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1、 平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中最常用的統(tǒng)計量，用來表明資料中各觀測值相對集中較多的中心位置。平均數(shù)主要包括有： 算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean） 中位數(shù)（median） 眾數(shù)（mode） 幾何平均數(shù)（geometric mean） 調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean） 一、算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測值的總和除以觀測值個數(shù)所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)，記為。 算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計算。 (一)直接法 主要用于樣本含量n30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計算。 設(shè)某一資料包含n個觀測值： x1、x2、xn， 則樣本平均數(shù)可通過下式計算： 其中，為總和符號

2、； 表示從第一個觀測值x 1累加到第n個觀測值xn。當(dāng) 在意義上已明確時，可簡寫為x，（3-1）式可改寫為： nxn xxxx ni in 121 ni ix1nxx 【例3.1】 某種公牛站測得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數(shù)。 由于 x=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 =5285， n=10 得： 即10頭種公牛平均體重為528.5 kg。 （二）加權(quán)法 對于樣本含量 n30 以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計算平均數(shù)，計算公式為：

3、 .5(kg)528105285 nxx ffxfxffff xfxfxfx ki iki iik kk 1121 2211 式中： 第i組的組中值； 第i組的次數(shù)； 分組數(shù) 第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將fi 稱為是xi的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。 【例3.2】 將100頭長白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。ixifk 表31 100頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表 利用（32）式得： 即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。 計算若干個來自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時，如果樣本含量不等，

4、也應(yīng)采用加權(quán)法計算。 )(2.451004520 kgffxx 【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500頭，其平均體重為750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725 kg，如果將這兩個牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？ 此例兩個牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計算兩個牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即 即兩個牛群混合后平均體重為738.89 kg。 （三）平均數(shù)的基本性質(zhì) 1、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。 或簡寫成)(89.7382700 12007251500750 kgffxx 0)( 1

5、xxni i 0)( xx 2、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。 (xi- )2 (xi- a)2 （常數(shù)a ） 或簡寫為： 幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù) 上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。 一、標準差的意義 用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對一個資料的特征作統(tǒng)計描述是不全面的，還需引入一個表示資料中觀測值變異程度大小的統(tǒng)計量。 全距（極差）是表示資料中各觀測值變異程度大小最簡便的統(tǒng)計量。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準確表達資料中各觀測值的變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對資料的變異程度作出

6、判斷時，可以利用全距這個統(tǒng)計量。 為 了 準 確 地 表示樣本內(nèi)各個觀測值的變異程度 ，人們 首 先會考慮到以平均數(shù)為標準，求出各個觀測值與平均數(shù)的離差，（ ） ，稱為離均差。 雖然離均差能表示一個觀測值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因為離均差有正、有負 ，離均差之和 為零，即（ ） = 0 ，因 而 不 能 用離均差之和（ ）來 表 示 資料中所有觀測值的總偏離程度。 xx xx xx 為了解決離均差有正 、有負，離均差之和為零的問 題 ， 可先求 離 均 差的絕 對 值 并 將 各 離 均 差 絕對 值 之 和 除以 觀 測 值 個 數(shù) n 求 得 平 均 絕 對 離差，即| |/n。雖然平均

7、絕對離差可以表示資料中各觀測值的變異程度 ，但由于平均絕對離差包含絕對值符號 ，使用很不方便，在統(tǒng)計學(xué)中未被采用。xx 我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負，離均差之和為零的問題。 先將各 個離 均差平方，即 ( )2 ，再求 離均差平方和 ， 即 ，簡稱平方和，記為SS； 由 于 離差平方和 常 隨 樣 本 大 小 而 改 變 ，為 了 消 除 樣 本大小 的 影 響 ， 用平方和 除 以 樣 本 大 小， 即 ，求出離均差平方和的平均數(shù) ；xx2)( xx nxx /)( 2 為了使所得的統(tǒng)計量是相應(yīng)總體參數(shù)的無 偏估計量，統(tǒng)計學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時，分母不用

8、樣本含量n，而用自由度 n-1， 于是，我們 采 用統(tǒng)計量 表示資料的變異程度。 統(tǒng)計量 稱 為 均 方 （ mean square縮寫為MS）,又稱樣本方差，記為S 2，即 S2= 1/)( 2 nxx 1/)( 2 nxx 1/)( 2 nxx 相應(yīng)的總體參數(shù)叫 總體方差 ，記為2。對于有限總體而言，2的計算公式為： Nxx /)( 22 由于 樣本方差 帶有原觀測單位的 平方單位，在僅表示一個資料中各觀測值的變異程度而不作其它分析時 ， 常需要與平均數(shù)配合使用 ，這 時應(yīng) 將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計學(xué)上把樣本方差 S2 的平方根叫做樣本標準 差，記為S，即： 1 )(

9、 2 n xxS 由于 所以上式可改寫為： )2()( 222 xxxxxx 22 2 xnxxx 222 )()(2 nxnnxx nxx 2 2 )( 1 2)(2 nxS nx 相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標準差，記為。對于有限總體而言，的計算公式為： 在統(tǒng)計學(xué)中，常用樣本標準差S估計總體標準差。 Nx /)( 2 二、標準差的計算方法 （一）直接法 對于未分組或小樣本資料 ， 可直接利用（311）或（3-12）式來計算標準差。 【例3.9】 計算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的標準差。 此例

10、n=10，經(jīng)計算得：x=5400，x2=2955000，代入（312）式得： 即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的 標準差 為65.828g。828.65110 10/540029550001 /)( 222 n nxxS （二）加權(quán)法 對于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計算標準差。計算公式為： 式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；f = n為總次數(shù)。 1 /)(1)( 222 f ffxfxf xxfS 【例3.10】 利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見表3-4）計算標準差。 將表3-4中的f、fx、 代入（314）式得： 即某 純 系 蛋 雞200枚 蛋 重

11、的標準差為3.5524g。5524.31200 200/1.1070511.5755071 /)( 222 f ffxfxS 2fx 表34 某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布 及標準差計算表 三、標準差的特性 （一）標準差的大小，受資料中每個觀測值的影響，如觀測值間變異大，求得的標準差也大，反之則小。 （二）在計算標準差時，在各觀測值加上或減去一個常數(shù)，其數(shù)值不變。 （三）當(dāng)每個觀測值乘以或除以一個常數(shù)a，則所得的標準差是原來標準差的a倍或1/a倍。 （四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測值在平均數(shù)左右一倍標準差（ S）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀測值在平均數(shù)左右兩倍

12、標準差（ 2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測值在平均數(shù)左右三倍標準差（ 3S） 范 圍內(nèi)。也就是說全距近似地等于6倍標準差，可用（全距/6）來粗略估計標準差。 x xx 變異系數(shù)是衡量資料中各觀測值變異 程度的另一個統(tǒng)計量 。 標 準差與平均數(shù)的比值稱為 變異系數(shù)，記為CV。 變異系數(shù)可以消除單位 和 （或）平 均數(shù)不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響。 變異系數(shù)的計算公式為： 【例3.11】 已知某良種豬場長白成年母豬平均體重為 190kg， 標準差為10.5kg，而大約克成年母豬平均體重為196kg，標準差為8.5kg，試問兩個品種的成年母豬，那一個體重變異程度大。 %100 xSVC 由于，長白成年母豬體重的變異系數(shù)： 大約克成年母豬體重的變異系數(shù)： 所以，長白成年母豬體重的變異程度大于大約克成年母豬。 %53.5%1001905.10 VC %34.4%1001965.8 VC 注意，變異系數(shù)的大小，同時受平均數(shù)和標準差兩個統(tǒng)計量的影響，因而在利用變異系數(shù)表示資料的變異程度時，最好將平均數(shù)和標準差也列出。