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第二節(jié) 直線與圓的位置關系,最新考綱展示 1．會證明并應用圓周角定理、圓的切線的判定定理與性質(zhì)定理． 2.會證明并應用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理． 3.了解平行射影的含義，會證明平面與圓柱面的截面是橢圓(特殊情形是圓)．,一、圓周角定理與圓心角定理 1．圓周角定理及其推論 (1)定理：圓上一條弧所對的 等于它所對的 的一半． (2)推論：①推論1： 所對的圓周角相等；同圓或_____中，相等的圓周角所對的 也相等． ②推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是 ；90°的圓周角所對的弦是 ． 2．圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于 ．,圓周角,圓心角,同弧或等弧,等圓,直角,直徑,它所對弧的度數(shù),弧,二、弦切角的性質(zhì) 弦切角定理：弦切角等于它 所對的圓周角． 三、圓的切線的性質(zhì)及判定定理 1．定理：圓的切線 經(jīng)過 的半徑． 2．推論：(1)推論1：經(jīng)過 且垂直于切線的直線必經(jīng)過 ． (2)推論2：經(jīng)過 且垂直于切線的直線必經(jīng)過 ．,所夾的弧,垂直于,切點,圓心,切點,切點,圓心,四、與圓有關的比例線段,五、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 1．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 (1)定理1：圓內(nèi)接四邊形的對角 ． (2)定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的 ． 2．圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論 (1)判定定理：如果一個四邊形的對角 ，那么這個四邊形的四個頂點 ． (2)推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的 ，那么這個四邊形的四個頂點 ．,互補,內(nèi)角的對角,互補,共圓,對角,共圓,1．應用相交弦定理、切割線定理要抓住以下幾個關鍵內(nèi)容：線段成比例與相似三角形的性質(zhì)、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關的相似三角形等． 2．相交弦定理為圓中證明等積式和有關計算提供了有力的方法和工具，應用時一方面要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征，另一方面在與定理相關的圖形不完整時，要用輔助線補齊相應部分．在實際應用中，見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理；見到兩條割線就要想到割線定理；見到切線和割線時就要想到切割線定理．,一、與圓有關角的定理及圓的切線定理 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)．( ) (2)經(jīng)過切點且垂直于切線的直線不一定經(jīng)過圓心．( ) 答案：(1)√ (2)×,答案：50°,,二、與圓有關的比例線段,,4.如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為________．,,解析：連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案：6.4,(2)如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點．AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，∠DAB＝80°，則∠ACO＝________.,圓周角、弦切角和圓的切線問題(自主探究),(1)題圖 (2)題圖 (3)題圖,,,,,,(3)由題易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°， 所以△BCD∽△ACB，所以BC∶AC＝CD∶CB， 又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.,規(guī)律方法 (1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角．,考情分析 與圓有關的比例線段是歷年高考考查的熱點，側(cè)重于求線段的長度，解決問題的關鍵是靈活運用相交弦定理、切割線定理、割線定理求解．,與圓有關的比例線段(高頻研析),,解析：由相交弦定理得AP·PB＝DP·PC，,,角度二 切割線定理的應用 2．(2014年高考重慶卷)過圓外一點P作圓的切線PA(A為切點)，再作割線PBC依次交圓于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，則AB＝________.,答案：4,角度三 割線定理 3.如圖所示，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑r＝________.,,解析：設⊙O的半徑為r(r0)， ∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.,,規(guī)律方法 (1)應用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關的相似三角形等． (2)相交弦定理、切割線定理主要用于與圓有關的比例線段的計算與證明．解決問題時要注意相似三角形知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關知識的綜合應用．,例2 如圖所示，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B，C兩點，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點． (1)證明：A，P，O，M四點共圓； (2)求∠OAM＋∠APM的大?。?四點共圓的證明(師生共研),,解析 (1)證明：如圖所示，連接OP，OM. 因為AP與⊙O相切于點P，所以OP⊥AP. 因為M是⊙O的弦BC的中點，所以OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由于圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A，P，O，M四點共圓． (2)由(1)得A，P，O，M四點共圓，所以∠OAM＝∠OPM. 由(1)得OP⊥AP.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.,,規(guī)律方法 證明四點共圓的常用方法： (1)利用圓內(nèi)接四邊形的判定定理，證明四點組成的四邊形的對角互補． (2)證明它的一個外角等于它的內(nèi)對角． (3)證明四點到同一點的距離相等． 當證明四點共圓以后，圓的各種性質(zhì)都可以得到應用．,(1)P，D，C，E四點共圓； (2)AP⊥CP.,,,