《高考數(shù)學(xué) 10.9 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 10.9 離散型隨機(jī)變量的均值與方差課件.ppt（78頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第九節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)離散型隨機(jī)變量X的分布列:,(2)離散型隨機(jī)變量X的均值與方差:,x1p1+x2p2+…+xipi,+…+xnpn,平均水平,平均偏離程度,算術(shù)平方根,(3)均值與方差的性質(zhì): ①E(aX+b)=________(a,b為常數(shù)). ②D(aX+b)=______(a,b為常數(shù)). (4)兩點(diǎn)分布的均值與方差: 若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=__,D(X)=_______.,aE(X)+b,a2D(X),p(1-p),p,(5)二項(xiàng)分布的均值與方差: 若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,即X～B(n,p),則E(X)=___,D(X)=________.,np(1-p),np,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)均值與方差的關(guān)系: D(X)=E(X2)-E2(X). (2)超幾何分布的均值: 若X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則 E(X)=,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:待定系數(shù)法,比較法. (2)數(shù)學(xué)思想:方程思想,分類討論思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù),與概率無關(guān).( ) (2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù),樣本的平均值是隨機(jī)變量,它不確定.( ) (3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小.( ),(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況,因此它們是一回事.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.期望是算術(shù)平均值概念的推廣,是概率意義下的平均值,反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. (2)正確.由于隨機(jī)變量的取值是確定值,而每一個(gè)隨機(jī)變量的概率也是確定的,因此隨機(jī)變量的均值是定值,即為常數(shù);而樣本數(shù)據(jù)隨著抽樣的次數(shù)不同而不同,因此其平均值也不相同. (3)正確.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小;方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,則偏離均值的平均程度越大.,(4)錯(cuò)誤.均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況,均值反映了平均水平,而方差則反映它們與均值的偏離情況. 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-3P64T2改編)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=( ) A. B.2 C. D.3 【解析】選A.E(X)=,(2)(選修2-3P68T1改編)已知X的分布列為 設(shè)Y=2X+3,則E(Y)的值為( ) A. B.4 C.-1 D.1 【解析】選A.E(X)= E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2013·湖北高考)如圖,將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體,切割為125個(gè)同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體,記它的油漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=( ),【解析】選B.,(2)(2014·浙江高考)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2,若P(ξ=0)= , E(ξ)=1,則D(ξ)= . 【解析】設(shè)ξ=1時(shí)的概率為p,則E(ξ)=0× +1×p+2×(1-p- )=1, 解得p= ,故D(ξ)=(0-1)2× +(1-1)2× +(2-1)2× = . 答案:,(3)(2015·廣州模擬)設(shè)X～B(n,p),若D(X)=4,E(X)=12,則n和p分別 為 . 【解析】因?yàn)閄～B(n,p),所以 解得p= ,n=18. 答案:18,,考點(diǎn)1 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 【典例1】(1)(2014·浙江高考)已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球,乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m≥3,n≥3),從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個(gè)球放入甲盒中. (a)放入i個(gè)球后,甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξi(i=1,2);,(b)放入i個(gè)球后,從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i=1,2).則 ( ) A.p1p2,E(ξ1)E(ξ2) C.p1p2,E(ξ1)E(ξ2) D.p1p2,E(ξ1)E(ξ2),(2)隨機(jī)變量X的分布列為: 且E(X)=1.1,則D(X)= . 【解題提示】(1)根據(jù)概率和數(shù)學(xué)期望的有關(guān)知識(shí),分別計(jì)算p1,p2和E(ξ1),E(ξ2),再比較大小. (2)可由分布列的性質(zhì)求出n的值,再由期望值求出m值,最后求出方差值.,【規(guī)范解答】(1)選A. p2= p1－p2= 故p1＞p2, E(ξ1)= E(ξ2)= 比較可知E(ξ1)＜E(ξ2)，故選A.,(2)由分布列的性質(zhì)得 所以n＝ .又E(X)＝0× ＋1× ＋m× ＝1.1，解得m＝2.所以D(X)＝(0－1.1)2× ＋(1－1.1)2 × ＋(2－1.1)2× ＝0.49. 答案：0.49,【易錯(cuò)警示】解答本例題(1)易出現(xiàn)三點(diǎn)錯(cuò)誤 (1)題設(shè)理解不清,對(duì)p1,p2的意義理解不透,造成結(jié)論錯(cuò)誤. (2)比較p1,p2,E(ξ1),E(ξ2)大小時(shí),出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤. (3)忽略m,n取值造成結(jié)論錯(cuò)誤.,【互動(dòng)探究】若本例(2)條件不變,令Y=2X+1,試求E(Y),D(Y). 【解析】因?yàn)镋(X)=1.1,Y=2X+1,所以E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=2×1.1 +1=3.2;由例題可知:D(X)=0.49,所以D(Y)=D(2X+1)=22×D(X)=1.96.,【規(guī)律方法】求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟 (1)理解ξ的意義,寫出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每個(gè)值的概率. (3)寫出ξ的分布列. (4)由均值的定義求E(ξ). (5)由方差的定義求D(ξ).,均值與方差的性質(zhì)的推導(dǎo) 若Y=aX+b,其中a,b是常數(shù),X是隨機(jī)變量,則 (1)E(aX+b)=aE(X)+b. 證明:E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.,(2)D(aX+b)=a2D(X). 證明:D(Y)=(ax1+b-aE(X)-b)2p1+(ax2+b-aE(X)-b)2p2+…+(axi+b-aE(X)-b)2pi+…+(axn+b-aE(X)-b)2pn=a2[(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xi-E(X))2pi+…+(xn-E(X))2pn]=a2D(X).,【變式訓(xùn)練】已知隨機(jī)變量ξ的分布列為 若E(ξ)= ,則D(ξ)= .,【解析】由分布列性質(zhì)，得x＋y＝0.5. 又E(ξ)＝ ，得2x＋3y＝ ，可得 D(ξ)＝ 答案：,【加固訓(xùn)練】在一次電視節(jié)目的搶答中,題型為判斷題,只有“對(duì)”和 “錯(cuò)”兩種結(jié)果,其中某明星判斷正確的概率為p,判斷錯(cuò)誤的概率為q, 若判斷正確則加1分,判斷錯(cuò)誤則減1分,現(xiàn)記“該明星答完n題后總得 分為Sn”.(1)當(dāng)p=q= 時(shí),記ξ=|S3|, 求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望及方差. (2)當(dāng)p= ,q= 時(shí),求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.,【解析】(1)因?yàn)棣危絴S3|的取值為1,3，又p＝q＝ ；故P(ξ＝1)＝ 所以ξ的分布列為： 且E(ξ)＝1× ＋3× = ；D(ξ)＝,(2)當(dāng)S8＝2時(shí)，即答完8題后，回答正確的題數(shù)為5題，回答錯(cuò)誤的題 數(shù)是3題，又已知Si≥0(i＝1,2,3,4)，若第一題和第二題回答正確， 則其余6題可任意答對(duì)3題；若第一題和第三題回答正確，第二題回答 錯(cuò)誤，則后5題可任意答對(duì)3題．此時(shí)的概率為P＝,考點(diǎn)2 與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值與方差 【典例2】(1)某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽,需回答4個(gè)問題,每一道題能 否正確回答是相互獨(dú)立的,且回答正確的概率是 ,若回答錯(cuò)誤的題數(shù) 為ξ,則E(ξ)= ,D(ξ)= . (2)罐中有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,從中任取1個(gè)球,記住顏色后再放回,連 續(xù)取4次,設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù),則E(ξ)= .,【解題提示】(1)可將問題看做是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),服從二項(xiàng)分布. (2)本題同樣可看做4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),服從二項(xiàng)分布. 【規(guī)范解答】(1)因?yàn)榛卮鹫_的概率是 ,所以回答錯(cuò)誤的概率是 1- = ,故 所以E(ξ)=4× =1, D(ξ)=,(2)因?yàn)槭怯蟹呕孛?所以每次摸球(試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率為 ,連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn)),ξ為取得紅球(成功)的次數(shù),則 所以E(ξ)=4× 答案:(1)1 (2),【易錯(cuò)警示】解答本例(2)易忽視“放回”的題目特征,從而將隨機(jī)變量ξ的分布列看成普通分布而非二項(xiàng)分布,造成錯(cuò)誤.,【規(guī)律方法】與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望、方差的求法 (1)求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí),可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布,如果ξ～B(n,p),則用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大減少計(jì)算量. (2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布,但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,這時(shí),可以綜合應(yīng)用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b),同樣還可求出D(aξ+b).,【變式訓(xùn)練】某籃球隊(duì)與其他6支籃球隊(duì)依次進(jìn)行6場(chǎng)比賽,每場(chǎng)均決 出勝負(fù),設(shè)這支籃球隊(duì)與其他籃球隊(duì)比賽勝場(chǎng)的事件是獨(dú)立的,并且勝 場(chǎng)的概率是 . (1)求這支籃球隊(duì)首次勝場(chǎng)前已經(jīng)負(fù)了兩場(chǎng)的概率. (2)求這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中恰好勝了3場(chǎng)的概率. (3)求這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中勝場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.,【解析】(1)P＝ 所以這支籃球隊(duì)首次勝場(chǎng)前已負(fù)兩場(chǎng)的概率為 (2)6場(chǎng)勝3場(chǎng)的情況有 種， 所以P＝ 所以這支籃球隊(duì)在6場(chǎng)比賽中恰勝3場(chǎng)的概率為,(3)由于ξ服從二項(xiàng)分布，即 所以E(ξ)＝6× ＝2，D(ξ)＝6× ×(1- )＝ . 所以在6場(chǎng)比賽中這支籃球隊(duì)勝場(chǎng)的數(shù)學(xué)期望為2，方差為 .,【加固訓(xùn)練】(2015·杭州模擬)甲、乙兩人參加某高校的自主招生考 試,若甲、乙能通過面試的概率都為 ,且甲、乙兩人能否通過面試相 互獨(dú)立,則面試結(jié)束后通過人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)的值為 .,【解析】由題意可知,X服從二項(xiàng)分布 所以E(X)=2× = . 答案:,考點(diǎn)3 均值與方差的應(yīng)用 知·考情 利用離散型隨機(jī)變量的期望與方差,對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的問題進(jìn)行分析、作出決策是高考考查離散型隨機(jī)變量分布列、期望與方差的一個(gè)重要考向,常與古典概型、二項(xiàng)分布、相互獨(dú)立事件概率等知識(shí)綜合,以解答題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:現(xiàn)實(shí)生活中的決策問題 【典例3】(2014·福建高考)為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.,(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求 ①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率; ②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望.,(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說明理由.,【解題提示】(1)列分布表,再按公式求期望.(2)欲讓每位顧客所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)相對(duì)平衡,則應(yīng)求方差,方差小的為最佳方案.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X. ①依題意，得P(X=60)= 即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為 . ②依題意，得X的所有可能取值為20，60. P(X=60)= ,P(X=20)=,即X的分布列為 所以顧客所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).,(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元.所以,先尋找期望為60元的可能方案. 對(duì)于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.,對(duì)于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2. 以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析: 對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1,則X1的分布列為,X1的期望為E(X1)=20× +60× +100× =60. X1的方差為D(X1)=(20-60)2× +(60-60)2× +(100-60)2× = . 對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2,則X2的分 布列為,X2的期望為E(X2)=40× +60× +80× =60, X2的方差為D(X2)=(40-60)2× +(60-60)2× +(80-60)2× = . 由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方 案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.,命題角度2:對(duì)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)解釋 【典例4】(2014·四川高考)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都 需要擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游 戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn) 三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè) 每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為 ,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.,(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列. (2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少? (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比,分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.,【解題提示】本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)與方法分析和解決實(shí)際問題的能力,考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).,【規(guī)范解答】(1)X可能取值有-200，10，20，100.根據(jù)題意，有 P(X=-200)= P(X=10)= P(X=20)= P(X=100)=,所以X的分布列為,(2)由(1)知：每盤游戲出現(xiàn)音樂的概率是 則玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是 P1= (3)由(1)知，每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X的數(shù)學(xué)期望是 E(X)=(-200)× (分), 這表明，每盤游戲平均得分是負(fù)分，因此，多盤游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.,悟·技法 利用均值與方差解決實(shí)際問題的方法 (1)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行具體分析,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,并將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來. (2)依據(jù)隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)所表示的具體事件,求出其相應(yīng)的概率. (3)依據(jù)期望與方差的定義、公式求出相應(yīng)的期望與方差值. (4)依據(jù)期望與方差的意義對(duì)實(shí)際問題作出決策或給出合理的解釋.,通·一類 1.(2015·贛州模擬)2014年巴西世界杯的周邊商品有80%左右為“中國(guó)制造”,所有的廠家都是經(jīng)過層層篩選才能獲此殊榮.甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品,為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件,測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量(單位:毫克).下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù):,(1)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件,求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量. (2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175,且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品.用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量. (3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).,【解析】(1)乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為5÷ =35. (2)樣品中優(yōu)等品的頻率為 ，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為35× =14. (3)ξ=0,1,2, P(ξ=i)= (i=0,1,2), ξ的分布列為 均值E(ξ)=,2.(2013·福建高考)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),舉辦方設(shè)置了甲、乙 兩種抽獎(jiǎng)方案,方案甲的中獎(jiǎng)率為 ,中獎(jiǎng)可以獲得2分;方案乙的中獎(jiǎng) 率為 ,中獎(jiǎng)可以獲得3分;未中獎(jiǎng)則不得分.每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī) 會(huì),每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響,晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品. (1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng),小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng),記他們的累計(jì)得分 為X,求X≤3的概率. (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),問:他 們選擇何種方案抽獎(jiǎng),累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大?,【解析】方法一： (1)由已知得：小明中獎(jiǎng)的概率為 ，小紅中獎(jiǎng)的概率為 ，且兩人 中獎(jiǎng)與否互不影響，記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則A事 件的對(duì)立事件為“X=5”， 因?yàn)镻(X=5)= 所以P(A)=1－P(X=5)= 所以這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為,(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)， 由已知： 所以E(X1)= E(X2)= 所以E(2X1)=2E(X1)= ，E(3X2)=3E(X2)= ， 因?yàn)镋(2X1)E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．,方法二：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為 ，小紅中獎(jiǎng)的概率 為 ，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響． 記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則事件A包含有“X＝0”“X ＝2”“X＝3”三個(gè)兩兩互斥的事件，因?yàn)镻(X＝0)＝ 所以P(A)＝P(X＝0) ＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝ ，即這2人的累計(jì)得分X≤3的概率為 .,(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X1，X2的分布列如下：,所以E(X1)＝ E(X2)＝ 因?yàn)镋(X1)E(X2)， 所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．,自我糾錯(cuò)30 離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求解 【典例】根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對(duì)工期的影響如表:,歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差. (2)在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率.,【解題過程】,【錯(cuò)解分析】分析上面解題過程,你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示:解題過程中在以下方面出現(xiàn)錯(cuò)誤:第(2)問中,在降水量X至少是300mm的條件下,這一條件說明是在延誤工期的條件下,求工期延誤不超過6天的概率,錯(cuò)解中沒有在這條件下求概率.,【規(guī)避策略】(1)求某事件概率,首先理解題意,分清概率模型,恰當(dāng)選擇概率計(jì)算公式.本題是條件概率,應(yīng)利用條件概率公式計(jì)算. (2)解決期望和方差問題時(shí),認(rèn)真計(jì)算、正確利用期望和方差公式、避免失誤.,【自我矯正】(1)由已知和概率公式有:P(X300)=0.3, P(300≤X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列為:,于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.,(2)由對(duì)立事件概率公式,得P(X≥300)=1-P(X300)=0.7,又P(300≤X900)=P(X900)-P(X300)=0.9-0.3=0.6. 由條件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X900|X≥300) = 故在降水量X至少是300mm的條件下,工期延誤不超過6天的概率是 .,