《高考數(shù)學(xué) 5.1 數(shù)列的概念與簡單表示法課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 5.1 數(shù)列的概念與簡單表示法課件.ppt（70頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第五章 數(shù) 列 第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)數(shù)列的有關(guān)概念:,一定順序,每一個數(shù),an=f(n),a1+a2+…+an,(2)數(shù)列的表示方法:,(n,an),公式,(3)an與Sn的關(guān)系: 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn, __,n=1, ______,n≥2.,則an=,,S1,Sn-Sn-1,(4)數(shù)列的分類:,an+1an,an+1an,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 常見數(shù)列的通項(xiàng)公式: ①自然數(shù)列:(1,2,3,4,…)an=n; ②奇數(shù)列:(1,3,5,7,…)an=2n-1; ③偶數(shù)列:(2,4,6,8,…)an=2n; ④平方數(shù)列:(1,4,9,16,…)an=n2; ⑤2的乘方數(shù)列:(2,4,8,16,…)an=2n;,⑥倒數(shù)列: ⑦乘積數(shù)列:(2,6,12,20,…) 可化為(1×2,2×3,3×4,4×5,…)an=n(n+1); ⑧重復(fù)數(shù)串列:(9,99,999,9999,…)an=10n-1; ⑨(0.9,0.99,0.999,0.9999,…)an=1-10-n; ⑩符號調(diào)整數(shù)列:(-1,1,-1,1,…)an=(-1)n.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式的方法,遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化的方法,判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法以及求最大(小)項(xiàng)的方法. (2)數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程、分類討論、等價轉(zhuǎn)化. (3)記憶口訣: 數(shù)列函數(shù)同族類,函數(shù)性質(zhì)幫你忙;通項(xiàng)遞推關(guān)系式,等價轉(zhuǎn)化解析式;an與Sn關(guān)系式,分類討論來合并.歸納思想非常好,猜測證明不可少.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)數(shù)列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}表達(dá)的意義相同.( ) (2)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá).( ) (3)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則對?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.( ) (4)在數(shù)列{an}中,對于任意正整數(shù)m,n,am+n=amn+1,若a1=1,則a2=2. ( ) (5)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an+1= 且a2=1,則可以寫出數(shù) 列{an}的任何一項(xiàng).( ),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5P31例3改編)在數(shù)列{an}中，a1=1, 則a5=( ) 【解析】選D.由已知得，,(2)(必修5P29例1(2)改編)已知數(shù)列{an}的前四項(xiàng)分別為1，0，1，0，給出下列各式： 其中可以作為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的有________.(寫出所有正確結(jié)論的序號),【解析】根據(jù)各個數(shù)列的通項(xiàng)公式分別寫出其前四項(xiàng),只有①③④符合. 答案:①③④,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2015·石家莊模擬)把1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個正三角形(如圖). 則第7個三角形數(shù)是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 【解析】選B.由圖可知,第7個三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28.,(2)(2015·蘭州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2an(n≥2),且a1=1,通過計算a2,a3,猜想an等于( ) 【解析】選B.a1=1= 因?yàn)镾n=n2an(n≥2), 所以S2=4a2,即a1+a2=4a2,所以 當(dāng)n=3時,S3=9a3,即a1+a2+a3=9a3, 解得 因此猜想,(3)(2015·廣州模擬)數(shù)列{an}滿足an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為( ) 【解析】選B.因?yàn)閍n+an+1= (n∈N*), 所以 故a2n=2,a2n-1= 所以,(4)(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an+1= a8=2，則 a1=_______. 【解析】由an+1= 可得 又a8=2，故 答案：,考點(diǎn)1 由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 【典例1】(1)(2015·深圳模擬)數(shù)列 的一個通項(xiàng)公式 為( ),(2)寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式. ① ②a,b,a,b,a,b,…(其中a,b為實(shí)數(shù)). ③3,33,333,3 333,…. ④,【解題提示】(1)根據(jù)a1=0, …驗(yàn)證答案，用排除法求解. (2)通過分析各數(shù)列已知項(xiàng)的數(shù)字特征的共性寫出各數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【規(guī)范解答】(1)選C.因?yàn)閍1=0，排除選項(xiàng)D.因?yàn)? 排除選項(xiàng) A，B，只有選項(xiàng)C符合. (2)①這個數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)， 且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個通項(xiàng)公式為an=,②這是一個擺動數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是a,偶數(shù)項(xiàng)是b,所以此數(shù)列的一個通項(xiàng) 公式為 ③將數(shù)列各項(xiàng)改寫為: …,分母都是3，而分子分別 是10-1,102-1,103-1,104-1,…. 所以 ④將該數(shù)列的前4項(xiàng)改寫成分?jǐn)?shù)的形式: 可得通項(xiàng)公式,【規(guī)律方法】由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略 (1)常用方法:觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法. (2)具體策略:①分式中分子、分母的特征; ②相鄰項(xiàng)的變化特征; ③拆項(xiàng)后的特征;,④各項(xiàng)的符號特征和絕對值特征; ⑤化異為同.對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破,或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系; ⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*處理.,【變式訓(xùn)練】根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng) 公式： (1) …； (2) …； (3) …； (4)5，55，555，5 555，….,【解析】(1)將數(shù)列統(tǒng)一為 …，對于分子3，5，7，9， …，是序號的2倍加1，可得分子的通項(xiàng)公式為bn=2n+1，對于分母 2，5，10，17，…，聯(lián)想到數(shù)列1，4，9，16，…，即數(shù)列{n2}， 可得分母的通項(xiàng)公式為cn=n2+1，因此可得數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為 an= (2)這是一個分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分子可分解為1×3, 3×5,5×7,7×9,9×11,…，每一項(xiàng)都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積.知所 求數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為,(3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一 成分?jǐn)?shù)再觀察.即 …，從而可得數(shù)列的一個通項(xiàng)公式 為 (4)將原數(shù)列改寫為 …，易知數(shù)列9，99，999，… 的通項(xiàng)為10n-1，故所求的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為,【加固訓(xùn)練】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式： (1)-1,7,-13,19,…. (2)0.8,0.88,0.888,…. (3) ….,【解析】(1)符號可通過(-1)n表示，后面的數(shù)的絕對值總比前一個數(shù) 的絕對值大6，故通項(xiàng)公式為an=(-1)n(6n-5). (2)數(shù)列變?yōu)?所以其通項(xiàng)公式為 (3)各項(xiàng)的分母分別為21，22，23，24，…，易看出第2，3，4項(xiàng)的分 子分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)?原數(shù)列化為 …， 所以,考點(diǎn)2 an與Sn關(guān)系式的應(yīng)用 【典例2】(1)(2015·臨沂模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和 則a4等于( ) (2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則Sn=( ),【解題提示】(1)直接根據(jù)a4=S4-S3求出即可. (2)根據(jù)?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn,把Sn=2an+1化為Sn+1與Sn之間的關(guān)系,求出數(shù)列{Sn}的通項(xiàng),另外也可根據(jù)Sn=2an+1得出Sn-1=2an,進(jìn)而得出an+1與an的關(guān)系,從而求出Sn.,【規(guī)范解答】(1)選A. (2)選B．方法一：因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得，Sn=2(Sn+1- Sn)，整理得3Sn=2Sn+1，所以 所以數(shù)列{Sn}是以S1=a1=1為首 項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，所以 故選B． 方法二:因?yàn)镾n=2an+1, 所以Sn-1=2an(n≥2), 兩式相減得:an=2an+1-2an, 所以,所以數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起為等比數(shù)列. 又n=1時，S1=2a2, 所以 所以,【互動探究】若本例題(2)中，結(jié)論改為求an，應(yīng)如何求解？ 【解析】根據(jù)原題的結(jié)果 當(dāng)n=1時，a1=1；當(dāng)n≥2時， an=Sn-Sn-1= n=1時不適合這個公式．所以,【規(guī)律方法】已知Sn求an的三個步驟 (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式. (3)對n=1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),看是否符合n≥2時an的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫;如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來寫.,【變式訓(xùn)練】已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求{an}的通項(xiàng)公式. (1)Sn=2n2-3n. (2)Sn=3n+b. 【解析】(1)a1=S1=2-3=-1, 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1 =(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于當(dāng)n=1時也適合此等式,所以an=4n-5.,(2)a1=S1=3+b. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1 =(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1, 當(dāng)b=-1時,a1適合此等式. 當(dāng)b≠-1時,a1不適合此等式. 所以當(dāng)b=-1時,an=2·3n-1. 當(dāng)b≠-1時,,【加固訓(xùn)練】1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-n2+3n,若an+1an+2=80,則n的值為( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】選A.因?yàn)镾n=-n2+3n,所以a1=S1=2, 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=4-2n, 因此an=4-2n(n∈N*). 又因?yàn)閍n+1an+2=80,即[4-2(n+1)][4-2(n+2)]=80, n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去).,2.(2015·重慶模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n-1.數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1-2bn=8an. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)證明:數(shù)列 為等差數(shù)列,并求{bn}的通項(xiàng)公式.,【解析】(1)當(dāng)n=1時,a1=S1=21-1=1; 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1. 因?yàn)閍1=1適合通項(xiàng)公式an=2n-1, 所以an=2n-1(n∈N*). (2)因?yàn)閎n+1-2bn=8an,所以bn+1-2bn=2n+2, 即 所以 是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列, 所以 =1+2(n-1)=2n-1, 所以bn=(2n-1)×2n.,考點(diǎn)3 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式 【典例3】(1)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1= 則an等于( ) A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n (2)設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)an+12-nan2+an+1·an =0(n=1,2,3,…)，則它的通項(xiàng)公式an=________.,【解題提示】(1)把已知轉(zhuǎn)化為 采用疊加的方法 求an. (2)把已知轉(zhuǎn)化為 采用疊乘的方法求an.,【規(guī)范解答】(1)選A.由已知， 所以 …,將以上n-1個式子疊加，得 =ln n. 所以an=2+ln n(n≥2), 經(jīng)檢驗(yàn)n=1時也適合.故選A.,(2)因?yàn)?n+1)an+12+an+1·an-nan2=0， 所以(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0, 又an+1+an0,所以(n+1)an+1-nan=0, 即 所以 所以 答案：,【規(guī)律方法】典型的遞推數(shù)列及處理方法,其中(1)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)的求解方法是：設(shè)an+1+λ=p(an+ λ)，即an+1=pan+pλ-λ，與an+1=pan+q比較即可知只要 (2)an+1=pan+q·pn+1(p≠0,1,q≠0)的求解方法是兩端同時除以pn+1， 即得 數(shù)列 為等差數(shù)列． 提醒：對于有些遞推公式要注意參數(shù)的限制條件.,【變式訓(xùn)練】根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式: (1)a1=1,an+1=3an+2. (2)a1=2,an+1=an+3n+2. 【解析】(1)因?yàn)閍n+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1),所以 所以數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,公比q=3, 又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1, 所以an=2·3n-1-1.,(2)因?yàn)閍n+1-an=3n+2, 所以an-an-1=3n-1(n≥2), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1= 當(dāng)n=1時，a1=2符合上式，所以,【加固訓(xùn)練】1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知2an-2n=Sn,則數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式an= . 【解析】令n=1得a1=2.由2an-2n=Sn①得2an+1-2n+1=Sn+1②,②-①整理得 an+1=2an+2n,即 即數(shù)列 是首項(xiàng)為1，公差為 的等差 數(shù)列，故 故an=(n+1)·2n-1． 答案：(n+1)·2n-1,2.已知數(shù)列{an}中，a1=1, 則數(shù)列{bn}的通項(xiàng) 公式bn=______． 【解析】由于an+1-2= 即bn+1=4bn+2， 又a1=1，故 所以 是首項(xiàng)為 公比為4的等比數(shù)列． 答案：,考點(diǎn)4 數(shù)列的性質(zhì) 知·考情 因?yàn)閿?shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù),所以數(shù)列也具備函數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì),因此,高考命題往往以數(shù)列作載體,用選擇題、填空題的形式考查單調(diào)性、周期性等問題.,明·角度 命題角度1：數(shù)列的單調(diào)性問題 【典例4】已知 那么數(shù)列{an}是( ) A.遞減數(shù)列 B.遞增數(shù)列 C.常數(shù)列 D.擺動數(shù)列 【解題提示】利用比較法判斷.,【規(guī)范解答】選B.因?yàn)? 所以 所以 所以an+1an,所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列. 【一題多解】解答本題，你知道幾種解法？解答本題，還有以下解法. 因?yàn)? 根據(jù)函數(shù) 為減函數(shù).知 (x＞0)為增函數(shù).即 為增函數(shù)，則an為遞增數(shù)列.,命題角度2：數(shù)列的周期性問題 【典例5】(2015·哈爾濱模擬)數(shù)列{an}滿足 則數(shù)列的第2 015項(xiàng)為______. 【解題提示】先根據(jù)已知推理得出數(shù)列的周期，再利用周期性求解.,【規(guī)范解答】因?yàn)? 所以a2=2a1-1= 所以a3=2a2= 所以a4=2a3= a5=2a4-1= a6=2a5-1= …, 所以該數(shù)列的周期T=4.而2 015=4×503+3, 所以a2 015=a3= 答案：,悟·技法 1.解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法 (1)用作差比較法,根據(jù)an+1-an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列. (2)用作商比較法，根據(jù) (an0或an0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷. (3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.,2.解決數(shù)列周期性問題的方法 先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.,通·一類 1.(2015·武漢模擬)已知數(shù)列{xn}滿足xn+3=xn,xn+2=|xn+1-xn|(n∈N*),若x1=1,x2=a(a≤1且a≠0),則數(shù)列{xn}的前2015項(xiàng)的和S2015為( ) A.671 B.670 C.1342 D.1344 【解題提示】推算出{xn}的周期,利用周期性簡化計算.,【解析】選D.由題意x1=1,x2=a,x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4 =|1-a-a|=|1-2a|,又x4=x1,所以|1-2a|=1,又因?yàn)閍≠0, 所以a=1. 所以此數(shù)列為:1,1,0,1,1,0,…,其周期為3. 所以S2015=S671×3+2=671×2+2=1344.,2.(2015·西安模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=33,an+1-an=2n,則 的最小值為( ),【解析】選B.因?yàn)閍n+1-an=2n,所以an-an-1=2(n-1), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(2n-2)+(2n-4)+…+ 2+33=n2-n+33(n≥2), 又a1=33適合上式,所以an=n2-n+33, 所以 令f(x)= 則f′(x)= 令f′(x)=0得 所以當(dāng)0x 時，f′(x)0,,當(dāng) 時，f′(x)0, 即f(x)在區(qū)間 上遞減；在區(qū)間 上遞增， 又 且 所以f(5)f(6),所以當(dāng)n=6時, 有最小值,創(chuàng)新體驗(yàn)5 數(shù)列的新定義問題 【創(chuàng)新點(diǎn)撥】 1.高考考情:以數(shù)列為背景的新定義問題是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點(diǎn),考查頻次較高. 2.命題形式:常見的有新定義、新規(guī)則等.,【新題快遞】 1.(2015·石家莊模擬)將石子擺成如圖所示的梯形形狀,稱數(shù)列5,9,14,20,…為“梯形數(shù)”.根據(jù)圖形的構(gòu)成,此數(shù)列的第2014項(xiàng)與5的差,即a2014-5=( ) A.2018×2012 B.2020×2013 C.1009×2012 D.1010×2013,【解析】選D.因?yàn)閍n-an-1=n+2(n≥2),a1=5, 所以a2014=(a2014-a2013)+(a2013-a2012)+…+(a2-a1)+a1 =2016+2015+…+4+5= =1010×2013+5, 所以a2014-5=1010×2013,故選D.,2.(2015·武漢模擬)在一個數(shù)列中,如果?n∈N*,都有anan+1an+2=k(k為常數(shù)),那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列,k叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=1,a2=2,公積為8,則a1+a2+a3+…+a12= . 【解析】依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 答案:28,3.(2015·煙臺模擬)對于E={a1，a2,…，a100}的子集X= 定義X的“特征數(shù)列”為x1,x2,…,x100,其中 其余 項(xiàng)均為0，例如:子集{a2,a3}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,…,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于 . (2)若E的子集P的“特征數(shù)列”為p1,p2,…,p100滿足p1=1,pi+pi+1=1, 1≤i≤99. E的子集Q的“特征數(shù)列”為q1,q2,…,q100滿足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1, 1≤j≤98, 則P∩Q的元素個數(shù)為 .,【解析】(1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前三項(xiàng)是1,0,1, 故和為2. (2)根據(jù)題設(shè)條件,子集P的“特征數(shù)列”是1,0,1,0,1,0,1, 0,1,0,1,0,1,… 子集Q的“特征數(shù)列”是1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,… 發(fā)現(xiàn)p1=q1=1,p7=q7=1,…,p6i-5=q6i-5=1,于是令6n-5=97, 得n=17,所以P∩Q的元素個數(shù)為17. 答案:(1)2 (2)17,【備考指導(dǎo)】 1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決數(shù)列新定義問題時,一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義,將題目所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式,切忌同已有概念或定義相混淆. 2.方法選取:對于數(shù)列新定義問題,搞清定義是關(guān)鍵,仔細(xì)認(rèn)真地從前幾項(xiàng)(特殊處、簡單處)體會題意,從而找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法.,