《指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖像與性質(zhì)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖像與性質(zhì)（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、. 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì) （一）指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 1．根式 （ 1）根式的概念 根式的概念 符號表示 備注 如果 xn a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 當(dāng) n 為奇數(shù)時 ,正數(shù)的 n 次方根是一個正數(shù) ,負(fù)數(shù)的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一個負(fù)數(shù) 當(dāng) n 為偶數(shù)時 ,正數(shù)的 n 次方根有兩個 ,它們互為相反數(shù) n a ( a 0) 負(fù)數(shù)沒有偶次方根

2、 （ 2）．兩個重要公式 a n 為奇數(shù) ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 為偶數(shù) a(a ② (n a ) n a （注意 a 必須使 n a 有意義）。 2．有理數(shù)指數(shù)冪 （ 1）冪的有關(guān)概念 m n am (a ①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 : a n 0, m、 n N ,且n 1) ;

3、 m 1 1 ②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 : a n 0, m、 n N ,且 n 1) m (a a n n am ③0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0,0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 . 注： 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的運(yùn)算。 （ 2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) ① aras=ar+s(a>0,r、 s∈ Q); ② (ar)s=ars(a>0,r、 s∈ Q); ③ (ab)r=arbs(a>0,b>0,r ∈ Q);. 3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

4、 . . y=ax a>1 00 時， y>1; (2) 當(dāng) x>0 時， 01 (3) 在（ - ，+ ）上是增函數(shù) （ 3）在（ - ， + ）上是減函數(shù) 注： 如圖所示，是指數(shù)函數(shù)（ 1） y=ax,（ 2） y=b x,（ 3） ,y=c x（

5、4） ,y=dx 的圖象，如何確 定底數(shù) a,b,c,d 與 1 之間的大小關(guān)系？ 提示：在圖中作直線 x=1 ，與它們圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值，即 c1>d1>1>a1>b1,∴ c>d>1>a>b 。即無論在軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大。 （二）對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1、對數(shù)的概念 （1）對數(shù)的定義 如果 ax N ( a 0且 a 1) ，那么數(shù) x 叫做以 a 為底， N 的對數(shù)，記作 x log aN ，其中 a 叫做對數(shù)的底數(shù)， N 叫做真

6、數(shù)。 （2）幾種常見對數(shù) 對數(shù)形式 特點(diǎn) 記法 一般對數(shù) 底數(shù)為 a a 0,且a 1 log a N 常用對數(shù) 底數(shù)為 10 lg N 自然對數(shù) 底數(shù)為 e ln N 2、對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則 （1）對數(shù)的性質(zhì)（ a 0,且a 1 ）：① log a 1 0，② l

7、og aa 1，③ alog aN N ，④ log aa N N 。 . . （2）對數(shù)的重要公式： ①換底公式： logb N loga N (a,b均為大于零且不等于 1,N 0) ； loga b ② log a b1 a 。 logb （3）對數(shù)的運(yùn)算法則： 如果 a 0,且a 1 ， M 0, N 0 那么 ① log

8、 a (MN ) log a M log a N ； ② log a M log a N ； log a M N ③ log a M n n log a M ( n R) ； ④ log m bn n log a b 。 a m 3、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a 1 0 a 1 圖 象

9、 性 （ 1）定義域：（0,+ ） 質(zhì) （ 2）值域： R （ 3）當(dāng) x=1 時， y=0 即過定點(diǎn)（ 1， 0） （ 4）當(dāng) 0 x 1時， y ( ,0) ； （ 4）當(dāng) x 1 時， y ( ,0) ； 當(dāng) x 1 時， y (0, ) 當(dāng) 0 x 時， y (0, ) 1 （ 5）在（ 0,+ ）上為增函數(shù) （ 5）在（ 0,+ ）上為減函數(shù) 注：確定圖中各函數(shù)的底數(shù) a，b， c， d 與 1 的大小關(guān)系 提示：作

10、一直線 y=1，該直線與四個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)。 ∴ 0

11、置， 而 指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置。 2、冪函數(shù)的圖象 1 注：在上圖第一象限中如何確定 y=x 3， y=x 2，y=x ， y x2 ， y=x -1 方法：可畫出 x=x 0 ； 1 當(dāng) x0>1 時，按交點(diǎn)的高低，從高到低依次為 y=x 3， y=x 2， y=x ， y x2 ， y=x -1； 1 當(dāng) 0

12、交點(diǎn)的高低，從高到低依次為 y=x -1， y x2 ， y=x ， y=x 2， y=x 3 。 3、冪函數(shù)的性質(zhì) y=xy=x 2 y=x 3 1 y=x -1 y x2 定義域 R R R [0， ） R且 x 0 x | x 值域 R [0， ） R [0， ） R且 y 0 y | y 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 x∈ [

13、0， ）時，增； 增 增 x∈ (0,+ )時，減； x∈ ( ,0] 時，減 x∈ (- ,0) 時，減 定點(diǎn) （ 1， 1） 三：例題詮釋，舉一反三 知識點(diǎn) 1：指數(shù)冪的化簡與求值 例 1.(2007 育才 A) [( 3 3) 2 2 1 1 3 (5 4)0 .5 (0.008) 3 (0.02 ) 2 (0.32) 2 ] 0.06250.25 （1）計算：8 9 ； . .

14、 4 1 2 a 3 8a 3 b 23 b a 3 a 2 (a 3 ) 2 2 a 5 a 3 a （2）化簡： 4b3 23 ab a3 變式：（ 2007 執(zhí)信 A ）化簡下列各式（其中各字母均

15、為正數(shù)） : 2 1 1 1 (a3 b 1 ) 2 a2 b3 ; （1） 6 a b5 5 1 2 1 1 2 3 1 （2） 6 a3 b ( 3a 2b ) (4a3 b )2.

16、 1 2 1.5 3 ( 7 )0 80.254 2 ( 3 2 3) 6 ( 2)3 (3) 6 3 知識點(diǎn) 2：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例 2.(2009 廣附 A) 已知實(shí)數(shù) a、b 滿足等式 ( 1 ) a ( 1 ) b ，下

17、列五個關(guān)系式： ① 0＜ b＜a;②a＜ b＜ 2 3 0;③ 0＜ a＜ b;④ b＜a＜ 0;⑤ a=b. 其中不可能成立的關(guān)系式有 （ ） A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個 變式：（ 2010 華附 A ）若直線 y 2a 與函數(shù) y | ax 1 | ( a 0 且 a 1) 的圖象有兩個公共 點(diǎn)，則 a 的取值范圍是 ______

18、_. 知識點(diǎn) 3：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 例 3.（ 2010 省實(shí) B ）已知定義域?yàn)? R 的函數(shù) f (x) 2x b 2x 1 是奇函數(shù)。 2 （Ⅰ）求 b 的值； （Ⅱ）判斷函數(shù) f x 的單調(diào)性 ;

19、 （Ⅲ）若對任意的 t R ，不等式 f ( t2 2t) f (2t 2 k ) 0 恒成立，求 k 的取值范圍． 變式：（ 2010 東莞 B ）設(shè) a＞ 0,f(x)= ex a 是 R 上的偶函數(shù) . a ex （ 1）求 a 的值； （ 2）求證： f(x) 在（ 0， +∞）上是增函數(shù) . 知識點(diǎn) 4：對數(shù)式的化簡與求值 例 4.（ 2010 云浮 A ）計算：（ 1） log 2 3 (2 3 ) （2） 2(lg 2 )2 +lg

20、 2 lg5+ (lg 2) 2 lg 2 1 ; . . （3） 1 lg 32 - 4 lg 8 +lg 245 . 2 49 3 變式：（ 2010 惠州 A ）化簡求值 . （1） log 2 7 +log 212- 1 log242-1; 48 2 （ 2） (lg2) 2+lg2 lg50+lg25; （ 3） (log 32+log 92) (log43+log 83). 知識點(diǎn) 5：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 例 5.（ 2011 深圳 A ）對于 0 a 1

21、 ，給出下列四個不等式： ① log a (1 a) log a (a 1 ② log a (1 a) log a (1 1 ) ； ); a a ③ a1 a a 1 1 ④ a1 1 1 a ; aa a ; 其中成立

22、的是（ ） （A ）①與③（ B）①與④（ C）②與③（ D）②與④ 變式：（ 2011 韶關(guān) A ）已知 0＜ a＜ 1,b＞1,ab＞ 1，則 loga 1 ,log a b,log b 1 的大小關(guān)系是 （ ） b b A.log a 1 log b 1 B. log a b 1 1 log a b b

23、 log a log b b b b C. log a b log b 1 log a 1 D. log b 1 log a 1 log a b b b b b 例 6.（ 2010 廣州 B ）已知函數(shù) f(x)=log ax(a＞ 0,a≠ 1)，如果對于任意 x∈［ 3，+∞）都有 |f(x)| ≥ 1 成立，試求

24、 a 的取值范圍 . 變式：（ 2010 廣雅 B ）已知函數(shù) f （ x）=log 2(x2-ax-a)在區(qū)間（ -∞ , 1- 3 ］上是單調(diào)遞減函 數(shù).求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 . 知識點(diǎn) 6：冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例 7.(2009 佛山 B) 已知點(diǎn) ( 2，2) 在冪函數(shù) f ( x) 的圖象上，點(diǎn) 1 ，在冪函數(shù) g (x) 的圖象

25、 ， 2 4 上．問當(dāng) x 為何值時有：（１） f ( x) g (x) ；（２） f ( x) g (x) ；（３） f (x) g (x) ． 變式：（ 2009 揭陽 B）已知冪函數(shù) f(x)=x m2 2m 3 （ m∈ Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（ 0，+∞） 上是單調(diào)減函數(shù) .（ 1）求函數(shù) f

26、(x); （ 2）討論 F（ x） =a f（ x） b 的奇偶性 . xf（ x） 四：方向預(yù)測、勝利在望 1 x 的定義域?yàn)椋? ） 1．（ A ）函數(shù) f ( x) lg x 4 A ． (1， 4) B ． [1，4) C． (－∞， 1)∪ (4，＋∞ ) D． (－∞， 1]∪ (4，＋∞ ) 2.（ A ）以下四個數(shù)中的最大者

27、是（ ） (A) (ln2) 2 (B) ln(ln2) (C) ln 2 (D) ln2 3（ B ）設(shè) a>1，函數(shù) f(x)=log a 1 , 則 a=( ) x 在區(qū)間［ a,2a］上的最大值與最小值之差為 2 (A) 2 （ B） 2 （ C） 2 2 （ D） 4 4.（ A ）已知 f (x) 是周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng) 0 x 1 時， f ( x) lg x. 設(shè) .

28、 . a 6 3 5 f ( ), b f ( ), c f ( ), 則（ ） 5 2 2 （ A ） a b c （ B） b a c （ C） c b a （ D） c a b 5.（ B

29、）設(shè) f(x)= 2ex 1 , x 2, 則不等式 f(x)>2 的解集為（ ） log 3 ( x2 1), x 2, (A) （ 1， 2） （ 3， +∞） (B) （ 10 ，+∞） (C)（ 1，2） （ 10 ， +∞） (D) （ 1， 2） 6．（ A ）設(shè) P log 2 3， Q log 3 2 ， R

30、log2 (log 3 2) ，則（ ） Ａ． R Q P Ｂ． P R Q Ｃ． Q R P Ｄ． R P Q 7． (A) 已知 log 1 b log 1 a log 1 c ，則 ( ) 2 2 2 A ． 2b 2a 2c B． 2a 2b 2c C． 2c 2b 2a D ． 2c 2a 2b

31、 8．（ B）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是區(qū)間 1,1 上單調(diào)遞減的是（ ） （ A ） f ( x) sin x (B) f ( x) x 1 (C) f (x) 1 (ax a x ) (D) f (x) ln 2 x 2 2 x 9.（ A ）函數(shù) y log 1 (3x 2) 的定義域是：（ ）

32、 2 A [1, ) B ( 32 , ) C [ 32 ,1] D ( 32 ,1] 10.(A) 已知函數(shù) y log 1 x與y kx 的圖象有公共點(diǎn) A，且點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 2，則 k （ ） 4 A ． 1 B ． 1 C．

33、 1 D ． 1 4 4 2 2 11．（ B ）若函數(shù) f (x) a x b 1( a 0且 a 1)的圖象經(jīng)過第二 、三、四象限，則一定 有（ ） A ． 0 a 1且 b 0 B． a 1且 b 0

34、 C． 0 a 1且b 0 D． a 1且 b 0 [a, 2a] ． (B) 若函數(shù) f (x) log a x(0 a 1) 在區(qū)間 上的最大值是最小值的 3 倍，則 a= 12 （ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1

35、 4 2 4 2 13.(A) 已知 0＜ x＜ y＜ a＜ 1，則有（ ） （ A ） log a ( xy) 0 （ B） 0 log a ( xy) 1 （ C） 1 log a (xy ) 2 （ D ） log a ( xy) 2 14.（ A ）

36、已知 f ( x 6 ) log 2 x ，那么 f (8) 等于（ ） （ A ） 4 （ B） 8 （ C） 18 （ D） 1 3 2 15．（ B ）函數(shù) y＝ lg|x| （ ） A ．是偶函數(shù)，在區(qū)間 (－∞，0

37、) 上單調(diào)遞增 B ．是偶函數(shù)，在區(qū)間 (－ ∞，0)上單調(diào)遞減 C．是奇函數(shù)，在區(qū)間 (0，＋ ∞)上單調(diào)遞增 D ．是奇函數(shù)，在區(qū)間 (0，＋ ∞)上單調(diào)遞減 16.（ A ）函數(shù) y lg( 4 x ) ____________________________. x 3 的定義域是 17．（ B ）函數(shù) y a1 x (a 0， a 1) 的圖象恒過定點(diǎn) A ，

38、若點(diǎn) A 在直線 . . 1 1 ． mx ny 1 0(mn 0) 上，則 的最小值為 m n ex , x 0. 1 18．（ A ）設(shè) g( x) 則 g ( g( )) __________ lnx, x 0. 2 19．（ B ）若函數(shù) f(x) = 2 x2 2 ax a 1 的定義域?yàn)? R，則 a 的取值范圍為 ___________. 20． (B) 若函數(shù) f (x) loga ( x

39、x 2 2a2 ) 是奇函數(shù)，則 a= ． 21.(B) 已知函數(shù) f ( x) 1 1 x ，求函數(shù) f ( x) 的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào) x log 2 1 x 性. 參考答案： 三：例題詮釋，舉一反三 例 1. 解：（1） 2 ，（ 2） a2 9 1 3 1 3 5 ab . b 3 (a3b 2 ) 5 a 2 b 2 5 1 (3)110 4 變式：解：（ 1） 1, （32） 4ab 2

40、 4 ab 例 2. 解： B 變式：解： (0, 1 ) ； 2 例 3. 解：（Ⅰ） b 1 （Ⅱ）減函數(shù)。 1 （Ⅲ） k 3 變式：解：（ 1） a=1.（ 2）略 7 12 4842 2  例 4. 解：（1） -1. （ 2） 1. （ 3） 1 .

41、 2 1 3 (1) 3 （2） 2. （3） 5 2 . log 2 變式：解： 2 log 2 2 2 4 2 例 5. 解： 選 D 。變式：解： C 例 6. 解： (1， 3］∪［ 1 ， 1） 3 變式：解： {a|2-2 3 ≤ a＜2} 例 7. 解：（1）當(dāng) x 1 或 x 1 時， f ( x) g( x) ； （ 2）當(dāng) x

42、1 時， f (x) g( x) ； （ 3）當(dāng) 1 x 1且 x 0 時， f ( x) g( x) ． 變式：解：（ 1） f(x)=x -4. （ 2） F（ x） a 3 ∴ F（ -x） = a 3. = 2 bx ， x 2 +bx x ①當(dāng) a≠0，且 b≠ 0 時， F（ x）為非奇非偶函數(shù)； ②當(dāng) a=0,b≠ 0 時， F（ x）為奇函數(shù)； . . ③當(dāng) a≠0

43、,b=0 時， F（ x）為偶函數(shù)； ④當(dāng) a=0,b=0 時， F（ x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) . 四：方向預(yù)測、勝利在望 1—5 ADDDC ； 6— 10 AADDA ； 11— 15 CADDB. 16. (- , 3) (3,4) 17. 4 18. 1 19.[-1,0] 20. 2 2 2 x 0 , 1 x 01 x 1, 21． [解 ]x 須滿足 1 x 由 得

44、1 x 0 1 x 所以函數(shù) f ( x) 因?yàn)楹瘮?shù) f ( x)  的定義域?yàn)椋ǎ?1， 0）∪（ 0，1） . 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且對定義域內(nèi)的任意 x，有 f ( x) 1 log 2 1 x ( 1 log 2 1 x) f (x) ，所以 f ( x) 是奇函數(shù) . x 1 x x 1 x 研究 f ( x) 在（ 0，1）內(nèi)的單調(diào)性，任取 x1、 x2∈（ 0，1），且設(shè) x1

45、x1 ) 1 log 2 1 x1 1 1 x2 f (x2 ) 1 x1 x2 log 2 x2 x1 1 ( 1 1 ) [log 2 ( 2 1) log 2 ( 2 1)], 由 1 x1 x2 1 x2 1 x1 1 0, log2 ( 2 1) log 2 ( 2 1) 0, x1 x2 1 x2 1 x1 得 f ( x1 ) f ( x2 ) >0，即 f ( x) 在（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞減， 由于 f ( x) 是奇函數(shù)，所以 f ( x) 在（－ 1， 0）內(nèi)單調(diào)遞減 . .