高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3-2 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課件 理.ppt
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第2講 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,考試要求 1.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,A級(jí)要求;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次),B級(jí)要求;3.函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件,A級(jí)要求;4.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值,閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次),B級(jí)要求.,知 識(shí) 梳 理 1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系 函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則 (1)若f′(x)0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) . (2)若f′(x)0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) . (3)若f′(x)=0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是 .,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,常數(shù)函數(shù),2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),f′(x)0,f′(x)0,f′(x)0,f′(x)0,3. 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)f(x)在[a,b]上有最值的條件 如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條 的曲線,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步驟 ①求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的 . ②將函數(shù)y=f(x)的各極值與 比較,其中最大的一個(gè)是最大值, 的一個(gè)是最小值.,連續(xù)不斷,極值,端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b),最小,診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)中打“√”或“×”) (1)f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充要條件. ( ) (2)函數(shù)的極大值不一定比極小值大. ( ) (3)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f′(x0)=0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件. ( ) (4)函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值. ( ),×,√,×,√,2.(2015·北京海淀區(qū)模擬)函數(shù)f(x)=x2-2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是________. 答案 (0,1),3.(蘇教版選修2-2P34T8(2)改編)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是________. 解析 ∵f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,得x=0或x=2. ∴f(x)在[-1,0)上是增函數(shù),f(x)在(0,1]上是減函數(shù). ∴f(x)max=f(x)極大值=f(0)=2. 答案 2,4.如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象,則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 解析 由題意知在x=-1處f′(-1)=0,且其左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)左負(fù)右正. 答案 1,5.(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷改編)若函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是________. 答案 [1,+∞),考點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 【例1】 已知f(x)=ln x-ax. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的范圍.,規(guī)律方法 (1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào),當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí),需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減),求參數(shù)范圍問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題,從而構(gòu)建不等式,要注意“=”是否可以取到.,考點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 【例2】 (2013·重慶卷)設(shè)f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6). (1)確定a的值; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.,規(guī)律方法 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的一般步驟:(1)確定定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);(3)①若求極值,則先求方程f′(x)=0的根,再檢驗(yàn)f′(x)在方程根左右側(cè)值的符號(hào),求出極值(當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類討論根是否在定義域內(nèi));②若已知極值大小或存在情況,則轉(zhuǎn)化為已知方程f′(x)=0根的大小或存在情況,從而求解.,【訓(xùn)練2】 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-2x2+x+c(a>0). (1)當(dāng)a=1,且函數(shù)圖象過(guò)(0,1)時(shí),求函數(shù)的極小值; (2)若f(x)在R上無(wú)極值點(diǎn),求a的取值范圍.,規(guī)律方法 (1)不含參數(shù)求f(x)在[a,b]上的最值時(shí),只需把f(x)的極值與端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較.其中最大的是最大值,最小的是最小值.(2)含參數(shù)時(shí),應(yīng)注意討論f(x)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性,進(jìn)而求最值.,【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值. 解 (1)由題意知f′(x)=(x-k+1)ex. 令f′(x)=0,得x=k-1. 當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f′(x)的變化情況如下: 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+∞).,(2)當(dāng)k-1≤0,即k≤1時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增, 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k; 當(dāng)0<k-1<1,即1<k<2時(shí), f(x)在[0,k-1)上單調(diào)遞減,在(k-1,1]上單調(diào)遞增, 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1; 當(dāng)k-1≥1,即k≥2時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減, 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e. 綜上,當(dāng)k≤1時(shí),f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)=-k; 當(dāng)1<k<2時(shí),f(x)在[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1; 當(dāng)k≥2時(shí),f(x)在[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.,[思想方法] 1.最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系 (1)“最值”是整體概念,是比較整個(gè)定義域或區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值得出的,具有絕對(duì)性;而“極值”是個(gè)局部概念,是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的,具有相對(duì)性. (2)從個(gè)數(shù)上看,一個(gè)函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的,而極值不唯一. (3)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè),而函數(shù)的極值可能不止一個(gè),也可能一個(gè)也沒(méi)有.,2.求極值、最值時(shí),要求步驟規(guī)范;含參數(shù)時(shí),要按一定標(biāo)準(zhǔn)討論參數(shù). 3.在實(shí)際問(wèn)題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較.,[易錯(cuò)防范] 1.注意定義域優(yōu)先的原則,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行. 2.求函數(shù)最值時(shí),不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn),要通過(guò)認(rèn)真比較才能下結(jié)論. 3.解題時(shí)要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問(wèn)題,f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略,否則漏解.,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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