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1、1.2 隨 機 事 件太 原 理 工 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) 學(xué) 院 1.2.1 隨 機 試 驗自 然 界 和 社 會 上 所 觀 察 到 的 現(xiàn) 象 大 體 分 為人 們 在 生 產(chǎn) 實 踐 和 科 學(xué) 實 驗 中 發(fā) 現(xiàn) ， 自 然兩 類 ：必 然 現(xiàn) 象 或 決 定 性 現(xiàn) 象 ；必 然 發(fā) 生 或 必 然 不 發(fā) 生 的 現(xiàn) 象 ， 稱 之 為 必一 類 是 事 前 可 以 預(yù) 料 的 ， 即 在 一 定 條 件 下另 一 類 是 事 前 不 可 預(yù) 料 的 ， 即 在 相 同 條 件 下 重 復(fù) 進 行 觀 察 或 試 驗 時 ， 有 時 出 現(xiàn) 有 時不 出 現(xiàn) 的 現(xiàn) 象 ， 稱 之 為

2、 偶 然 現(xiàn) 象 或 隨 機 現(xiàn)象 。人 們 發(fā) 現(xiàn) 隨 機 現(xiàn) 象 在 大 量 重 復(fù) 試 驗 或 觀 察稱 為 統(tǒng) 計 規(guī) 律 性 。 復(fù) 實 驗 下 隨 機 現(xiàn) 象 發(fā) 生 的 頻 率 具 有 穩(wěn) 定 性下 它 的 結(jié) 果 呈 現(xiàn) 出 某 種 規(guī) 律 性 ， 即 大 量 重通 常 ， 我 們 把 對 自 然 現(xiàn) 象 的 觀 察 或 進 行 一 次 試 驗 ， 統(tǒng) 稱 為 一 個 實 驗 。況 ?，F(xiàn) 的 情 況 。4的 球 ， 從 袋 中 任 取 一 球 后 ， 不 放 回 袋 中 ，例 一 實 驗 為 擲 一 枚 均 勻 的 硬 幣 ， 觀 察1E例 二 實 驗 為 擲 一 枚 骰 子

3、， 觀 察 點 數(shù) 出 2E例 三 實 驗 為 一 袋 中 裝 有 編 號 1、 2、 3、3E正 面 （ 有 國 徽 的 一 面 ） ， 反 面 出 現(xiàn) 的 情H T 再 從 中 任 取 一 球 ， 觀 察 兩 次 取 球 的 結(jié) 果 。8： 00-8： 10接 到 的 呼 喚 次 數(shù) 。各 異 ， 但 是 它 們 有 著 共 同 的 特 點 。 例 如 實 上 面 所 舉 的 5 個 實 驗 例 子 ， 盡 管 內(nèi) 容測 試 它 的 壽 命 。例 四 實 驗 為 記 錄 某 電 話 交 換 臺 在 早4E例 五 實 驗 為 從 一 批 燈 泡 中 任 取 一 只 ，5E驗 ， 它 有 兩

4、種 結(jié) 果 ， 出 現(xiàn) 或 出 現(xiàn) , 1E H T 接 到 的 呼 喚 次 數(shù) 可 能 為 0或 1或 2， ，個 實 驗 可 以 在 相 同 條 件 下 重 復(fù) 進 行 。 再 如但 在 實 驗 之 前 不 能 確 定 會 有 幾 次 呼 喚 ， 這試 之 前 不 能 確 定 它 的 壽 命 有 多 長 ， 這 個 實行 。 又 如 實 驗 ， 在 某 天 早 8： 008： 104E實 驗 我 們 知 道 燈 泡 的 壽 命 但 在 測5E ,0t ， 這 個 實 驗 可 以 在 相 同 的 條 件 下 重 復(fù) 進 T但 在 拋 擲 之 前 不 能 確 定 出 現(xiàn) 還 是 出 現(xiàn)H 驗

5、也 可 以 在 相 同 條 件 下 重 復(fù) 進 行 ， 實 驗 的結(jié) 果 事 前 是 不 能 確 定 的 。 以 后 我 們 所 說 的所 有 可 能 發(fā) 生 的 結(jié) 果 是 已 知 的 ， 但 每 次 的實 驗 都 是 指 隨 機 實 驗 。大 小 。 例 如 擲 硬 幣 ， 現(xiàn) 有 的 力 學(xué) 系 統(tǒng) 的 確只 關(guān) 注 隨 機 實 驗 的 結(jié) 果 及 其 發(fā) 生 的 可 能 性 概 率 論 不 研 究 隨 機 現(xiàn) 象 形 成 的 原 因 ，定 性 理 論 及 最 先 進 的 測 量 技 術(shù) 遠 不 足 以 告 訴 我 們 哪 個 面 朝 上 。 另 外 ， 隨 機 現(xiàn) 象 也 是拋 的 足

6、 夠 高 ， 硬 幣 是 均 勻 且 是 正 反 面 。 這有 條 件 的 。 如 擲 硬 幣 ， 要 求 地 面 足 夠 硬 ，樣 經(jīng) 過 大 量 重 復(fù) 試 驗 或 觀 察 下 它 的 結(jié) 果 才 隨 機 事 件 （ 簡 稱 事 件 ） 是 概 率 論 中 的1.2.2 樣 本 空 間 與 事 件會 呈 現(xiàn) 出 統(tǒng) 計 規(guī) 律 性 。一 個 基 本 概 念 ， 也 是 隨 機 現(xiàn) 象 在 某 方 面 的 具 體 表 現(xiàn) 和 描 述 。 為 了 借 助 集 合 論 的 概 念 描 述 隨 機 事 件 ，都 是 相 應(yīng) 的 實 驗 結(jié) 果 。在 中 ， “ 交 換 臺 的 接 到 的 呼 喚

7、次 數(shù) 為 6” ； 4E在 中 ， “ 測 得 燈 泡 的 壽 命 為 1200小 時 ”等 5E能 再 分 的 結(jié) 果 ， 叫 做 的 基 本 結(jié) 果 。E需 引 入 樣 本 空 間 的 概 念 。 隨 機 實 驗 中 不E 例 如 ， 在 中 ， “ 出 現(xiàn) ” 、 “ 出 現(xiàn) T ” 1E H 值 得 注 意 的 是 ， 一 個 實 驗 結(jié) 果 是 否 為對 的 。 例 如 在 中 ， 若 考 慮 的 是 燈 泡 壽基 本 結(jié) 果 是 相 對 于 實 驗 目 的 而 言 ， 不 是 絕命 的 長 短 ， 那 么 基 本 結(jié) 果 為 “ 燈 泡 的 壽 命若 按 壽 命 取 值 的 大

8、小 將 燈 泡 分 為 優(yōu) 質(zhì) 品 、 ”， 故 有 不 可 數(shù) 無 窮 多 個 基 本 結(jié) 果 。即 “ 取 得 燈 泡 為 優(yōu) 質(zhì) 品 ” ， “ 取 得 燈 泡 為 合格 品 ” 5E 0tt 合 格 品 、 或 次 品 ， 那 么 就 只 有 三 個 基 本 結(jié) “取 得 燈 泡 為 次 品 ” 。樣 本 空 間 ， 記 作 . 中 的 元 素 就 是 實 驗 作 ,例 如 ， 在 中 ， 基 本 結(jié) 果 有 兩 個 ， 1E 對 于 一 個 隨 機 實 驗 ， 把 中 的 所 有E結(jié) 果 所 組 成 的 集 合 稱 為 的 基 本 空 間 或E 的 基 本 結(jié) 果 ， 基 本 結(jié) 果

9、 也 稱 樣 本 點 ， 記E即 “ 出 現(xiàn) ” 、 “ 出 現(xiàn) ” ， 所 以 樣 本 空間 中 含 TH有 兩 個 樣 本 點 ， “ 出 現(xiàn) ” ， “ 出現(xiàn) ” ， 1 2H T 基 本 結(jié) 果 ， 則 由 所 有 基 本 結(jié) 果 組 成 的 集 合樣 本 空 間 為1 ., 211 .6,5,4,3,2,12 就 是 的 樣 本 空 間 。2E 在 中 ， 由 于 兩 次 取 球 的 標 號 不 能 重 復(fù)3E按 排 列 知 識 共 有 種 取 球 的 結(jié) 果 ， 所12A 24 在 中 ， 若 以 表 示 “ 出 現(xiàn) 點 ” 這個 2E k k 窮 多 個 樣 本 點 ， 即以 在

10、 中 有 十 二 個 基 本 結(jié) 果 。 故 其 樣 本3E空 間 中 含 有 12個 樣 本 點 ， 即3 ,4,2,3,2,1,2,4,1,3,1,2,13 .3,4,2,4,1,4,4,3,2,3,1,3 .,3,2,1,04 在 中 ， 若 以 表 示 基 本 結(jié) 果 “ 交 換 臺 接4E k接 到 的 呼 喚 次 數(shù) 為 ” ， 則 中 含 有 可 數(shù)無 4k 不 可 數(shù) 無 窮 多 個 樣 本 點 ， 即慮 取 得 燈 泡 的 優(yōu) 劣 ， 則 樣 本 空 間 可 取 為同 樣 應(yīng) 當 注 意 的 是 ， 樣 本 空 間 的 元 素 取 決 .0t:t5 于 實 驗 目 的 。 例

11、 如 ， 在 中 ， 如 果 只 考5E . 5優(yōu)質(zhì)品，合格品，次品、 在 中 ， 若 以 表 示 基 本 結(jié) 果 “ 任 取5E t一 只 燈 泡 ， 測 試 其 壽 命 為 ” ， 則 中 含有 5t 引 入 樣 本 空 間 之 后 ， 事 件 均 可 看 成 是表 示 。 當 事 件 中 只 含 有 一 個 樣 本 點 （ 基本 結(jié) 果 ） 時 ， 稱 為 基 本 事 件 。 一 般 事 件 都可 由 基 本 事 件 通 過 集 合 運 算 復(fù) 合 而 成 。 例 .6,4,2642A 樣 本 空 間 的 子 集 ， 一 般 用 大 寫 字 母 CBA , 為 的 子 集 ， 即2A如

12、， 在 實 驗 中 ， 表 示 “ 出 現(xiàn) 偶 數(shù) 點 ” ，則 2E A 與 作 為 的 子 集 也 可 稱 為 事 件 。 易 見 ， 每 次 實 驗 中 ， 必 然 發(fā) 生 ， 故 稱 為 必然 事 件 。 每 次 實 驗 中 必 然 不 發(fā) 生 ， 故 稱稱 為 的 逆 事 件 ， 記 為 ， 顯 然 發(fā) 生A AA本 結(jié) 果 有 一 個 出 現(xiàn) 時 ， 稱 事 件 發(fā) 生 。A 在 一 次 試 驗 中 ， 當 且 僅 當 所 含 的 基A由 所 有 不 屬 于 的 樣 本 點 所 組 成 的 事 件 ，A則 不 發(fā) 生 。A 為 不 可 能 事 件 。 這 兩 個 事 件 都 是 確

13、 定 性 的的 隨 機 事 件 。 值 得 注 意 的 是 ， 對 較 復(fù) 雜 的事 件 ， 我 們 為 討 論 方 便 ， 把 它 們 當 作 特 殊之 間 的 幾 種 主 要 關(guān) 系 以 及 事 件 的 運 算 。 設(shè) 為 研 究 事 件 的 需 要 ， 下 面 介 紹 事 件1.2.3 事 件 的 關(guān) 系 與 運 算樣 本 空 間 ， 并 不 是 每 一 個 的 子 集 都 是 事 件 .實 驗 的 樣 本 空 間 為 ， E CBA , 由 事 件 發(fā) 生 的 定 義 又 知 ： 為 事 件 ， 均 為 的 子 集 。 ,2,1iAi 如 果 那 么 如 果,CBBA 且;CABA 對

14、 任 一 事 件 ， 總 有.BA AA （ 1） 若 事 件 發(fā) 生 必 然 導(dǎo) 致 發(fā) 生A B ， 那 么 稱 與 相 等 ， 記 為ABBA 且BA則 稱 事 件 為 事 件 的 子 事 件 ， 記 為A B 事 件 ， 記 為 BA為 .ABBA或 （ 2） 事 件 與 事 件 至 少 有 一 個 發(fā)A B （ 3） 事 件 與 事 件 同 時 發(fā) 生 ， 這BA一 事 件 稱 為 事 件 與 事 件 的 積 事 件 ， 記BA這 一 事 件 稱 為 事 件 與 事 件 的 差 事 件 ，BA （ 4） 事 件 發(fā) 生 而 事 件 不 發(fā) 生 ，A B生 ， 這 一 事 件 稱 為

15、事 件 與 事 件 的 和A B 組 事 件 兩 兩 互 斥 。 對 于 一 組 兩 兩 互 斥 的 事記 為 與 的 差 事 件 ，是A.BA AA把 和 事 件 記 作 如 果 一 組 事 件BA .BA 中 任 意 兩 個 都 互 斥 ， 那 么 稱 這321 A,A,A件 ， 通 常 把 事 件 記 為321 A,A,A n nA 則 稱 與 為 互 斥 事 件 或 互 不 相 容 事 件BA記 為 對 于 互 斥 事 件 、 ， 可 以.AB BA （ 5） 若 事 件 與 事 件 不 能 同 時 發(fā) 生 ，A B 法 則 是 相 同 的 ， 具 體 見 1.1節(jié) 集 合 的 運 算

16、 法 則 可 見 ， 事 件 的 運 算 法 則 與 集 合 的 運 算 一 個 較 復(fù) 雜 的 事 件 可 以 通 過 事 件 的 運根 據(jù) 具 體 問 題 的 需 要 恰 當 地 選 擇 一 種 表 示算 法 則 表 示 成 許 多 種 等 價 的 形 式 ， 因 此 可.n nA形 式 ， 這 在 概 率 論 中 非 常 有 用 。 比 如“ 與 A 至 少 發(fā) 生 一 個 ” 這 一 事 件 可 以 表 示 成 ,BAB 則 是 兩 個 互 斥 事 件 的 和 事 件 。也 可 以 表 示 成 ， 這 兩 個 事 件 是 相BAA等 的 ， 在 形 式 上 簡 單 ， 而BA BAA

17、;CBACBACBA 或或;ABCABCABCAB 或或 例 6 設(shè) 是 三 個 事 件 ， 則CBA , （ 1） “ 發(fā) 生 而 不 發(fā) 生 ” 可 表示 為 A CB, （ 2） “ 與 發(fā) 生 而 不 發(fā) 生 ” 表 示為 A B C 可 表 示 為 例 7 向 指 定 目 標 射 擊 三 槍 ， 分 別 用 （ 1） 只 有 第 一 槍 擊 中 ； （ 2） 至 少 有 一 槍 擊 中 ； .BCACBACABABCBCACAB 或 表 示 第 一 、 第 二 、 第 三 槍 擊 中 目321 A,A,A標 ， 試 用 表 示 以 下 事 件 ： 321 A,A,A （ 3） “ 三

18、 個 事 件 至 少 發(fā) 生 兩個 ” CBA , （ 3） 恰 好 有 一 槍 擊 中 ； （ 5） 三 槍 都 未 擊 中 ； （ 4） 至 少 有 兩 槍 擊 中 ； 解 （ 1） 只 有 第 一 槍 擊 中 ， 說 明 （ 2） 至 少 有 一 槍 擊 中 ， 即發(fā) 生 ， 而 都 不 發(fā) 生 ， 可 表 示 為至 少 有 一 個 發(fā) 生 ， 可 表 示 為 1A 32 AA、;AAAAAA 321321 或321 AAA、;AAA 321 （ 3） 恰 好 有 一 槍 擊 中 可 表 示 為 （ 4） 至 少 有 兩 槍 擊 中 可 表 示 為 （ 5） 三 槍 都 未 擊 中 可 表 示 為1 2 3 1 2 3 1 2 3;A A A A A A A A A ;AAAAAAAAAAAA 321321321321 .AAAAAA 321321 或