高考數(shù)學一輪復習 6-6 直接證明與間接證明課件 文.ppt
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第六節(jié) 直接證明與間接證明,最新考綱展示 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點. 2.了解間接證明的一種基本方法——反證法;了解反證法的思考過程、特點.,一、直接證明,二、間接證明 假設原命題 (即在原命題的條件下,結論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出 ,因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫反證法.,不成立,矛盾,1.綜合法與分析法是直接證明的兩種基本方法,綜合法的特點是從已知看可知,逐步推出未知.在使用綜合法證明時,易出現(xiàn)的錯誤是因果關系不明確,邏輯表達混亂.分析法是從未知看須知,逐步靠攏已知.當命題的條件與結論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,證明中需要用哪些知識不太明確具體時,往往采用從結論出發(fā),結合已知條件,逐步反推,尋求使當前命題成立的充分條件,把證明轉化為判定這些條件是否具備的問題.,2.應用反證法證題時必須先否定結論,把結論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進行推理,否則,僅否定結論,不從結論的反面出發(fā)進行推理,就不是反證法.所謂矛盾主要是指: (1)與已知條件矛盾. (2)與假設矛盾. (3)與定義、公理、定理矛盾. (4)與公認的簡單事實矛盾. (5)自相矛盾.,一、直接證明 1.命題“對于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的證明過程:“cos4 θ-sin4 θ=(cos2 θ-sin2 θ)(cos2 θ+sin2 θ)=cos2 θ-sin2 θ=cos 2θ”,此過程應用了( ) A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法 解析:結合推理及分析法和綜合法的定義可知,B正確. 答案:B,解析:a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0. 答案:D,二、間接證明 3.(2014年東營模擬)用反證法證明命題“若a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個能被5整除”時,假設的內(nèi)容應該是( ) A.a(chǎn),b都能被5整除 B.a(chǎn),b都不能被5整除 C.a(chǎn),b不都能被5整除 D.a(chǎn)能被5整除 解析:至少有一個的反面應是一個都沒有. 答案:B,答案:C,綜合法的應用(師生共研),解析 (1)證明:取x1=x2=0,則x1+x2=0≤1, ∴f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0. 又對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0, ∴f(0)≥0.于是f(0)=0. (2)對于f(x)=2x,x∈[0,1],f(1)=2不滿足新定義中的條件②, ∴f(x)=2x,(x∈[0,1])不是理想函數(shù). 對于f(x)=x2,x∈[0,1],顯然f(x)≥0,且f(1)=1. 任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1, f(x1+x2)-f(x1)-f(x2) =(x1+x2)2-x-x=2x1x2≥0, 即f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2).,規(guī)律方法 用綜合法證題是從已知條件出發(fā),逐步推向結論,綜合法的適用范圍: (1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調性、奇偶性,求證無條件的等式或不等式. (2)已知條件明確,并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結論的題型.在使用綜合法證明時,易出現(xiàn)的錯誤是因果關系不明確,邏輯表達混亂.,1.定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=A,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù),證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”. 證明:∵點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上, ∴an+1=2a+2an, ∴2an+1+1=4a+4an+1=(2an+1)2, ∴{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.,證明 ∵m>0,∴1+m>0. 所以要證原不等式成立, 只需證(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即證m(a2-2ab+b2)≥0, 即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立, 故原不等式得證.,分析法的應用(師生共研),規(guī)律方法 分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”,即從“未知”看“須知”,逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質或已經(jīng)證明成立的結論等,運用分析法必須考慮條件的必要性是否成立.通常采用“欲證——只需證——已知”的格式,在表達中要注意敘述形式的規(guī)范.,例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.,反證法的應用(師生共研),規(guī)律方法 (1)當一個命題的結論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時,可用反證法來證,反證法關鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,與假設矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實矛盾等. (2)用反證法證明不等式要把握三點: ①必須否定結論. ②必須從否定結論進行推理. ③推導出的矛盾必須是明顯的.,3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,若a,b,c三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證:∠Ba,bc.,- 配套講稿:
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