,第4節(jié) 雙曲線,,基 礎(chǔ) 梳 理,1．雙曲線的定義 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的____________等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的_____，兩焦點間的距離叫做雙曲線的_____．,差的絕對值,焦點,焦距,質(zhì)疑探究1：與兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a的動點的軌跡一定為雙曲線嗎？ 提示：只有當(dāng)0＜2a＜|F1F2|時，動點的軌跡才是雙曲線，當(dāng)2a＝0時，動點的軌跡是線段F1F2的中垂線；當(dāng)2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線；當(dāng)2a＞|F1F2|時，動點的軌跡不存在．,2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),x軸、y軸,坐標(biāo)原點,(－a,0),(a,0),(0，－a),(0，a),(1，＋∞),實軸,2a,虛軸,2b,質(zhì)疑探究2：Ax2＋By2＝1表示雙曲線的條件是什么？ 提示：若A＞0，B＜0表示焦點在x軸上的雙曲線；若A＜0，B＞0表示焦點在y軸上的雙曲線，當(dāng)上述兩種條件都不滿足時，不表示雙曲線，所以Ax2＋By2＝1表示雙曲線的條件是AB＜0. 質(zhì)疑探究3：雙曲線離心率的大小與雙曲線“開口”大小有怎樣的關(guān)系？ 提示：離心率越大，雙曲線開口越大．,3．等軸雙曲線的定義及性質(zhì) _____和_____等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，離心率e＝____.漸近線方程為_________.它們互相______，并且______實軸和虛軸所成的角．,實軸,虛軸,y＝±x,垂直,平分,解析：由方程表示雙曲線可知(k－3)(k－5)＜0， 解得3＜k＜5. 故選B. 答案：B,解析：可求得a2＝4， ∴||PF1|－|PF2||＝2a＝4， 即|3－|PF2||＝4， ∴|PF2|＝7. 故選C. 答案：C,4．與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程為________．,,考 點 突 破,雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,[思維導(dǎo)引] (1)利用雙曲線定義表示出△ABF1的周長，進而求出|AB|.(2)根據(jù)定義確定曲線C2為雙曲線且與橢圓共焦點，求出a、b.寫出方程．,[解] (1)由雙曲線方程得a＝4. 由雙曲線定義得|AF1|－|AF2|＝8， ① |BF1|－|BF2|＝8， ② ①＋②得 |AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝16， 即|AF1|＋|BF1|－|AB|＝16. 所以△ABF1的周長為 |AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16＋2|AB|＝40， 解得|AB|＝12，故選B.,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法． (1)若已知雙曲線的焦點位置可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)a、b、c、e及漸近線之間的關(guān)系，求出a、b的值． (2)若不能確定焦點位置，則可設(shè)雙曲線方程為Ax2＋By2＝1(AB0)，根據(jù)條件求出A、B.,雙曲線的幾何性質(zhì),,(1)求雙曲線的離心率即是求c與a的比值，只需根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，c的方程或不等式即可解決，并且需注意e＞1.,雙曲線的綜合應(yīng)用,[思維導(dǎo)引] (1)根據(jù)題意確定a，b寫出方程． (2)將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立、消元，得到二次方程恒有兩個不同解，結(jié)合題給的條件得到關(guān)于k的不等式求出k的取值范圍．,(1)直線與雙曲線的位置關(guān)系 判斷直線l：Ax＋By＋C＝0與雙曲線E：F(x，y)＝0的位置關(guān)系時，,②判斷：,(2)解決與雙曲線有關(guān)的參數(shù)的取值范圍或最值問題的常用方法： ①利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式(組)，通過解不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍； ②建立目標(biāo)函數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域． (3)解決直線與雙曲線相交問題時，若涉及弦的中點或斜率，一般用點差法求解．要注意驗證求得的結(jié)果是否符合題意．,即時突破3 直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A、B. (1)求實數(shù)k的取值范圍； (2)是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．,分析：設(shè)出直線方程，把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立成方程組，消元后利用中點坐標(biāo)構(gòu)造方程求k，最后檢驗判別式是否大于0.,易錯提醒：該題易出現(xiàn)的問題有兩個方面，一是利用點斜式方程時，漏掉斜率不存在時的討論；二是利用中點坐標(biāo)構(gòu)造方程求出斜率k之后忽視對判別式的驗證而誤認為該直線存在．,