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專題一,,第 四講,,,,,思想方法概述,應(yīng)用角度例析,通法歸納領(lǐng)悟,專題專項(xiàng)訓(xùn)練,,角度一,角度二,角度三,角度四,1．轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法．一般是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題． 2．轉(zhuǎn)化與化歸的常見(jiàn)方法 (1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題．,(2)換元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題． (3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過(guò)互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑． (4)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)問(wèn)題，以達(dá)到化歸的目的． (5)特殊化方法：把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問(wèn)題的結(jié)論適合原問(wèn)題． (6)構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題．,(7)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問(wèn)題是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑． (8)類比法：運(yùn)用類比推理，猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論，易于探求． (9)參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題進(jìn)行 解決． (10)補(bǔ)集法：如果正面解決原問(wèn)題有困難，可把原問(wèn)題的結(jié)果看作集合A，而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn)題的結(jié)果類比為全集U，通過(guò)解決全集U及補(bǔ)集?UA使原問(wèn)題獲得解決，體現(xiàn)了正難則反的原則．,一般與特殊的轉(zhuǎn)化,(1)有些數(shù)學(xué)題具有一般性，有的具有特殊性.解題時(shí)，有時(shí)需要把一般問(wèn)題化為特殊問(wèn)題，有時(shí)需要把特殊問(wèn)題化為一般問(wèn)題.其模式是：首先假設(shè)使問(wèn)題特殊(或一般)化，降低難度，然后再解這個(gè)特殊(或一般)性的問(wèn)題，從而使原問(wèn)題獲解. (2)本例是用特殊法求解，簡(jiǎn)單、迅速，當(dāng)選擇題或填空題的結(jié)論唯一或其值為定值時(shí)，我們只要把題中的參變量用特殊值代替，即一般化為特殊，即可得到結(jié)論.,,1．(2012·江西高考)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1. 若a1＝1，則對(duì)任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，則S5＝________.,答案：11,答案：1,[例2] (1)(2012·青島模擬)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2＋y2＋ xy＝1，則2x＋y的最大值是________． (2)若關(guān)于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [思路點(diǎn)撥] (1)可利用不等式將方程轉(zhuǎn)化為只含2x＋y的不等式求解，但要注意取等號(hào)的充要條件． (2)可采用換元法，令t＝3x，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有正解進(jìn)行解決．,等與不等的轉(zhuǎn)化,等與不等是數(shù)學(xué)解題中矛盾的兩個(gè)方面，但是它們?cè)谝欢ǖ臈l件下可以相互轉(zhuǎn)化，例如本例，表面看來(lái)似乎只具有相等的數(shù)量關(guān)系，且根據(jù)這些相等關(guān)系很難解決，但是通過(guò)挖掘其中的不等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式(組)來(lái)求解，則顯得非常簡(jiǎn)捷有效.,,[例3] (2012·北京高考)已知f(x)＝m(x－2m)·(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若?x∈R，f(x)0或g(x)0，則m的取值范圍是________． [思路點(diǎn)撥] 根據(jù)題意，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)0的解集的補(bǔ)集是f(x)0的解集的子集求解． [解析] 由題易知當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，故要使對(duì)?x∈R，f(x)0或g(x)0，只需在x≥1時(shí)，f(x)0恒成立即可．,正向與逆向的轉(zhuǎn)化,①當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)0時(shí)，f(x)0， 因?yàn)閤≥1，－2m0，所以x－2m0， 于是不等式轉(zhuǎn)化為m－x－3， 又x≥1時(shí)，－x－3≤－4， 所以要使m－x－3在x≥1時(shí)恒成立，只需m－4， 故－4m0. 綜上，－4m0. [答案] (－4,0),正難則反，利用補(bǔ)集求得其解，這就是補(bǔ)集思想，一種充分體現(xiàn)對(duì)立統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的思想方法.一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，從反面考慮較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”情形的問(wèn)題中.,,4．由命題“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命題，得m的取值 范圍是(－∞，a)，則實(shí)數(shù)a的取值是 ( ) A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．1 D．2 解析：選 命題“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命題，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m0”是真命題，可得m的取值范圍是(－∞，1)，而(－∞，a)與(－∞，1)為 同一區(qū)間，故a＝1.,C,5．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p－1.在區(qū)間[－1,1] 內(nèi)至少存在一個(gè)值c，使得f(c)0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________．,[例4] 對(duì)于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p，使不等式x2＋px 4x＋p－3成立的x的取值范圍是________． [思路點(diǎn)撥] 本題若按常規(guī)法視x為主元來(lái)解，需要分類討論，這樣會(huì)很繁瑣，若以p為主元，即可將原問(wèn)題化歸為在區(qū)間[0,4]上，一次函數(shù)f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋30成立的 x的取值范圍．這樣，借助一次函數(shù)的單調(diào)性就很容易使問(wèn)題得以解決．,常量與變量的轉(zhuǎn)化,[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞),在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù))，將其看做是“主元”，而把其它變?cè)醋鍪浅Ａ浚瑥亩_(dá)到減少變?cè)?jiǎn)化運(yùn)算的目的.,,6．設(shè)f(x)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，若f(1－ax－x2)≤f(2－a) 對(duì)任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范圍．,“化歸與轉(zhuǎn)化”還有“數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn) 化”等，應(yīng)用時(shí)還應(yīng)遵循以下五條原則： 1．熟悉化原則 將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于運(yùn)用熟知的知識(shí) 和經(jīng)驗(yàn)來(lái)解答問(wèn)題． 2．簡(jiǎn)單化原則 將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)．,3．和諧化原則 轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律． 4．直觀化原則 將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決．,5．正難則反原則 當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲得解決，或證明問(wèn)題的可能性． 總之，化歸與轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，掌握好化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法的特點(diǎn)、題型、方法、要素、原則對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常有幫助的．,