2.8所 示 (極 點 用 X表示 )。 為 穩(wěn) 定 ， 用 左 半 平 面 的 極 點 構(gòu) 成 Ha(p)， 即1 1( ) ( )a N iiH p c p p (6.2.32) 式 中 c是 待 定 系 數(shù) 。 根 據(jù) 幅 度 平 方 函 數(shù) (6.2.19)式 可 導(dǎo) 出 ： c=2 N-1， 代 入 (6.2.32)式 ， 得 到 歸 一化 的 傳 輸 函 數(shù) 為 1 11( ) 2 ( )a NN iiH p p p (6.2.33a) 1 1( ) 2 ( )Npa NN i piH s s p 去 歸 一 化 后 的 傳 輸 函 數(shù) 為 圖 6.2.8 三 階 切

10、比 雪 夫 濾 波 器 的 極 點 分 布 5） Chebyshev低 通 濾 波 器 的 設(shè) 計 步 驟 :0.12 10 1 ss p 1 111( )sch kN ch 1pp p 歸 一 化 ： p P s S 1） 確 定 技 術(shù) 指 標(biāo) ： 2)根 據(jù) 技 術(shù) 指 標(biāo) 求 出 濾 波 器 階 數(shù) N及 ： 0.111 0.110 110 1spk 其 中 ： p 3） 求 出 歸 一 化 系 統(tǒng) 函 數(shù) ：( )a a a psH s H p H （ ） =或 者 由 N和 ， 直 接 查 表 得 ( )aH pp其 中 極 點 由 下 式 求 出 ：4） 去 歸 一 化 1 1/

11、(2 1) (2 1)sin cos 2 21( ) 2 ( )( ) ( ) pia NN iia a p sk kp sh jchN NH p p pH s H p 例 6.2.2設(shè) 計 低 通 切 比 雪 夫 濾 波 器 ， 要求 通 帶 截 止 頻 率 fp=3kHz， 通 帶 最 大 衰 減p=0.1dB， 阻 帶 截 止 頻 率 fs=12kHz， 阻 帶最 小 衰 減 s=60dB。 解 (1) 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) ： 0.1 , 260 , 2 1, 4p p pp s ssp s pdB fdB fff (2) 求 階 數(shù) N和 ：1 111 0.111 0.11

12、 10.1 0.01( )( )10 1 655310 1(6553) 9.47 4.6, 52.06(4)10 1 10 1 0.1526spp saaach kN chk chN Nch 此 過 程 可 直 接 查 表 (3) 求 歸 一 化 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(p):5(5 1) 11( ) 0.1526 2 ( )a iiH p p p 由 (6.2.38)式 求 出 N=5時 的 極 點 pi， 代 入 上 式 ， 得 到 ：2 21 1( ) 2.442( 0.5389)( 0.3331 1.1949) 0.8720 0.6359aH p p p p p p (4)將 Ha(p)

13、去 歸 一 化 ， 得 到 ： / 7 2 6 142 7 141( ) ( ) ( 1.0158 10 )( 6.2788 10 4.2459 10 )11.6437 10 2.2595 10pa a p sH s H p s s ss s 此 過 程 也 可 直 接查 表 完 成 小 結(jié) ： 模 擬 濾 波 器 設(shè) 計 的 步 驟 ),( cN 通 帶 截 止 頻 率 、 通 帶 衰 減p p阻 帶 截 止 頻 率 、 阻 帶 衰 減s su確 定 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) ：u將 模 擬 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) 設(shè) 計 轉(zhuǎn) 化 為 低 通原 型 濾 波 器 的 參 數(shù)But

14、terworth低 通 濾 波 器Chebyshev低 通 濾 波 器 ( , , , )p cN u構(gòu) 造 歸 一 化 低 通 原 型 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù)u反 歸 一 4.模 擬 濾 波 器 的 頻 率 變 換 - 模 擬 高 通 、 帶 通 、 帶 阻 濾 波 器 的 設(shè) 計 高 通 、 帶 通 和 帶 阻 濾 波 器 的 傳 輸 函 數(shù) 可 以 通 過頻 率 變 換 ， 分 別 由 低 通 濾 波 器 的 傳 輸 函 數(shù) 求 得 ，因 此 不 論 設(shè) 計 哪 一 種 濾 波 器 ， 都 可 以 先 將 該 濾波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) 轉(zhuǎn) 換 為 低 通 濾 波 器 的 技

15、術(shù) 指 標(biāo) ，按 照 該 技 術(shù) 指 標(biāo) 先 設(shè) 計 低 通 濾 波 器 ， 在 通 過 頻率 變 換 ， 將 低 通 的 傳 輸 函 數(shù) 轉(zhuǎn) 換 成 所 需 類 型 的濾 波 器 傳 輸 函 數(shù) 。 符 號 規(guī) 定歸 一 化模 擬 低 通 模 擬 高 通 、帶 通 、 帶 阻模 擬 域頻 帶 變 換( ) : G ss j p j 歸 一 化 頻 率 ：歸 一 化 拉 氏 變 量 稱 為 歸 一 化 傳 輸 函 數(shù)歸 一 化 拉 氏 變 量 ：歸 一 化 頻 率 ：)( )(qH jqjs sH s p s: 0 0 : 0 - - - 0s p p sp 1) 低 通 到 高 通 的 頻

16、率 變 換 u和 之 間 的 關(guān) 系為 1 1( ) ( )H j G j u 低 通 到 高 通 的 頻率 變 換 關(guān) 系 為 模 擬 高 通 濾 波 器 的 設(shè) 計 步 驟 如 下 ： (1)確 定 高 通 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) ： (2)確 定 相 應(yīng) 低 通 濾 波 器 的 設(shè) 計 指 標(biāo) ： 按 照 式 ,將 高 通 濾 波 器 的 邊 界 頻 率 轉(zhuǎn) 換 成 低 通濾 波 器 的 邊 界 頻 率 ， 各 項 設(shè) 計 指 標(biāo) 為 ： 低 通 濾 波 器 通 帶 截 止 頻 率 ； 低 通 濾 波 器 阻 帶 截 止 頻 率 ； 通 帶 最 大 衰 減 仍 為 p， 阻 帶

17、最 小 衰 減 仍 為 s。 (3)設(shè) 計 歸 一 化 低 通 濾 波 器 G(p)。 (4)求 模 擬 高 通 的 H(s)。 sps p /1 /1 pp /1 ss ( ) ( ) cp sH s G p 例 6.2.3 設(shè) 計 高 通 濾 器 ,fp=200Hz,fs=100Hz， 幅 度 特性 單 調(diào) 下 降 ， fp處 最 大 衰 減 為 3dB， 阻 帶 最 小 衰減 s=15dB。解 高 通 技 術(shù) 指 標(biāo) 要 求 ： fp=200Hz, p=3dB; fs=100Hz, s=15dB 歸 一 化 頻 率 1, 0.5 p sp sp pf ff f 11, 23 , 15p

18、s sp sdB dB 低 通 技 術(shù) 要 求 ： 設(shè) 計 歸 一 化 低 通 G(p)。 采 用 巴 特 沃 斯 濾 波 器 ，故 0.10.1 3 2 10 1 0.1810 12lg 2.47, 3lg 1( ) 2 2 1pssp ssp p spspk kN NG p p p p 33 2 2 3( ) ( ) 2 22 cp c c csc p sH s G p s s sf 求 模 擬 高 通 H(s)： 帶 通 與 低 通 濾 波 器 的 幅 度 特 性 與 的 對 應(yīng) 關(guān) 系 2) 低 通 到 帶 通 的 頻 率 變 換 1 1 2 220 / , / , /s s s sl

19、 l u ul u B BB B : 0 s c c s : 0 s c c s 1 1 0 2 2: 0 s s 1 1 0 2 2: 0 s s 2 20 2 20 由 與 的 對 應(yīng) 關(guān) 系 ， 得 到 ：2 202 20 1u p u l 由 表 6.2.2知 p對 應(yīng) u， 代 入 上 式 中 ， 有帶 通 濾 波 器 的 歸一 化 帶 寬 為 1 低 通 到 帶 通 的 頻 率 變換 公 式 。 利 用 該 式 將帶 通 的 邊 界 頻 率 轉(zhuǎn) 換成 低 通 的 邊 界 頻 率 。 由 于 2 202 20p jqp q 將 q=j代 入 上 式 ， 得 到 ：為 去 歸 一 化

20、， 將 q=s/B代 入 上 式 ， 得 到 ： 22 ( )( )( ) ( ) l uu ll uu l sp ssp sH s G p (6.2.44) (6.2.45) 歸 一 化 低 通 到 任 意 帶 通 系 統(tǒng) 函 數(shù) 的 轉(zhuǎn) 換 公 式 兩 個 環(huán) 節(jié) :1.歸 一 化 低 通 到 歸 一 化帶 通 ； 2.歸 一 化 帶 通 到任 意 帶 通 下 面 總 結(jié) 模 擬 帶 通 的 設(shè) 計 步 驟 。(1)確 定 模 擬 帶 通 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) ， 即 ： 帶 通 上 限 頻 率 u， 帶 通 下 限 頻 率 l 下 阻 帶 上 限 頻 率 s1 ,上 阻 帶 下

21、 限 頻 率 s2 通 帶 中 心 頻 率 20= l u， 通 帶 寬 度 B= u - l 與 以 上 邊 界 頻 率 對 應(yīng) 的 歸 一 化 邊 界 頻 率 如 下 ： 1 21 220, ,s s ls s luu l uB B BB (2) 確 定 歸 一 化 低 通 技 術(shù) 要 求 ： s與 - s的 絕 對 值 可 能 不 相 等 ， 一 般 取 絕 對 值 小的 s， 這 樣 保 證 在 較 大 的 s處 更 能 滿 足 要 求 。 通 帶 最 大 衰 減 仍 為 p， 阻 帶 最 小 衰 減 亦 為 s (3) 設(shè) 計 歸 一 化 低 通 G(p)。 (4) 反 歸 一 :直

22、 接 將 G(p)轉(zhuǎn) 換 成 帶 通 H(s)。 2 2 2 22 0 1 02 11, ,s sp s ss s 22 2( )( )( ) ( ) l uu ll u l uu l sp ss sp s sBH s G p 6.2.4 設(shè) 計 模 擬 帶 通 濾 波 器 ， 通 帶 帶 寬 B=2 200rad/s，中 心 頻 率 0=2 1000rad/s， 通 帶 內(nèi) 最 大 衰 減 p=3dB， 阻 帶 s1=2 830rad/s, s2=2 1200rad/s， 阻 帶 最 小 衰 減 s=15dB。 解 (1) 模 擬 帶 通 的 技 術(shù) 要 求 ： 0=2 1000rad/s,

23、 p=3dB s1 =2 830rad/s, s2=2 1200rad/s, s=15dB B=2 200rad/s; 0=5, s1=4.15, s2=6 (2) 模 擬 歸 一 化 低 通 技 術(shù) 指 標(biāo) 要 求 ：2 2 2 22 0 1 02 11, 1.833, 1.874s sp s ss s 取 s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3)設(shè) 計 模 擬 歸 一 化 低 通 濾 波 器 G(p)： 采 用 巴 特 沃 斯 型 ， 有 0.10.110 1 0.1810 11.833lg 2.83lg pssp ssp p sp spk kN 取 N=3， 查 表 6.2.1

24、， 得 23 2( )1( ) 2 2 1( ) ( ) l uu lsp sG p p p pH s G p (4) 求 模 擬 帶 通 H(s)： 2 3 6 5 2 2 4 2 3 30 04 2 2 2 4 6 10 0 0 0( ) 2 (3 2 ) (4 )(3 2 ) 2 SH s s B s B B s B B sB s Bs 3) 低 通 到 帶 阻 的 頻 率 變 換低 通 與 帶 阻 濾 波 器 的 幅 頻 特 性 圖 6.2.11 低 通 與 帶 阻 濾 波 器 的 幅 頻 特 性lulussul BB 歸 一 化 參 考 頻 率 ，阻 帶 中 心 頻 率 ，阻 帶 上

25、 限 頻 率阻 帶 下 限 頻 率上 通 帶 截 止 頻 率下 通 帶 截 止 頻 率 : : : : : : 0021 B作 為 一 化 參 考 頻 率 。 相 應(yīng) 的 歸 一 化 邊 界頻 率 為 u=u/B, l=l/B, s1=s1/B, s2=s2/B; 20=ul 表 6.2.3 與 的 對 應(yīng) 關(guān) 系 : 0 0 s c c s : 0 0 s c c s 0 2 2 1 1 0: 0 s s 0 2 2 1 1 0: 0 s s 202 20 2 20 2 2 2 0 ( )u lu lsB sp s s 2 2 0( ) ( ) sBp sH s G p 低 通 到 帶 阻

26、的 頻率 變 換 公 式直 接 由 歸 一 化 低 通轉(zhuǎn) 換 成 帶 阻 的 頻 率變 換 公 式 。根 據(jù) 與 的 對 應(yīng) 關(guān) 系 ， 可 得 到 ： p=1 令 p=j ， 并 去 歸 一 化 ， 可 得 (1)確 定 模 擬 帶 阻 濾 波 器 的 技 術(shù) 要 求 ， 即 ： lulus ulB 20s21阻 帶 中 心 頻 率阻 帶 寬 度 、阻 帶 頻 率 、通 帶 截 止 頻 率設(shè) 計 模 擬 帶 阻 濾 波 器 的 步 驟 ： uls sull B BBB 202s2 1s1u / / / / :為相 應(yīng) 的 歸 一 化 邊 界 頻 率 (2) 確 定 歸 一 化 模 擬 低 通

27、 技 術(shù) 要 求 ， 即 ： 取 絕 對 值 較 小 的 s； 通 帶 最 大 衰 減 為 p，阻 帶 最 小 衰 減 為 s (3) 設(shè) 計 歸 一 化 模 擬 低 通 G(p) (4) 轉(zhuǎn) 換 成 帶 阻 濾 波 器 H(s)。1 22 2 2 21 0 2 01, ,s sp s ss s 2 20( ) ( ) sBp sH s G p 例 6.2.5 設(shè) 計 模 擬 帶 阻 濾 波 器 ， 其 技 術(shù) 要 求 為 ： l=2 905rad/s, s1=2 980rad/s, s2 =2 1020rad/s, u=2 1105rad/s,p=3dB, s=25dB。試 設(shè) 計 巴 特

28、沃 斯 帶 阻 濾 波 器 。 解 ： (1) 模 擬 帶 阻 濾 波 器 的 技 術(shù) 要 求 ： l=2 905,u=2 1105; s 1 = 2 9 8 0 , s 2 = 2 1 0 2 0 ; 2 0=lu=4+2 1000025,B=u -l=2 200; l=l/B=4.525, u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 歸 一 化 低 通 的 技 術(shù) 要 求 ： dBdB Sp ss ss s ssp 25,3 95.4,95.4 05.5,1 2021 1 2022 2 取 0.10.1 2 10 1 0.056210 14.

29、95lg 1.8, 2lg 1( ) 2 1pssp ssp p spspk kN NG p p p (4) 帶 阻 濾 波 器 的 H(s)為 2 20 4 2 2 40 04 2 2 2 2 2 40 0 02( ) ( ) 2 ( 2 ) 2sBp ss s sH s G p s B B s B s (3)設(shè) 計 歸 一 化 低 通 濾 波 器 G(p): 模 擬 濾 波 器 設(shè) 計 的 步 驟 ),( cN 通 帶 截 止 頻 率 、 通 帶 衰 減p p阻 帶 截 止 頻 率 、 阻 帶 衰 減s s u確 定 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標(biāo) ：u將 模 擬 濾 波 器 的 技 術(shù)

30、指 標(biāo) 設(shè) 計 轉(zhuǎn) 化 為 低 通原 型 濾 波 器 的 參 數(shù)Butterworth低 通 濾 波 器Chebyshev低 通 濾 波 器 ( , , , ) p cN u構(gòu) 造 歸 一 化 低 通 原 型 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) G(P） 首 先 要 掌 握 低 通 原 型 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 模 擬 濾 波 器 設(shè) 計 步 驟 小 結(jié)（ 1） 確 定 需 要 設(shè) 計 的 “ 實 際 AF”H(j)指 標(biāo)(2) 將 實 際 AF轉(zhuǎn) 換 成 相 應(yīng) 低 通 AF指 標(biāo)(3)根 據(jù) 實 際 濾 波 特 性 要 求 ， 選 擇 合 適 的 AF類 型 ,設(shè) 計 相 應(yīng) 的 歸 一 化 低 通 G（ P)(4)頻 率 變 換 ,將 G(P)轉(zhuǎn) 化 成 實 際 AF系 統(tǒng) 函 數(shù)