7.2 一 元 直 線 回 歸 方 程7.2.1 直 線 回 歸 方 程 的 建 立 根 據 研 究 目 的 ， 具 體 確 定 哪 個 是 自 變 量 ， 哪 個 是 依 變 量 ， 再 把 n對 觀 察 值 （ x1，y1） ， （ x2， y2） ， ， （ xn， yn） 在 直 角 坐 標 系 中 作 圖 ， 自 變 量 X為 橫 坐 標 ，依 變 量 Y為 縱 坐 標 ， 此 圖 稱 為 。例 7.1 某 科 技 人 員 飼 養(yǎng) 了 35尾 團 頭 魴 ， 共 重 7.2kg， 在 水 溫 29 條 件 下 ， 測 量攝 食 量 （ g） 與 耗 氧 率 （ mgO2/kgh） 之 間 的 關 系 ， 結 果 如 下 ： 攝 食 量 （ g） 20 30 40 50 60 70 耗 氧 率 （ mg O2/kg h） 536.3 573.5 595.9 628.9 669.6 725.7試 作 散 點 圖 并 對 攝 食 量 與 耗 氧 率 之 間 的 關 系 作 初 步 判 斷 。 團 頭 魴 攝 食 量 與 耗 氧 率 之 間 的 關 系 400.0 500.0 600.0 700.0 800.0 0 20 40 60 80攝 食 量 耗 氧 率 a by x 要 使 這 條 直 線 能 最 好 地 代 表 各 點 ， 各 點 離 這 條 直 線 的 距 離 平 方 和 需 最 小 ， 即 2 2( ) ( )Q y y y a bx 為 最 小 。采 用 使 誤 差 平 方 和 Q達 到 最 小 值 的 方 法 ， 即 最 小 二 乘 法 求 a與 b的 值 。 根 據 微分 學 ， 參 數 a， b應 滿 足 方 程 2 ( ) 02 ( ) 0 i ii i i iiQ y a bxaQ y a bx xb 2( )( ) ( )i ii ii i i i i i ina x b yx a x b x y 2 22a b ( )( ) ( )( )b ( ) ( )i ii ii i i ii ii i xi iiiy x x yx y x x y y SPnx x x SSx n 為 X變 量 與 Y變 量 的 離 均 差 的 乘 積 和 ， 簡 稱 乘 積 和 ， 記 為 SP ( )( )i ii x x y y )y (y bx) bx y b(x x 回 歸 直 線 通 過 點 ( , )x y例 7.2 根 據 例 7.1的 數 據 ， 求 耗 氧 率 對 攝 食 量 的 直 線 回 歸 方 程 。 項 目 合 計 x 20 30 40 50 60 70 270 y 536.3 573.5 595.9 628.9 669.6 725.7 3729.9 x 2 400 900 1600 2500 3600 4900 13900 y2 287617.69 328902.25 355096.81 395515.21 448364.16 526640.49 2342136.6 xy 10726 17205 23836 31445 40176 50799 174187 數 據2 22 2 22 ( ) (3729.9)2342136.61 23444.2756( ) (270)13900 17506( )( ) 270 3729.9SP 174187 6341.56iiy ii iix ii i ii ii ii ySS y nxSS x nx yx y n SP 6341.5 3.623711750 3729.9 270a b b 3.62371 458.586 6x i ii ib SS y xy x n n 7.2.2 回 歸 直 線 的 精 確 度簡 單 地 用 最 小 二 乘 法 求 出 的 回 歸 方 程 有 沒 有 意 義 2/ ( )2y x y ys n /y xs 直 線 回 歸 方 程 的 估 計 標 準 誤 或 離 回 歸 標 準 差 ， 是 回 歸 線 精 確 度的 一 個 重 要 統(tǒng) 計 量 ， 其 值 越 大 ， 由 回 歸 線 預 測 y的 精 確 度 越 低 2( )y y 為 離 回 歸 平 方 和 ,又 稱 為 剩 余 平 方 和 ， 用 Q表 示 22 2 2 y y y xx(SP)Q (y y) SS SS b(SP) SS b SS y a y b xy SS 例 7.3 計 算 例 7.1資 料 的 離 回 歸 標 準 差 。 226341.523444.275 464.4909175023444.275 3.6237 6341.5 464.581523444.275 3.6237 1750 464.67202342136.61 458.58 3729.9 3.6237 174187 477.636Q 直 線 回 歸 的 數 學 模 型 和 基 本 假 定 ( ) ( )Y Y X XY X Y X 或 基 本 假 定 ： X變 數 沒 有 誤 差 ， 或 誤 差 很 小 ， Y變 數 則 存 在 隨 機 誤 差 。 對 于 X取 值 范 圍 內 的 每 一 個 值 ， 都 存 在 著 一 個 Y總 體 ， 且 有 。 隨 機 誤 差 相 互 獨 立 ， 且 有 。 2( )N X ，2(0 )N ， 7.2.3 直 線 回 歸 的 顯 著 性 檢 驗7.2.3.1 直 線 回 歸 關 系 的 顯 著 性 檢 驗 1） t測 驗 根 據 概 率 分 布 理 論 有 ： 22/ , ( )y xb x x 2 2 2/ / by x y x bs s 的 無 偏 估 計 值 ， 則 回 歸 系 數 的 方 差 的 無 偏 點 估 計 值 為2 2/ /2 2/ /2( )( )y x y xb xy x y xb xs ss x x SSs ss SSx x bt t( 2)b ns 例 7.4 用 t測 驗 對 例 7.2所 求 回 歸 方 程 作 回 歸 顯 著 性 測 驗 。 2） F測 驗 2 22 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) ( )y ii ii i ii i iSS y yy y y yy y y y y y y y 2 22 2 2 2 ( )( ) b( ) b( )b ( )( ) b ( )b ( ) b ( ) 0i i i ii i i i ii ii ii iy y y y y y x x y x x yx x y y x xx x x x 2 2 ( ) ( )y ii iSS y y y y 為 離 回 歸 平 方 和 Q， 它 與 X的 大 小 無 關 ， 具 有 為 回 歸 平 方 和 ， 簡 記 作 U， 它 是 X的 不 同 而 引 起 的 ， 具 有 2Qdf n ( 1) ( 2) 1 Udf n n 2( )ii y y 2( )i y y 2 2SPU Q bSP by xxSS SSSS F F( )U U QQMS df dfMS ，例 7.5 用 F測 驗 對 例 7.2所 求 回 歸 方 程 作 回 歸 顯 著 性 測 驗 。 7.2.3.2 兩 個 回 歸 系 數 相 比 較 的 顯 著 性 檢 驗 由 兩 個 樣 本 的 回 歸 系 數 b1， b2， 測 驗 其 所 屬 總 體 的 回 歸 系 數 1、 2是 否 相 等 2 2 2 2U 2Q /b b bF ( ) tQ ( 2)x y x x bMS SSMS n s SS s 假 設 H0： 1= 2 ， HA： 1 2 檢 驗 統(tǒng) 計 量 為 1 21 2 1 2 ( 4)b bb bt t n ns 1 2 1 22 2/ / 2 1 2b b / 1 2( 2) ( 2)y x y x y xx xs s Q Qs sSS SS n n 1 2 4(n n )t t 當 時 ， 接 受 H0 ， 即 兩 樣 本 所 屬 總 體 的 回 歸 系 數 相 等 1 2 4(n n )t t 當 時 ， 接 受 HA， 即 兩 樣 本 所 屬 總 體 的 回 歸 系 數 不 相 等 可 得 公 共 回 歸 系 數 1 21 21 2x xx xSS b SS bb SS SS 由 兩 個 樣 本 的 回 歸 截 距 a1， a2， 測 驗 其 所 屬 總 體 的 回 歸 系 數 1、 2是 否 相 等 假 設 H0： 1 = 2 ， HA： 1 2 檢 驗 統(tǒng) 計 量 為 1 21 2 1 2 ( 4)a aa at t n ns 1 2 1 22 21 2 1 2/ /1 2 1 21 1 ( 2) ( 2)a a y x y xx xx x Q Qs s sn n SS SS n n 1 2 4(n n )t t 當 時 ， 接 受 H0 ， 即 兩 樣 本 所 屬 總 體 的 回 歸 截 距 相 等 1 2 4(n n )t t 當 時 ， 接 受 HA， 即 兩 樣 本 所 屬 總 體 的 回 歸 截 距 不 相 等 可 得 公 共 回 歸 常 數 a 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2n x n x n y n yx yn n n na y bx