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1、第 四 節(jié) 直 線 的 投 影第 二 章 投 影 的 基 本 知 識 直 線 的 投 影X OZY H YWaa abb b直 線 的 投 影 可 由 直 線 上 任 意 兩 點 的 投 影 決 定 1. 直 線 的 傾 角 ：對 水 平 投 影 面 的 夾 角 對 正 投 影 面 的 夾 角 對 側 投 影 面 的 夾 角 一 、 一 般 位 置 直 線 的 投 影 一 般 位 置 直 線 對 面 的 傾 角 ABb a a b baNEW 一 般 位 置 直線 對 面 的傾 角 ab a ba bBA NEW 例 ： 求 一 般 位 置 直 線 對 面 的 傾 角 yy 實 長 一 般 位

2、 置 直線 對 面 的傾 角 ab baAa bB 例 ： 求 一 般 位 置 直 線 對 面 的 傾 角x 實 長 xba 一 般 位 置 直 線 的 投 影 特 性 直 線 的 各 投 影 均 對 投影 軸 傾 斜 ； 直 線 的 各 投 影 與 投 影軸 的 夾 角 并 不 反 映 空間 直 線 與 相 應 投 影 面的 傾 角 。 當 直 線 AB傾 斜 于 投 影面 時 ， 它 在 該 投 影 面上 的 投 影 ab長 度 小 于實 長 ， 縮 短 多 少 ， 根據(jù) 對 投 影 面 夾 角 大 小確 定 。 A0zy xX OZYH YWaa a bb b實 長 實 長 實 長 Za

3、- Zb直 角 三 角 形 法 ：兩 直 角 邊 、 斜 邊 、 銳 角二 、 直 線 的 實 長 與 真 實 傾 角 例 題 3例 題 2-6 已 知 直 線 AB的 正 面 投 影 和 點 A的 水 平 投 影 a,并 知 AB=25,求 AB 的 水 平 投 影 ab及 AB對 V面 的 傾 角 。 X Oaa b25 b 例 題 4例 題 2-7 已 知 直 線 AB的 水 平 投 影 ab， 和 正 面 投 影 a ,并 知 AB對 H面 的 傾 角 為 30 ， 求 AB的 正 面 投 影 及 實 長X Oaa bbb1 30 1 投 影 面 的 平 行 線 2 投 影 面 的 垂

4、 直 線三 .特 殊 位 置 位 置 的 直 線 ： （ 1） 水 平 線 e ffe f e反 映 實 長 abc1 投 影 面 的 平 行 線 EF實 長 fe f e f e 水 平 線 投 影 圖 反 映 實 長 AA（ 2 ） 正 平 線 反 映 實 長 正 平 線 投 影 圖 （ 3） 側 平 線 反 映 實 長DCcd c dc d 實 長dc d c dc 側 平 線 投 影 圖 水 平 線 的 投 影 特 征 ：平 行 線 的 投 影 特 征 ：（ 1） 在 與 其 平 行 的 投 影 面 上 的 投 影 反 映 實 長 ；（ 2） 該 投 影 與 相 應 投 影 軸 之 間

5、 的 夾 角 反 映 直 線 與 另外 兩 個 投 影 面 的 傾 角 ；（ 3） 其 余 的 兩 個 投 影 平 行 于 投 影 軸 ， 但 不 反 映 實長 。 25X OZYH YWaa a30 b bb例 題 ： 過 點 A向 右 上 方 作 一 正 平 線 AB,使 其 實 長為 25， 與 H面 的 傾 角 =30 。 2 投 影 面 的 垂 直 線（ 1） 鉛 垂 線 水 平 投 影 積 聚 為 一 點 ； 其 它 兩 個 投 影平 行 于 軸 ， 并 反映 直 線 實 長 ； 直線 與 H 面 的 夾 角90 實 長 鉛 垂 線 鉛 垂 線 的 投 影 （ 2） 正 垂 線 )

6、(dc dc c dC D 正 垂 線 的 投 影)(dc c cd d （ 3） 側 垂 線 e f )(fe e f 側 垂 線 的 投 影e fe f )(fe （ 1） 直 線 在 與 其 垂 直 的 投 影 面 上 的 投 影 積 聚 為 一 點 ；（ 2） 其 余 的 兩 個 投 影 垂 直 于 相 應 的 投 影 軸 ， 且反 映 實 長 。垂 直 線 的 投 影 特 征 ： X OZYH YWbaa ab（ b）例 題 根 據(jù) 投 影 圖 判 斷 下 列 直 線 的 空 間 位 置 bX OZYH YWaa abbX OZY H YWaa abb b （ b）X OZYH YW

7、aa abb 既 然 垂 直 線 也 平 行 于 投 影 面 ， 能 否 稱 它 為 平行 線 呢 ？討 論X OZY H YWbaa ab（ b） bX OZYH YWaa abb cc dd點 在 直 線 上 ， 點 的 投 影 必 在 直 線 的 同 名 投 影 上定 比 性 ： AC： CB=a c :c b =ac:cb=ac :c b 四 、 直 線 上 的 點bX Oaa b dDdee 1、 C點 在 直 線 上 ABab a b ba Cc cc 點 在 直 線 上 上 。 ab c cc a bb a 點 的 投 影 在 直 線 的 同 面 投 影 上 ， 并 符 合 點的

8、 投 影 規(guī) 律 。 C點 在 直 線 上 ABab a bba 2、 點 不 在 直 線 上 。 d dd DNEW 例 題 : 在 直 線 AB上 找 一 點 K,使 AK:KB=3:2。 bX Oaa b3 2kk 例 題 : 判 定 點 K是 否 在 直 線 AB上 。 kOZY H YWa bkkX aabb 例 題 : 判 定 點 K是 否 在 直 線 AB上 。 例 題 : 已 知 點 C在 直 線 AB上 ， 且 AC=20, 求 C點 的 投影 。 bX Oaa b20 c c 四 、 兩 直 線 的 相 對 位 置空 間 兩 直 線的 相 對 位 置 同 面 直 線異 面

9、直 線 平 行相 交交 叉 1、 平 行 兩 直 線 投 影 特 性 q兩 直 線 平 行 ， 他 們 同 名 投 影 一 定 平 行q兩 直 線 的 同 面 投 影 相 互 平 行 ， 且 其 長 度 之 比等 于 投 影 長 度 之 比 。q如 何 利 用 投 影 特 性 根 據(jù) 投 影 判 斷 兩 直 線 是 否平 行 ？q如 果 兩 直 線 都 不 平 行 于 投 影 軸 ， 則 有 兩 個 投 影 面投 影 平 行 則 可 以 認 為 直 線 平 行 。q如 果 兩 直 線 都 平 行 于 某 投 影 軸 ， 則 必 須 根 據(jù) 第 三投 影 或 比 例 關 系 判 斷 。 投 影

10、特 性 ： 空 間 兩 直 線 平行 ， 則 其 各 同 名 投影 必 相 互 平 行 ， 反之 亦 然 。a V Hcb c dA B C Db dax a bc dca b d例 ： 判 斷 圖 中 兩 條 直 線 是 否 平 行 。 對 于 一 般 位 置 直線 ， 只 要 有 兩 個 同 名投 影 互 相 平 行 ， 空 間兩 直 線 就 平 行 。AB/CDx b dc ac badd bac 對 于 特 殊 位 置 直 線 ，只 有 兩 個 同 名 投 影 互 相平 行 ， 空 間 直 線 不 一 定平 行 。求 出 側 面 投 影 后 可 知 ：AB與 CD不 平 行 。例 ：

11、判 斷 圖 中 兩 條 直 線 是 否 平 行 。求 出 側 面 投 影如 何 判 斷 ？ 2 已 知 直 線 AB 平 行 直 線 CD， 試 完 成 直 線 AB 和 CD 的 三 面 投 影 。例 ： 已 知 直 線 AB平 行 直 線 CD， 試 完 成 直 線 AB和 CD的 三 面 投 影 。 題 解 ： ac b bd ac d d a c b NEW 2、 相 交 兩 直 線 投 影 特 性 q相 交 兩 直 線 同 面 投 影 都 相 交 ， 且 交 點 符 合 點的 投 影 規(guī) 律 q如 何 利 用 投 影 特 性 根 據(jù) 投 影 判 斷 兩 直 線 是 否相 交 ？q投

12、影 上 交 點 連 線 垂 直 于 投 影 軸 。q相 交 直 線 可 能 成 為 某 一 投 影 面 的 重 影 線 HV A BC DKa bc dka bc k d a bc d ba c dkk兩 直 線 相 交判 別 方 法 ： 若 空 間 兩 直 線 相 交 ， 則 其 同 名 投 影 必 相 交 ，且 交 點 的 投 影 必 符 合 空 間 一 點 的 投 影 規(guī) 律 。交 點 是 兩 直線 的 共 有 點x xo o ca bba c dkk d例 ： 過 C點 作 水 平 線 CD與 AB相 交 。 先 作 正 面 投 影ox思 考 ： 如 果 給 出 CD的 長 度 ， 解

13、 題 過 程 有 何 變 化 ？ 3、 交 叉 兩 直 線 投 影 特 性 q既 不 符 合 平 行 兩 直 線 的 投 影 特 性 ， 又 不 符 合相 交 兩 直 線 的 投 影 特 性 q交 叉 直 線 的 同 面 投 影 若 相 交 ， 其 交 點 并 非 一個 點 的 投 影 ， 而 是 兩 條 直 線 上 的 兩 個 點 的 重影 。 其 重 影 點 的 可 見 性 應 根 據(jù) 兩 個 點 的 相 對位 置 來 判 別 。 d baa bc dc 1(2 )3(4 )兩 直 線 交 叉 投 影 特 性 ： 同 名 投 影 可 能 相 交 ， 但 “ 交 點 ” 不 符 合 空 間

14、一 個 點的 投 影 規(guī) 律 。 “交 點 ” 是 兩 直 線 上 的 一 對重 影 點 的 投 影 ， 用 其 可 幫 助 判斷 兩 直 線 的 空 間 位 置 。 、 是 面 的 重 影 點 ， 、 是 H 面 的 重 影 點 。12 3 4 兩 交 叉 直 線正 面 投 影 重 影 點 水 平 投 影 重 影 點 dcd c dc交 叉 兩 直 線 的 投 影 兩 側平 線的 投影 反映 和 的 線段 實長gh g h hg 4、 兩 直 線 垂 直 相 交 直 角 投 影 定 理 如 果 兩 直 線 在 空 間 上 垂 直 (垂 直 相 交 或 垂 直 交叉 )， 當 其 中 一 條

15、直 線 平 行 于 某 一 投 影 面 時 ，則 兩 直 線 在 該 投 影 面 上 的 投 影 垂 直 。 利 用 直 角 投 影 定 理 ， 可 完 成 過 點 作 投 影 面 平 行線 的 垂 線 ， 或 與 其 相 關 的 求 點 到 直 線 距 離 ， 求直 角 三 角 形 、 等 腰 三 角 形 等 平 面 圖 形 投 影 的 作圖 問 題 。 相 交 成 直 角 的 兩 直 線 ， 只 要 其 中 有 一條 直 線 平 行 于 某 投 影 面 ， 則 它 們 在 該 投 影 面上 的 投 影 仍 反 映 直 角 。 a b c水 平 線 a bba例 ： 過 點 作 直 線 垂

16、直 于 , 為任 意 長 度 。X O a bba題 意 分 析 ：X O水 平 線 （ 實 長 ）有 無 窮 多 解 ， 可 任 意 做 一 解 。 例 過 點 A作 EF線 段 的 垂 線 ABbbx oe f ae fa 例 以 最 短 線 K M連 接 AB， 確 定 M點 ， 并 求 出 K M實 長 。a ba bkk a bab kk a ba bkkmm M0LKMmmX X X 返 回 例 過 點 E作 線 段 AB、 CD的 公 垂 線 EF。fex oabc de abc df 例 :判 定 下 列 圖 中 兩 直 線 的 相 對 位 置 （ 平 行、 相 交 、 垂 直 相 交 、 交 叉 ） 1.交 叉 2.垂 直 相 交 3.相 交 例 ： 直 角 投 影 定 理 例 ： 直 角 投 影 定 理 課 后 思 考 題X OZY H YW(a)bab a b bX OZYH YWaa abb 1、 判 斷 AB線 的 空 間 位 置 AB C DEF HIL KOJM N 課 后 思 考 題2、 請 指 出 立 體 上 棱 線 的 空 間 位 置 ， 并 畫 出 相 應 的投 影 。