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第七節(jié) 離散型隨機變量及其分布列,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)隨機變量: 隨著試驗結果變化_______的變量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示. (2)離散型隨機變量: 所有取值可以_________的隨機變量.,而變化,一一列出,(3)離散型隨機變量分布列的概念: 若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個 值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則表 稱為離散型隨機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列,有時也用等式 _____________________表示X的分布列.,P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,(4)離散型概率分布列的性質: ①_________________;② =1. (5)兩點分布列: 若隨機變量X服從兩點分布,即其分布列為 其中p= _______稱為成功概率.,pi≥0(i=1,2,…,n),1-p,P(X=1),(6)超幾何分布: 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則事件{X=k} 發(fā)生的概率為P(X=k)=_________,k=0,1,2,…,m,其中m= _________, 且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,如果隨機變量X的分布列具有下表形式 則稱隨機變量X服從超幾何分布.,min{M,n},2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)兩點分布與二項分布的關系: 兩點分布實際上是n=1時的二項分布. (2)某指定范圍的概率: 某指定范圍的概率等于本范圍內所有隨機變量的概率和.,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:列表法,模型法. (2)數(shù)學思想:分類討論思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)隨機試驗所有可能的結果是明確的,并且不止一個.( ) (2)離散型隨機變量的所有取值有時無法一一列出.( ) (3)離散型隨機變量的分布列中pi0(i=1,2,…,n).( ) (4)離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和.( ),【解析】(1)正確.根據(jù)隨機試驗的條件可知正確. (2)錯誤.離散型隨機變量的所有取值可以一一列出. (3)錯誤.離散型隨機變量的分布列中pi≥0(i=1,2,3,…,n). (4)正確.由離散型隨機變量的分布列的性質可知該命題正確. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-3P45T1改編)拋擲甲、乙兩顆骰子,所得點數(shù)之和為X,那么X=4表示的事件是( ) A.一顆是3點,一顆是1點 B.兩顆都是2點 C.甲是3點,乙是1點或甲是1點,乙是3點或兩顆都是2點 D.以上答案都不對,【解析】選C.甲是3點,乙是1點與甲是1點,乙是3點是試驗的兩個不同結果,故應選C.,(2)(選修2-3P49T4改編)設隨機變量X的分布列如下: 則p為( ) 【解析】選C.由 得p= .,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015·鄭州模擬)已知隨機變量X的分布列為P(X=i)= (i=1,2, 3,4),則P(2X≤4)等于( ),【解析】選B.由分布列的性質得 =1,則a=5. 所以,P(2X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=,(2)(2015·太原模擬)某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為 則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為( ) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 【解析】選C.P(X7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =0.28+0.29+0.22=0.79.,(3)(2014·江西高考)10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件, 則恰好取到1件次品的概率是 . 【解析】從10件產(chǎn)品中取4件所包含的所有結果為 種,恰好取到1件 次品所包含的結果有 種,故所求概率為 計算得 . 答案:,(4)(2014·長沙模擬)某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù): 試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設某天開始營業(yè)時有該商品3件,當天營業(yè)結束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存量少于2件,則當天進貨補充至3件,否則不進貨,將頻率視為概率. ①求當天商店不進貨的概率. ②記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù),求X的分布列.,【解析】①P(當天商店不進貨)=P(當天商品銷售量為0件)+P(當天商 品銷售量為1件)= ②由題意知,X的可能取值為2,3. P(X=2)=P(當天商品銷售量為1件)= P(X=3)=P(當天商品銷售量為0件)+P(當天商品銷售量為2件)+P(當天 商品銷售量為3件)= 所以X的分布列為,考點1 離散型隨機變量分布列的性質 【典例1】(1)(2015·岳陽模擬)設X是一個離散型隨機變量,其分布列為: 則q等于( ),(2)設離散型隨機變量X的分布列為 求|X-1|的分布列. 【解題提示】(1)可利用離散型隨機變量分布列的性質得出關于q的不等式組.(2)可利用離散型隨機變量分布列的性質求出m的值,再求出|X-1|的分布列.,【規(guī)范解答】(1)選C.由分布列的性質知 所以q=1- . (2)由分布列的性質,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 所以m=0.3. 列表,所以P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3. P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=0.3,P(η=3)=0.3. 因此η=|X-1|的分布列為:,【易錯警示】解答本例(1)有兩點容易出錯: (1)易忽略1-2q≥0,q2≥0這兩個條件,從而結果出錯. (2)解方程 +1-2q+q2=1時計算錯誤.,【互動探究】本題(2)中條件不變,求P(12X+19). 【解析】P(12X+19)=P(2X+1=3)+P(2X+1=5)+P(2X+1=7) =0.1+0.1+0.3=0.5.,【規(guī)律方法】分布列的兩條重要性質應用 (1)檢查分布列的正確性. (2)求參數(shù)值.,【變式訓練】1.(2015·廣州模擬)已知離散型隨機變量X的分布列為: 則k的值為( ) A. B.1 C.2 D.3 【解析】選B.由 =1,解得k=1.,2.隨機變量X的分布列如下: 其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|=1)= .,【解析】由題意知 則2b=1-b,則b= ,a+c= , 所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c= . 答案:,【加固訓練】設隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)= ,k=1,2,3,則 a的值為( ),【解析】選D.因為隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)= (k=1,2,3), 所以根據(jù)分布列的性質有 所以 所以a= .,考點2 超幾何分布 【典例2】(2014·天津高考改編)某大學志愿者協(xié)會有6名男同學,4名女同學.在這10名同學中,3名同學來自數(shù)學學院,其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學,到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同). (1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率. (2)設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù),求隨機變量X的分布列.,【解題提示】(1)由于每位學生被選到的機會均等,且所有選法是一定的,因此所求概率符合古典概型.(2)該問題符合超幾何分布的定義,為超幾何分布.,【規(guī)范解答】(1)設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件 A,則P(A)= 所以選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為 .,(2)隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3), 所以隨機變量X的分布列是,【規(guī)律方法】 1.超幾何分布的兩個特點 (1)超幾何分布是不放回抽樣問題. (2)隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù). 2.超幾何分布的應用條件 (1)兩類不同的物品(或人、事). (2)從中抽取若干個.,【變式訓練】(2015·張掖模擬)袋中裝有編號為1的球5個,編號為2的球3個,這些球的大小完全一樣. (1)從中任意取出四個,求剩下的四個球都是1號球的概率. (2)從中任意取出三個,記ξ為這三個球的編號之和,求隨機變量ξ的分布列.,【解析】(1)記“任意取出四個,剩下的四個球都是1號球”為事件A, 則P(A)= (2)ξ的可能取值為3,4,5,6,則P(ξ=3)= P(ξ=4)= P(ξ=5)= P(ξ=6)= 概率分布列如下:,【加固訓練】帶活動門的小盒子里有來自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂,現(xiàn)隨機地放出5只做實驗,X表示放出的蜂中工蜂的只數(shù),則X=2時的概率是( ) 【解析】選B.依題意可知:X服從超幾何分布,P(X=2)=,考點3 與離散型隨機變量的概率分布列有關的問題 知·考情 求離散型隨機變量的概率分布列,是高考考查的一個重要考向,常由古典概型求離散型隨機變量的分布列,或借助互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率,有時會根據(jù)統(tǒng)計數(shù)表求離散型隨機變量的分布列,它們經(jīng)常是以解答題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:求離散型隨機變量的分布列 【典例3】(2013·天津高考改編)一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同). (1)求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率. (2)在取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設為X,求隨機變量X的分布列.,【解題提示】(1)根據(jù)組合數(shù)原理求出符合條件的取法及總取法,再求 概率. (2)根據(jù)隨機變量X所有可能取值列出分布列. 【規(guī)范解答】(1)設“取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片”為事件 A,則P(A)= 所以,取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率為 .,(2)由題意隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4. 所以隨機變量X的分布列是,命題角度2:與古典概型有關的分布列問題 【典例4】(2014·重慶高考)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片. (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率. (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望(注:若三個數(shù)a,b,c滿足a≤b≤c,則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù)).,【解題提示】利用古典概型的概率公式求解概率以及分布列和數(shù)學期望. 【規(guī)范解答】(1)由古典概型的概率計算公式知所求概率為 P=,(2)X的所有可能值為1,2,3,且P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 故X的分布列為 從而E(X)=,悟·技法 求隨機變量的分布列的三個步驟 (1)找:理解并確定ξ=xi的意義,找出隨機變量ξ的所有可能的取值xi(i=1,2,…,n). (2)求:借助概率的有關知識求出隨機變量ξ取每一個值的概率P(ξ=xi)=pi(i=1,2,…,n).注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識. (3)列:列出表格并檢驗所求的概率是否滿足分布列的兩條性質.,通·一類 1.(2015·青島模擬)已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和,求X的分布列.,【解析】由題意得X取3,4,5,6, 且 所以X的分布列為,2.(2015·聊城模擬)某校校慶,各屆校友紛至沓來,某班共來了n位校 友(n8且n∈N*),其中女校友6位,組委會對這n位校友登記制作了一份 校友名單,現(xiàn)隨機從中選出2位校友代表,若選出的2位校友是一男一女, 則稱為“最佳組合”. (1)若隨機選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于 ,求n的 最大值. (2)當n=12時,設選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X,求X的分布列.,【解析】(1)由題意可知,所選2人為“最佳組合”的概率為= 則 化簡得n2-25n+144≤0,解得9≤n≤16,故n的最大值為16. (2)由題意得,X的可能取值為0,1,2, 則 X的分布列為,3.(2015·張掖模擬)某市公租房的房源位于A,B,C三個片區(qū),設每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源,且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的,求該市的任意4位申請人中: (1)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率. (2)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)ξ的分布列.,【解析】(1)所有可能的申請方式有34種,恰有2人申請A片區(qū)房源的申 請方式有 22種,從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為 (2)ξ的所有取值為1,2,3,P(ξ=1)= 所以ξ的分布列為,自我糾錯29 求隨機變量的分布列 【典例】已知隨機變量X的分布列為: 則隨機變量η1= X的分布列為 ( ),【解題過程】,【錯解分析】分析以上解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:上述解題錯在誤認為η1= X對應取值的概率也為原來的 ,而 誤選A.,【規(guī)避策略】 1.準確理解隨機變量的表達式的意義,這就要求不能把隨機變量表達式和概率的表達式混為一談. 2.掌握隨機變量組合的隨機變量的分布列的求法,會用分布列來計算這類事件的概率,要求準確理解和應用.,【自我矯正】選C.由于η1= X對于不同的X取值-2,-1,0,1,2,可得到 η1的不同取值-1,- ,0, ,1,相應的概率不變.所以η1= X的分布 列為:,