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1、基本不等式的應用( , 0)2a b ab a b 我 思,故 我 在江門市杜阮華僑中學 教學重點與難點重點:用基本不等式解決實際問題,解決的關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學的球最值問題。難點:將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。 思維活動: 2 2 1 22x xy xx (5)求函數(shù) 的最大值_ 放 飛 思 維 的 翅 膀 _041的值域函數(shù) xxxy 2 5 20,x y (2)已知 且 求 的最大值_0, 0,x y xy 10_)2(1)3(的最小值 xxxy 25 1 22y x xx (4)求函數(shù) 的最小值_40 4 例1:用籬笆圍城一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬
2、各為多少時所用的籬笆最短。最短的籬笆是多少? 例1:用籬笆圍城一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時所用的籬笆最短。最短的籬笆是多少?,x ym 100 xy 0, 0 x y 2 x y m( 0, 0)2x yxy x y 2 40 x y 10 x y 10m解:(1)設(shè)矩形的長、寬各為,由題意可得且。則籬笆的長可表示為,根據(jù)得,當且僅當時取等號,故長、寬均為時,所用的籬笆最短。且得時取等號,故長、寬均為時,所用的籬笆最短。 例2:一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少? 例2:一段長為36米的籬笆圍成一
3、個矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少? ,x ym 362 yx 0, 0 x y 2xym( 0, 0)2x yxy x y 81xy9 yx解:(1)設(shè)矩形的長、寬各為,由題意可得且。矩形的面積為由得,當且僅當時等號成立。 1:一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18米,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大?最大面積是多少?變式練習:(1)若墻的長度為15米呢?(2)若墻的長度為12米呢?練習 設(shè)矩形的長為x m,寬為y m菜園的面積為s 則 2m302 yx xys 由基本不等式的性質(zhì),可得yxs 221 2)22(21 yx
4、490021 2225即當,2yx 22225215,15 myx最大面積是時,菜園面積最大, 例3 某工廠要建造長方形無蓋貯水池,其容積為4800 ,深為3m。如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?3m )3*23*2(*12034800*150 yxz 解:設(shè)底面的長為為x m,寬為y m,水池總造價為z元根據(jù)題意,有 )(720240000 yx 由容積為4800 ,可得3m 48003 xy 1600 xy)(720240000 yxz xy2*720240000 16002*720240000z即297600z當
5、x=y,即x=y=40時,等號成立所以,將水池的底面設(shè)計成邊長為40m的正方形時總造價最低,最低總造價是297600當即時,等號成立因此由基本不等式與不等式的性質(zhì),可得 練習2 做一個體積為32 ,高為2m的長方體紙盒,底面的長與寬取什么值時用紙最少? 練習2 做一個體積為32 ,高為2m的長方體紙盒,底面的長與寬取什么值時用紙最少?3m練習做一個體積為,高為的長方體紙盒,底面的長與寬取什么值時用紙最少? 練習2 做一個體積為32 ,高為2m的長方體紙盒,底面的長與寬取什么值時用紙最少?3m 0,0 ba3m設(shè)底面的長與寬分別為a m ,b m . 因為體積等于32 高為c=2m所以底面積為1
6、6 ,即即即即練習做一個體積為,高為的長方體紙盒,底面的長與寬取什么值時用紙最少?即解16ab所以,用紙面積是acbcabs 222 )(432 ba ab4232 64時取等號當且僅當4ba 米時,用紙最少為答:當?shù)酌娴拈L與寬均4 2m 思考:甲,乙兩地相距s km,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c km/h。已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(單位:km/h)的平方成正比,且比例系數(shù)為b;固定部分為a元(a ).為了使全程運輸成本最小,汽車應以多大速度行駛?2bc 課堂小結(jié)n知識要點:(1)重要不等式和基本不等式的條件及結(jié)構(gòu) 特征(2)
7、基本不等式在幾何、代數(shù)及實際應用三方面的意義 n思想方法技巧:(1) “整體與局部” (2)換元法、分析法(3)配湊等技巧 研究性作業(yè)不知大家是否注意到許多碳酸飲料和啤酒的包裝都是圓柱形的,廠家在固定飲料容量(不妨設(shè)為V)的情況下,如何使用包裝用料成為節(jié)省成本的一項重要研究內(nèi)容,你能為廠家節(jié)約成本提供一些信息嗎? 假設(shè)你是超市的經(jīng)理,超市的大米銷售流程如下圖所示:問題情境:數(shù) 學 源 于 生 活進貨運輸銷售 超市計劃在同一地點進貨兩次,有兩種進貨方案。方案一、每次購買大米M千克;方案二、每次用N元購買。(兩次進貨單價不同,設(shè)第一次為a元/千克,第二次為b元/千克),則選用哪種進貨方式合算?情境
8、一:進貨“合算”的含義 :(2)每千克大米花費的錢最少(1)每一元錢購買的大米最多問 題 是 數(shù) 學 的 心 臟 10000 xyxy 2( )z x y 解:(2)約束條件為目標函數(shù)結(jié)合所學的線型規(guī)劃的知識求出目標函數(shù)的最大值及相應的最優(yōu)解。 三維目標 一 知識與技能 1.構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域,最值問題; 2.讓學生探究用基本不等式解決實際問題; 二 過程與方法 1. 情境二:運輸進貨結(jié)束后裝車運回。所購大米需裝6輛卡車,途徑一座長為100米的大橋,假設(shè)卡車均以v(m/s)的速度勻速前進,并出于安全考慮規(guī)定每兩輛卡車的間距不得小于 m(卡車長忽略不計),則全部卡車安全過橋最快需多少時
9、間?25v興 趣 是 最 好 的 老 師 當且僅當 即v=10米/秒, 100 vv 答:每兩輛車均相距 20 米,且速度為10米/秒, 所用時間最少為20秒。解:設(shè)卡車全部安全過橋共需t 秒, 第六輛汽車與第一輛汽車相距至少為 25 5v米.每兩輛汽車都相距20米時,上式取等號,此時t=20(秒)。100 vv 2 100 =20(秒)2100 5 5vv t 解 題 是 數(shù) 學 的 關(guān) 鍵 情境三:銷售 現(xiàn)已知進貨單價第一次為1.8元/千克,第二次為2.2元/千克。若以2.4元/千克出售,則每天可售出1000千克,而如果每千克提價0.01元,每天將少售出10千克,如果每千克降價0.01元,每天將多售出10千克。那么請考慮,每千克售價應為多少元,才能使每天的利潤最大。學 海 無 涯 苦 作 舟 課 堂 小 結(jié)實際問題數(shù)學模型提煉模型的解數(shù)學知識數(shù)學結(jié)論分析總結(jié)回歸(1)應用基本不等式求最值。(2)應用基本不等式解決實際應用題。來 而 不 往 ,非 禮 也