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1、第三篇 電 磁 學(xué) 10.1 穩(wěn)恒電流 正電荷移動(dòng)的方向定義為電流的方向 。電流的方向與 自由電子移動(dòng)的方向是相反的，它們產(chǎn)生的 宏觀 電磁 效應(yīng)是相同的。 1 載流子 大量電荷定向移動(dòng)會(huì)形成電流。在物體內(nèi)能夠自由移動(dòng) 的帶電粒子稱為 載流子 。 在金屬中是電子；在半導(dǎo)體中是電子或空穴；在電解質(zhì) 溶液中是正負(fù)離子； 2 電流的方向 一、電流、電流密度 3 電流強(qiáng)度 dt dqI 單位：安培 (A)，庫侖 /秒 單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體某一截面的電量 ，叫做電流強(qiáng)度。 它是表示電流強(qiáng)弱的物理量 (標(biāo)量 )，用 I 表示。電流強(qiáng) 度也是國際單位制的基本量。 第三篇 電 磁 學(xué) 在導(dǎo)體某一截面上各點(diǎn)可以定

2、義 電流密度矢量 j，它的方向?yàn)樵?點(diǎn)處電流的方向 , 它的大小等于單位時(shí)間內(nèi)該點(diǎn)附近垂直與電荷運(yùn)動(dòng) 方向的單位截面上所通過的電量。 4 電流密度 S 1和 S2的電流強(qiáng)度一樣嗎？ 電荷流動(dòng)的情況一樣嗎？ I nedS dIj 與電場(chǎng)類似，電流密度在電流區(qū)域形成分布，可以用電流線描 述，某點(diǎn)電流線的方向?yàn)殡娏鞣较?，疏密程度表示電流大小?比 I更精確描述電流的分布。 S1和 S2的電流密度一樣嗎？ 第三篇 電 磁 學(xué) 5 電流強(qiáng)度與電流密度 SdjdI c o sj d SdSjdI nedSSd 已知電流密度 j， 求過某面積元 dS的電流 dI怎么解？ 知道了導(dǎo)體截面每一點(diǎn)上的電流密度 j

3、， 也就知道了通過截面的總電流 積分得到： SI j dS 即某一曲面的電流強(qiáng)度等于對(duì)該曲面的電流密 度通量。 第三篇 電 磁 學(xué) 二、電流密度與載流子漂移速度的關(guān)系 漂移速度 是指載流子平均的定向移動(dòng)速度。它是無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)與 定向電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)與固體晶格阻礙的平衡效果?？梢院唵握J(rèn)為電子做 勻速 運(yùn)動(dòng) 。 假定導(dǎo)體中載流子的數(shù)密度 n ;每個(gè)載流子的電量為 q，漂移速度為 v。 考慮 dt時(shí)間間隔內(nèi)， P點(diǎn)附近的電流 q dS vdt P vjqn v dS dt dSv dtqn dt dQdI qnvdSdIj 電流密度為 vqnj 寫成矢量式子 即 電流密度等于該點(diǎn)電荷密度、運(yùn)動(dòng) 速度的積 。

4、此式具有更直觀而廣泛物 理意義，可作為電流密度的定義式。 第三篇 電 磁 學(xué) 三、電流連續(xù)性方程 電流場(chǎng)的一個(gè)重要性質(zhì)就是其 連續(xù)性 ，其實(shí)質(zhì)是電荷守恒定律。在電流場(chǎng) 內(nèi)任取閉合曲面 S，則其電流密度通量應(yīng)等于曲面內(nèi)電荷的變化率，即： 單位時(shí)間內(nèi)通過閉合 曲面向外流出的電荷 等于此時(shí)間內(nèi)閉合曲 面里電荷的減少。 穩(wěn)恒電流 指各處電流密度不隨時(shí)間發(fā)生變化的的電流稱為穩(wěn)恒電流， 均 勻電流 是指電流密度處處相同電流，二者是不同的兩個(gè)概念。對(duì)于穩(wěn)恒 電流，電流場(chǎng)不隨時(shí)間變化的，意味著空間各處沒有電荷增減，即： 0dqdt dt dqSdj S 0S Sdj 第三篇 電 磁 學(xué) 四、歐姆定律的微分形式

5、 顯然，電流場(chǎng)中任意電流元的運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)當(dāng)與該處電場(chǎng)強(qiáng)度成正比。 即電流密度 j 應(yīng)隨電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的增強(qiáng)而變大。 dUdI R 在導(dǎo)線內(nèi)選取長為 dl， 截面積為 dS的柱體 ， j與 dS 垂直。導(dǎo)線的電導(dǎo)率為 ， 電阻為 R。由歐姆定律 ： 若考慮方向，則有： 這就是歐姆定律的微分形式。 dS dU dl dS dl dS dlRE d ldU E dSdI EdSdIj Ej jE 第三篇 電 磁 學(xué) 10.2 磁場(chǎng) 磁感應(yīng)強(qiáng)度 歷史上人們很早就發(fā)現(xiàn)天然磁石能夠吸引鐵、鈷 和鎳等金屬。 1820年丹麥物理學(xué)家奧斯特 (Osterd)在 實(shí)驗(yàn)中最早發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)：通電導(dǎo)線附近的小 磁針

6、會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)。隨著后續(xù)試驗(yàn)的發(fā)展，電流和磁場(chǎng) 的關(guān)系得到了闡明。 一、磁場(chǎng) 電 流 磁 場(chǎng) 電 流 磁 鐵 磁 鐵 運(yùn)動(dòng)電荷 運(yùn)動(dòng)電荷 運(yùn)動(dòng)電荷在周圍空間將同時(shí)產(chǎn)生 電場(chǎng) 與 磁場(chǎng) ，電場(chǎng)、 磁場(chǎng)統(tǒng)稱為 電磁場(chǎng) 。 第三篇 電 磁 學(xué) 二、磁感應(yīng)強(qiáng)度 與電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的引入類似，對(duì)于磁場(chǎng)，采用磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 來描述。 一個(gè)試驗(yàn)電荷 q 以速率 v 通過磁場(chǎng)中某點(diǎn) 時(shí)，受到的磁力與速度（方向、大?。┯?關(guān)：磁力總與速度垂直，且當(dāng)速度方向變 化時(shí)，磁力大小變化，有最大、最小磁力 對(duì)應(yīng)的特定方向。 磁感應(yīng)強(qiáng)度： 描述磁場(chǎng)中某點(diǎn)磁場(chǎng)性質(zhì)的基本物理量，稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度。 大小由下式給出。方向?yàn)榇帕榱銜r(shí)的速

7、度方向。 mF q v B m axFB qv 單位：特斯拉 Tesla 高斯 Gauss = 10-4 T 地球表面磁場(chǎng) 0.6高斯 顯然磁感應(yīng)強(qiáng)度在空間構(gòu)成 矢量場(chǎng) 。 第三篇 電 磁 學(xué) 三、運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng) v B 靜電場(chǎng)理論告訴我們，一個(gè)電荷電量為 q 的點(diǎn)電荷在空間中某一點(diǎn) P 所 激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度 E 為 rer qr r qE 2 0 3 0 4 1 4 1 q r E P 理論和實(shí)驗(yàn)均可以證明，一個(gè)電荷電量為 q，以速度 v 運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷在 空間中某一點(diǎn) P所激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 為 2 0 3 0 44 r evq r rvqB r 270 104 AN 真空磁導(dǎo)率 第三篇 電

8、 磁 學(xué) 注意： 與 、 都垂直，磁感應(yīng)線為以 為軸的同心圓環(huán)。 r dq v B r dq v B 1 運(yùn)動(dòng)電荷激發(fā)磁場(chǎng)的大小不是球?qū)ΨQ分布的，與電場(chǎng)不同。 在 r為半徑的球面上磁場(chǎng)存在一個(gè) 極小值和極大值 ！在什么位置？ 2 討論磁場(chǎng)方向。 2 0 3 0 44 r evq r rvqB r 第三篇 電 磁 學(xué) 四、畢奧 -薩伐爾定律 1、電流元的引入 在靜電學(xué)中求電場(chǎng)強(qiáng)度的思路是： q dq dE E 。為了計(jì)算一 根通電導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)，我們遵循類似思路： I I dl d B B 。 Idl I 電流與線元之積稱為 電流元 ， 這是一個(gè) 矢量 ；電流元的方向 電流的方向。大小為 Idl

9、。 2、定律內(nèi)容 畢奧薩伐爾 (Biot-Savart)根據(jù)電流磁作用的實(shí)驗(yàn) 結(jié)果分析得出， 電流元產(chǎn)生磁場(chǎng)的規(guī)律稱為畢奧 薩伐爾定律。 拉普拉斯后來用解析運(yùn)算推導(dǎo)出 了我們現(xiàn)在看到的公式。 2 0 4 r elIdBd r 第三篇 電 磁 學(xué) 真空中電流元 Idl 在某點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小，與電流元的大小成正 比，與電流元到 P點(diǎn)的距離平方成反比，且與電流元和（電流元到 P點(diǎn)的） 矢徑間的夾角的正弦成正比 2 0 4 r elIdBd r 2 0 4 r evqB r q 推導(dǎo)過程如下： 一個(gè)運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)為 電流元中載流子數(shù)目 nSdl 2 0 2 0 4 )( 4 r eI dl r

10、eSdlvnqBnSdlBd rr q 電流元產(chǎn)生磁場(chǎng) 請(qǐng)注意方向 問題 r指 ? 第三篇 電 磁 學(xué) 3、說明 1 B-S定律是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上抽象出來的，不能由實(shí)驗(yàn)直接證明（電 流元無法單獨(dú)存在），但是由該定律出發(fā)得出的一些結(jié)果能很好地與 實(shí)驗(yàn)符合。 2 dB的方向由 Idl 與位移矢量確定，即用 右手螺旋 法則確定； 3 B-S定律是求解電流磁場(chǎng)的基本公式，利用該定律與 磁場(chǎng)疊加原理 ， 原則上可以求解任何穩(wěn)恒載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 2 0 4 r elIdBd r 204 r elIdBdB r 第三篇 電 磁 學(xué) 五、畢奧 -薩伐爾定律的應(yīng)用 解題步驟 1. 選取合適的電流元 根據(jù)

11、已知電流的分布與待求場(chǎng)點(diǎn)的位置； 2. 選取合適的坐標(biāo)系 要根據(jù)電流的分布與磁場(chǎng)分布的的特點(diǎn)來 選取坐標(biāo)系，其目的是要使數(shù)學(xué)運(yùn)算簡單； 3. 寫出電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 根據(jù)畢奧薩伐爾定律； 4. 計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布 疊加原理； 5. 一般說來，需要將磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量積分變?yōu)闃?biāo)量積分，并選取 合適的積分變量，來統(tǒng)一積分變量。 第三篇 電 磁 學(xué) 解： 取圖示電流元 Idl，以過場(chǎng)點(diǎn) P、且垂直于導(dǎo)線水平向右為 x軸，沿 導(dǎo)線豎直向上為 y軸。由 B S定律有 2 0 s in 4 r IdldB 由于所有電流元和相應(yīng)的位矢總是在 xoy平面內(nèi)，所以，所有電流元激發(fā) 的磁場(chǎng)方向相同，垂直屏面向

12、里?？?磁場(chǎng)的大小為 L rIdlB 20 s in4 統(tǒng)一積分變量為 a o P 2 1 例 1 求有限長載流直導(dǎo)線激發(fā)的磁場(chǎng)。電流為 I,場(chǎng)點(diǎn)到 P點(diǎn)的距離為 a。 第三篇 電 磁 學(xué) 210 c osc os4 aI daIB s in4 02 1 -a)( al c o tc o t dadl 2c s c c scar 無限長載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)： 21 ;0 a IB 2 0 B的方向由右手法則確定 討論 a o P 2 1 第三篇 電 磁 學(xué) 半無限長載流直導(dǎo)線端面上一點(diǎn)的磁場(chǎng)： 21 ,2 210 c osc os4 aIB a IB 4 0 半無限長載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)： 12; )

13、1( c os4 0 aIB a I a P I P 長載流直導(dǎo)線延長線上某點(diǎn)的磁場(chǎng) 第三篇 電 磁 學(xué) 例 2： 有一半徑為 R的 載流圓環(huán)，通有電流為 I，求圓環(huán)軸線上一點(diǎn) P 的磁 感應(yīng)強(qiáng)度 B。 解： 建立圖示坐標(biāo)系，將圓環(huán) 分割為無限多個(gè)電流元，任意 兩個(gè)關(guān)于 x軸對(duì)稱的電流元在軸 線上一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān) 于 x軸對(duì)稱，且大小相等，因此 整個(gè)載流圓環(huán)在軸線上一點(diǎn)的 磁場(chǎng)沿 x軸方向 。 90s in 4 2 0 r IdldB 00 22sin44x IIdl dl RdB r r r 第三篇 電 磁 學(xué) RL x dlrRIdBB 20 304 22 00 33 22 22 2

14、 I R I RB r xR 載流圓環(huán)對(duì)圓心處 某段圓弧對(duì)圓心產(chǎn)生磁場(chǎng)？ R IB 2 0 軸上一點(diǎn)磁場(chǎng)公式可改寫 3 0 3 0 3 2 0 222 r m r IS r IRB m為線圈磁矩。 討論 SIeISm n I S n 右手螺旋 定則 第三篇 電 磁 學(xué) 例 3： 計(jì)算圖示載流導(dǎo)體在 O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 o R a b c d 解： o 點(diǎn)磁場(chǎng) B 由三段載流導(dǎo)體產(chǎn)生 ，其中 cd 段的延長線過場(chǎng)點(diǎn) o，無 磁場(chǎng)，所以 cdbcabo BBBB 規(guī)定向里為正向， bcabo BBB R I R I 44 00 114 0RI 第三篇 電 磁 學(xué) 2 3 22 22 o nR I

15、dldB Rl 長度為 dl 內(nèi)的各匝圓 線圈的總效果，是一匝圓 電流線圈的 n dl 倍。 例 4 求半徑為 R，總長度為 L，單位長度上的匝數(shù)為 n 的 密繞 螺線管在其 軸線上一點(diǎn) P 的磁場(chǎng)。 2 1 2 3 22 22 L o L n R I d lB Rl 2L 1L R 第三篇 電 磁 學(xué) l R c tg 2c s cd l R d 2 1 sin 2 o nIBd 2 2 2 2c s cR l R 12( c o s c o s )2 o nI B 5R 5R x 0.439 2L 1L R 第三篇 電 磁 學(xué) nIB 0 21 ,0 在管端口處，磁場(chǎng)等于中心處的一半。 1

16、20, 2 nIB 021 無限長直螺線管（或長直螺線管中部附近）的磁場(chǎng) 半無限長直螺線管端口處的磁場(chǎng) 討論 第三篇 電 磁 學(xué) 一、磁通量 磁場(chǎng)的高斯定理 同電場(chǎng)中引入電場(chǎng)線來形象地描述電場(chǎng)一 樣，可以引入 磁感應(yīng)線 來形象地描述磁場(chǎng)的分 布及其特點(diǎn)。 我們規(guī)定磁感應(yīng)線上任意一點(diǎn)的切線方向表示 該點(diǎn)磁場(chǎng) 方向 ；磁感應(yīng)線的疏密程度表示磁場(chǎng) 大小 。 觀察磁感應(yīng)線，總結(jié)特點(diǎn)如下： 10.3 安培環(huán)路定理 磁感應(yīng)線是環(huán)繞電流的無頭尾的 閉合曲線 ， 無起點(diǎn)無終點(diǎn)； 磁感應(yīng)線不相交。 磁感應(yīng)線與電流方向有 右手螺旋定則 關(guān)系 第三篇 電 磁 學(xué) 磁通量 類似電場(chǎng)強(qiáng)度通量，我們亦可引入 磁感應(yīng)強(qiáng)度通

17、量 的概念，簡稱 磁通 量 。它描述了通過磁場(chǎng)中某一曲面的磁感線數(shù)目。 (magnetic flux) 穿過某一曲面的磁通量 SSS mm SdBdSBd c o s S md dS B 單位：韋伯， Wb m為標(biāo)量，只有大小正負(fù)之分。正負(fù)決定于 B與曲面法向夾角。 對(duì) 于任意曲面，應(yīng)先選擇曲面正法向，通量才有確定的意義 。 穿過閉合曲面的磁通量 Smm SdBd 對(duì) 閉合曲面 Gauss面規(guī)定 外法向?yàn)檎?第三篇 電 磁 學(xué) 對(duì)于閉合曲面，由于 磁感應(yīng)線是無頭無尾 的閉合曲線，所以穿入、穿出的磁感應(yīng)線條數(shù) 相等，則 對(duì)任意閉合曲面的磁通量為零。 3. 磁場(chǎng)的高斯定理 0S SdB 討論 靜

18、電場(chǎng)是有源、保守場(chǎng)，而磁場(chǎng)是無源、非保守場(chǎng) ; 如果有磁單極子存在，磁場(chǎng)的 Gauss定理要修改； 成立條件：穩(wěn)恒電流。 可以由高斯定理計(jì)算 磁感應(yīng)強(qiáng)度嗎 ? 第三篇 電 磁 學(xué) S SdB 0 ?L ldB 0L ldE S to ta lQSdE 0 穩(wěn)恒磁場(chǎng)與靜 電場(chǎng)規(guī)律對(duì)比 二、安培環(huán)路定理 Amperes Law 1. 表述 在穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 沿任何形狀閉 合回路 L的線積分（環(huán)流），等于穿過以該回路為 邊界的任意曲面的電流代數(shù)和之 0倍 i iL IldB 0法國物理學(xué)家安培在電磁學(xué)領(lǐng)域貢獻(xiàn) 卓越，成為電動(dòng)力 學(xué)的創(chuàng)始人。 l I 第三篇 電 磁 學(xué) 1I 2I

19、3I 4I L n 1 符號(hào)規(guī)定：電流方向與 L的環(huán)繞方向服從 右手關(guān)系 的 I為正，否則為 負(fù)。 如圖所示，求環(huán)路 L的環(huán)流 )( 32100 IIIIldBL 說明： 2 安培定理直接反映了磁場(chǎng)線的閉合性質(zhì)，說明磁場(chǎng) 不是保守場(chǎng) ，不 能引入標(biāo)量勢(shì)。 3 重要說明：雖然回路外的電流對(duì)環(huán)流無貢獻(xiàn)，但是，它要影響磁場(chǎng)， 即空間各點(diǎn)的磁場(chǎng)仍由所有電流共同激發(fā)。 討論 I4對(duì)環(huán)流積分和某點(diǎn)上磁場(chǎng)的影響？ 第三篇 電 磁 學(xué) 2. 驗(yàn)證 我們用無限長直通電導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)來驗(yàn)證安培 定理。在垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)任取一包圍導(dǎo)線的 圓形回路。 L B I r選取積分方向與 B 繞行方向相同： rrIdlBl

20、dB LL 22 0 IldBL 0 B ld d 推廣到任意形狀的回路： 包圍電流 I I ld 不包圍電流 第三篇 電 磁 學(xué) 二、用 Ampere環(huán)路定理求磁場(chǎng) 要求磁場(chǎng)具有高度的對(duì)稱性，如 無限長直載流直導(dǎo)線（圓柱體或面）； 無限大載流平面； 無限長直密繞螺線管；密繞螺線環(huán)。 有限電流的磁場(chǎng)不能有 mpere環(huán)流定理計(jì)算 必須選擇與磁場(chǎng)對(duì)稱性相應(yīng)的回路，使得回路上各點(diǎn)磁場(chǎng)大小相等， 方向與回路方向一致或成常數(shù)夾角，或磁場(chǎng)在回路上分段為常矢量或 零，從而可以完成環(huán)流積分。 解題步驟 分析電流的分布和場(chǎng)的對(duì)稱性； 選取具有相應(yīng)對(duì)稱性的回路；并規(guī)定繞行方向； 確定穿過以閉合回路為邊界的電流的

21、代數(shù)和； 應(yīng)用環(huán)路定理求磁感應(yīng)強(qiáng)度。 i iL IldB 0 第三篇 電 磁 學(xué) 例 1： 求無限長載流圓柱體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。圓柱體半徑為 R ，電流在導(dǎo)體橫載面上均勻分布。 解： 由于無限長載流圓柱體可分為無限多個(gè)無 限長載流直導(dǎo)線，因此其磁場(chǎng)分布與長直載流 導(dǎo)線的磁場(chǎng)相同，即： 與圓柱體共軸的圓柱面 上各點(diǎn)磁場(chǎng)大小相等，方向與電流流向成右手 螺旋關(guān)系（垂直與圓柱體表面） 。因此，過柱 體內(nèi)、外場(chǎng)點(diǎn)選擇共軸圓環(huán)回路，回路方向與 電流流向成右手關(guān)系 。 .圓柱體內(nèi)各點(diǎn)（ r R 區(qū)域） 環(huán)路內(nèi)電流代數(shù)和為： II r IB 2 0 r 1 可見，圓柱體外的磁場(chǎng)分布等效于將全 部電流集

22、中于軸線上的無限長載流導(dǎo)線 的激發(fā)的磁場(chǎng)。表面磁場(chǎng)是連續(xù)的。 B o r R I 2 0 rB R rB 1 IrBB dl 02 第三篇 電 磁 學(xué) 例 2： 無限大載流平板的磁場(chǎng)分布；已知電流均勻流過無限大平面導(dǎo)體薄 板，電流面密度為 j（即通過與電流方向垂直的單位長度的電流），求磁 場(chǎng)分布。 解： 根據(jù)右手螺旋法則判斷磁場(chǎng)的分布， 在上板磁場(chǎng)水平向左，下板磁場(chǎng)水平向 右，且大小關(guān)于導(dǎo)體板對(duì)稱。 i I jab 作閉合環(huán)路 abcda， ab平行于平 板。環(huán)路內(nèi)的電流代數(shù)和為： 環(huán)流為： 2 o jB 表明無窮大平板兩側(cè) 分別是均勻磁場(chǎng)。 abBldB 2 第三篇 電 磁 學(xué) 例 3： 無

23、限長直密繞載流螺線管（理想密繞螺線管）的磁場(chǎng)。電流為 I，線 圈密度為 n。 解： 理想密繞螺線管，管內(nèi)的磁 場(chǎng)是均勻的，管外的磁場(chǎng)為 0， 方向由右手螺旋法則確定。 作閉合環(huán)路 abcda， ab平行于軸 線。環(huán)路內(nèi)的電流代數(shù)和為： IabnI a b d c 環(huán)流為： nIB 0 其方向與電流滿足右手螺旋關(guān)系。 表明無限長螺線管內(nèi)部是均勻磁場(chǎng)，外部磁場(chǎng)為零。能量 集中在螺線管內(nèi)部。 思考 IabnabBldB 0 第三篇 電 磁 學(xué) o 1Rr 2R 在管內(nèi)作半徑 為 r 的環(huán)路： 例 4： 求載流密繞螺繞環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)。匝數(shù)為 N ，內(nèi)徑為 R1 ，外徑為 R2 ，通有電流 I 。 理想螺繞

24、環(huán)： 環(huán)的半徑遠(yuǎn)大于環(huán)的粗 細(xì)（ R2 R1）。 解： 當(dāng)螺繞環(huán)的半徑很大時(shí)，相當(dāng)于 一長直螺線管。顯然，螺繞環(huán)的半徑 大小與其磁場(chǎng)的分布無關(guān)，因此，可 以斷言螺繞環(huán)的磁場(chǎng)分布與無限長直 螺線管類似，即管內(nèi)各點(diǎn)磁場(chǎng)大小相 等，方向與電流成右手螺旋關(guān)系。 nIB 0 與直螺管的結(jié)論一致。 若 n為沿軸向線圈密度， NIrBB dl 02 NIIi i r NIB 2 0 第三篇 電 磁 學(xué) 11.4 洛淪茲力 一、磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用力 1. 帶電粒子在磁場(chǎng)中所受的力 在磁場(chǎng) B中的一點(diǎn)，帶電量為 q的粒子 以速度 v運(yùn)動(dòng)時(shí)所受磁場(chǎng)力為（由磁場(chǎng) 定義導(dǎo)出）： Lorentz力 磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作

25、用力 力的方向依靠右手螺旋定則，由三者決定； 洛倫茲力總是垂直與速度方向，所以不對(duì)電荷 做功，只改變速度方向，不改變速度大小。 2. 在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電荷所受的力 電磁力。 mF BvqF m BvqEqF em 第三篇 電 磁 學(xué) 二、帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) 帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)。 R vmqv B 2 2. 速度垂直于磁場(chǎng)方向 帶電粒子所受洛侖茲力總是與運(yùn)動(dòng)速度 方向垂直，所以帶電粒子做 圓周運(yùn)動(dòng) ， 洛倫茲力提供向心力。 1. 速度平行磁場(chǎng)方向 帶電粒子不受 Lorentz力，作 勻速直線運(yùn)動(dòng) 。 / / , 0 0mv B F 第三篇 電 磁 學(xué) 上述公式

26、表明， 周期 T（或頻率）與粒子運(yùn)動(dòng)速度無關(guān) ，速度大的粒子 軌道半徑大，走的路程長，速度小的粒子軌道半徑小走的路程短，但周 期都是相同的 回旋加速器的原理。 回轉(zhuǎn)半徑： qB mvR 回轉(zhuǎn)周期： 2 mT qB 回旋頻率： m qB T 2 1 (gyro-radius) (gyro-period) (gyro-frequency) 第三篇 電 磁 學(xué) 將速度分解為平行于磁場(chǎng)和垂直于磁場(chǎng)的分量。粒子以平行于磁場(chǎng)的 速度分量沿磁場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)；以垂直于磁場(chǎng)的速度做圓周運(yùn)動(dòng)。 所以，其 合運(yùn)動(dòng)為螺旋線運(yùn)動(dòng) 。 螺旋線的半徑 qB mv qB mvR s in 3. 速度方向與磁場(chǎng)方向有夾角

27、 第三篇 電 磁 學(xué) 回旋周期 qB m v R v RT 2 s in 22 螺距 在一個(gè)周期內(nèi)沿磁場(chǎng)方向 行進(jìn)的距離或相鄰螺線間的距離 qB mVTVh 2c o s / h 帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)舉例 帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)有很多應(yīng)用，如磁聚焦、電子 荷質(zhì)比（比荷）的測(cè)定、質(zhì)譜儀、回旋加速器等。 第三篇 電 磁 學(xué) 1. 質(zhì)譜儀 用物理方法分析同位素的儀器。 同位素 有相同的質(zhì)子數(shù)和電子數(shù)，但中子數(shù)不同的元素（即原子 序數(shù)相同但質(zhì)量數(shù)不同的元素）。 它們的化學(xué)性質(zhì)相同，無法用化學(xué)的方向?qū)⑺鼈兎蛛x開。 質(zhì)譜儀由英國化學(xué)家和物理學(xué)家 F.W.Aston (1877 1945）于

28、1919年發(fā)明， 1922年獲得 Nobel獎(jiǎng)。 以速度 v置入一帶電量為 q的粒子， 粒子受到電場(chǎng)和磁場(chǎng)的共同作用。 + + + - - - 速 度 選 擇 器 (mass spectrometer) (isotope) 當(dāng)粒子速度滿足電場(chǎng)力等于洛倫 茲力時(shí)，保持直線運(yùn)動(dòng) qvBqE BEv / 粒子豎直向下運(yùn)動(dòng)穿過狹縫進(jìn)入下方磁場(chǎng)；通過調(diào)整 E 和 B 可選 擇粒子速度。 第三篇 電 磁 學(xué) R qB mvR 可見，質(zhì)量大的同位素粒子，軌道半 徑大，質(zhì)量小的同位素粒子，軌道半 徑小。不同質(zhì)量的粒子在膠片屏上留 下不同的質(zhì)譜線。 質(zhì) 譜 線 在 中作圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為 根據(jù)質(zhì)譜線的位置，可

29、 推出同位素的質(zhì)量。 第三篇 電 磁 學(xué) 2. 回旋加速器 為了獲得 106（百萬） 1011（千億） eV的帶電粒子，使其 足以破壞原子和原子核，從而研 究原子核的結(jié)構(gòu)，簡單的方法是 使用電場(chǎng)和磁場(chǎng)來實(shí)現(xiàn)對(duì)帶電粒 子的多次反復(fù)加速。 用于產(chǎn)生高能粒子的裝置， 其結(jié)構(gòu)為金屬雙 D 形盒，在其上 加有磁場(chǎng)和交變的電場(chǎng)。將一帶 電粒子置于雙 D形盒的縫隙處， 在電場(chǎng)的作用下，進(jìn)入左半盒， 由于金屬具有靜電屏蔽作用，帶 電粒子在磁場(chǎng)的作用下作圓周運(yùn) 動(dòng)，進(jìn)入縫隙后，電場(chǎng)極性變換， 粒子被再次加速。 進(jìn)入右半盒，由于速度增加，軌道半 徑也增加。然后又穿過縫隙，電場(chǎng)極 性又變換，粒子不斷地被加速。 能量

30、不斷增大，成為高能粒子后引出 轟擊靶。 (cyclotron) 第三篇 電 磁 學(xué) 第三篇 電 磁 學(xué) 美國費(fèi)米國家加速器實(shí)驗(yàn)室 的俯視圖。芝加哥附近，世 界第二大， 6.3公里周長，質(zhì) 子被加速到 8GeV。 歐洲大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī) LHC分布在 法國和瑞士兩國的邊界。 27公里 周長、 175米地下。使用兩束 7TeV質(zhì)子或 574Tev鉛原子核對(duì)撞 第三篇 電 磁 學(xué) 大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī) LHC圖片 第三篇 電 磁 學(xué) 三、經(jīng)典霍爾效應(yīng) Hall Effect 1.原因 : 是由于運(yùn)動(dòng)電荷在 磁場(chǎng)中受 Lorentz力的結(jié)果。 設(shè)載流導(dǎo)體的寬為 b，厚為 d， 通有電流 I 。 1879年霍耳發(fā)

31、現(xiàn)，如果給磁場(chǎng)中 的導(dǎo)體（半導(dǎo)體）沿縱向通以電 流，則在導(dǎo)體（半導(dǎo)體）橫向兩 側(cè)面出現(xiàn)一定的電勢(shì)差，這種現(xiàn) 象就叫 霍爾效應(yīng) ，所產(chǎn)生的電勢(shì) 差稱為 霍爾電壓 。 載流導(dǎo)體（半導(dǎo)體）中的運(yùn)動(dòng)電荷在洛倫茲力的作用下，向上偏轉(zhuǎn)， 在導(dǎo)體的上表面積累了正電荷，下表面出現(xiàn)負(fù)電荷，在上下兩面間形成電 場(chǎng) E，出現(xiàn) Hall電壓 VH 。帶電粒子將受到向下的電場(chǎng)力 Fe的作用。 HU 第三篇 電 磁 學(xué) 當(dāng)電場(chǎng)力與 Lorentz力平衡時(shí)，上下表面出現(xiàn)穩(wěn)定電荷分布， UH 穩(wěn)定。 qvBqE qv BbUq H bvBU H SqnvI 由 有 d IB nqn S q b IBU H 1 Hall系數(shù)

32、nqRH 1 d IBRU HH HU 第三篇 電 磁 學(xué) 由于導(dǎo)體內(nèi)有大量的自由電荷， n 較大， RH 較小，故導(dǎo)體的霍爾效應(yīng) 較弱。 而半導(dǎo)體界于導(dǎo)體與絕緣體之間，其內(nèi)的自由電荷較少， n 較小， RH 較大，故半導(dǎo)體的霍爾效應(yīng)顯著。 討論 3. Hall效應(yīng)的應(yīng)用 測(cè)量半導(dǎo)體的性質(zhì) 半導(dǎo)體根據(jù)摻雜不同，有空穴型（ p型）半導(dǎo)體，和電子型（ n型）半 導(dǎo)體。 P型半導(dǎo)體的主要載流子為正電荷， n型為負(fù)電荷； P 型半導(dǎo)體： VH0 N型半導(dǎo)體： VH0 由 VH 的正負(fù)就可知道 半導(dǎo)體的類型。 第三篇 電 磁 學(xué) 測(cè)量磁場(chǎng) d IBRV HH BVH 利用此原理制成高斯計(jì)測(cè)量外 界磁場(chǎng)。

33、探頭用 Hall元件制成，通 過測(cè)量 VH，折算成 B 。 探頭 高 斯 計(jì) 測(cè)量大電流 幾萬安培 由 d IBRV HH 用霍 Hall元件測(cè)量大電流周圍 的磁場(chǎng)，可推算出動(dòng)力線中流過的 電流 I。 可知 B，再由無限電流 I 與 B 之間的關(guān)系可知 I 。 第三篇 電 磁 學(xué) 磁流體發(fā)電 把燃料（油、煤氣 和原子能反應(yīng)堆）加熱 而產(chǎn)生的高溫（約 3000K）氣體，以高速 v（約 1000 m/s）通過 用耐高溫材料制成的導(dǎo) 電管，氣體在高溫情況 下，原子中的一部分電 子克服了原子核引力的 束縛而變成自由電子， 同時(shí)原子則因失去了電 子而變成帶正電的離子， 電極 發(fā)電通道 導(dǎo)電氣體 N S

34、第三篇 電 磁 學(xué) 再在這種高溫氣流中加入少量 容易電離的物質(zhì)（如鉀和銫）， 更能促進(jìn)氣體的電離，從而提 高氣體的導(dǎo)電率，使氣體差不 多達(dá)到等離子狀態(tài)，如在垂直 于氣體運(yùn)動(dòng)的方向加上磁場(chǎng)， 則氣流中的正、負(fù)離子由于受 洛倫茲力的作用，將分別向垂 直于 v 和 B 的兩個(gè)相反方向 偏轉(zhuǎn) 結(jié)果在導(dǎo)電管兩個(gè)電極上 產(chǎn)生電勢(shì)差。如果不斷提 供高溫、高速的等離子氣 體，便能在電極上連續(xù)產(chǎn) 生電能。 電極 電極 導(dǎo)電氣體 發(fā)電通道 +q -q 第三篇 電 磁 學(xué) 一、安培力 放置于磁場(chǎng)中的載流導(dǎo)線將會(huì)受到磁場(chǎng)的作用力，通常稱為 安培力 。 安培力本質(zhì)上是導(dǎo)線中的載流子受到的洛倫茲力。 電流元中共有載流子數(shù)

35、為 電流元中所有載流子洛倫茲合力為 nSdldN 11.5 安培力 BlIdFd 如圖所示，電流元 Idl處于磁場(chǎng) B 中，設(shè)載流子數(shù)密度為 n，電流 元的橫截面為 S，則電流元中任 一載流子所受洛倫茲力為 BvqF q Bvqn S d lFdNFd q 前面五項(xiàng)恰好是電流元 電流元所受安培力公式為： 第三篇 電 磁 學(xué) 有限長載流導(dǎo)體所受安培力 L BlIdF 計(jì)算一段電流在磁場(chǎng)中受到的 安培力時(shí)，應(yīng)先將其分割成無限多 電流元，將所有電流元受到的安培 力求矢量和 矢量積分。 式中積分方向?yàn)殡娏髁飨颍e分遍及電流所在空間。 注意： Ampere力的方向：由右手螺旋 法則確定。 Ampere力

36、移動(dòng)載流導(dǎo)線要作功， 而 Lorentz力永不作功。 第三篇 電 磁 學(xué) 例 1： 在無限長載流直導(dǎo)線 I1 旁，垂直放置另一長為 L 的載流直導(dǎo)線 I2 , I2 導(dǎo)線左端距 I1 為 a，求導(dǎo)線 I2 所受到的安培力。 解： 建立圖示坐標(biāo)系。距柱標(biāo)原點(diǎn) x處 選擇電流元 I2dx。 I1 電流在其左側(cè)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向垂直屏 幕向里，電流元受力方向豎直向上。電 流元所受安培力大小為： 90s in12 d x BIdF x IB 2 10 1 Laa xdxIIF 2 102 0 1 2 ln2II aLa 方向垂直于 L2， 豎直向上。 第三篇 電 磁 學(xué) 例 2： 在無限長載流直導(dǎo)線旁，距

37、離 a 處放置一半徑為 R 、通有電流 為 I 的圓環(huán)，求載流圓環(huán)受到的安培力。 解： 分析： I2 電流上各點(diǎn)距 I1 的 距離不同，各點(diǎn)的電流方向不同， 所以各點(diǎn)受力大小和方向也不同。 1I a R 2I 第三篇 電 磁 學(xué) 建立圖示坐標(biāo)系， 在 I1電流激發(fā) 的 磁場(chǎng)中 ，任一關(guān)于 x軸對(duì)稱的 電流元 Idl 和 Idl 所受力 dF 和 dF必然關(guān)于 x軸對(duì)稱。 因此 ， 圓環(huán)電流 I2所受 Ampere力沿 x軸 正向。 22 yx FFF xF x dlIIdlBIdF 2 210 12 21 0 1 2 c o s c o s 2 xd F I B d l II dl x 第三篇

38、 電 磁 學(xué) dl Rd c o sx a R 0 1 2 c os 2 c osx II RdF d aR i Ra IIF 11 22210 2 0 1 2 0 c os 2 c os xF dF I I R d aR 第三篇 電 磁 學(xué) 例題 2、 有一段彎曲導(dǎo)線 ab 通有電流 I ，求此導(dǎo)線在如圖所示均勻磁 場(chǎng)中受的力？ BldIF ba )( s inIlBF l ld B a b ba BlIdF l 與磁感應(yīng)強(qiáng)度 B在同一平面內(nèi)，所以，該力方向垂直于紙面向外。 BlIF 均勻磁場(chǎng)中載流曲線導(dǎo)線所受的力 結(jié)論 1： 均勻磁場(chǎng)中載流曲線導(dǎo)線所受的安培力，等于電流從起點(diǎn)流 到終點(diǎn)的直

39、線導(dǎo)線所受的安培力。 結(jié)論 2： 均勻磁場(chǎng)中任意閉合載流導(dǎo)線所受安培力的合力為零。 第三篇 電 磁 學(xué) 例 3： 在均勻磁場(chǎng)中，放置一半徑為 R、所通電流為 I的半圓形導(dǎo)線，求 載流導(dǎo)線所受的 Ampere力。 解： 由均勻磁場(chǎng)中曲線電流受力的 結(jié)論：半圓形電流受到的 Ampere力 相當(dāng)于沿直徑電流受到的安培力。 IBRF 2 第三篇 電 磁 學(xué) 電流 I1在電流 I2處所產(chǎn)生的磁場(chǎng)為： 問題：兩平行長直載流導(dǎo)線，相距為 d 求：每 單位長度線段所受的作用力。 2 21 2212 2 dld IIdlIBdF o 導(dǎo)線 2上 dl2長度受力為 d IIIB dl dF o 2 21 21 2

40、 2 1B2Fd 1I 1Fd2B d I2 二、平行載流直導(dǎo)線間的相互作用 d IB 2 10 1 受力方向 第三篇 電 磁 學(xué) 電流強(qiáng)度的單位： 在其空中有兩根平行的長直線，它們之間相距 1m，兩導(dǎo)線上電流流向 相同，大小相等，調(diào)節(jié)它們的電流，使得兩導(dǎo)線每單位長度上的吸引 力為 2 10-7N m-1，我們就規(guī)定這個(gè)電流為 1A。 d IB o 2 2 2 1 12 1121 2 dld IIdlIBdF o 電流 I2 在電流 I1 處所產(chǎn)生的磁場(chǎng)為： d IIIB dl dF o 2 12 12 1 1 1B2Fd 1I 1Fd2B d I2 受力方向 第三篇 電 磁 學(xué) 11.6 載

41、流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中受到的磁力矩 一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)磁力矩的一般計(jì)算 電流元對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩 /FdrMd 根據(jù)疊加原理，一根導(dǎo)線 載磁場(chǎng)中對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩可 以表示成為 s in/r d FdM s in/r d FdMM 載流導(dǎo)線如果可以轉(zhuǎn)動(dòng)，我們就要考慮安培力的力矩， 即 磁力矩 的計(jì)算，為了簡單起見，下面我們只考慮定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 的情況。 O z Idl B r /F 第三篇 電 磁 學(xué) 例題 1、 有一半園形導(dǎo)線 ab置于均勻磁場(chǎng) B中， B與導(dǎo)線平面平 行，設(shè)轉(zhuǎn)軸 cc 距離導(dǎo)線圓心的距離為 d，試求出導(dǎo)線所受 到的對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩。 MM d 解： 在導(dǎo)線上任取一電流元 Idl，則受到的安培力大小為 s ins

42、 in BI R dI d lBdF 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩可以表示為： )s i n(s i n )s i n( RdBI R ddM RddFdM 考慮到力矩的方向后，整個(gè)導(dǎo)線對(duì) 轉(zhuǎn)軸的力矩為： d R B Idl a b c c 第三篇 電 磁 學(xué) MM d 力矩的方向?yàn)椋貉刂D(zhuǎn)軸的方向向上。 0 dRdI R B )s in(s in )s i ns i n( 0 2 0 dRddI RB )( RdI R B 22 d R B Idl a b c c 第三篇 電 磁 學(xué) 平面載流線圈在均勻磁場(chǎng)中，因 受 Ampere力的作用要發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。 磁電式系列電表指針轉(zhuǎn)動(dòng)：在永 久磁鐵的兩極之間的空氣隙內(nèi)

43、放一個(gè) 可繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的線圈，載流線圈在 磁場(chǎng)中受力矩的結(jié)果。 二、載流線圈在磁場(chǎng)中受的力矩 第三篇 電 磁 學(xué) 1. 載流線圈受力分析 c os)2s i n ( 22 BIlBIlF da c os)2s i n ( 22 BIlBIlF bc 可見， Fda 與 Fbc大小相等方向相反， 作用在一條直線上，相互抵消，對(duì)線 圈運(yùn)動(dòng)無影響。 da和 bc邊 所 受的 Ampere力 第三篇 電 磁 學(xué) ab和 cd邊 所 受的 Ampere力 : BIlBIlF ab 11 90s in 可見， Fab 與 Fcd大小相等方向 相反，但不在一條直線上，成 為一對(duì)力偶，要產(chǎn)生力矩。 BIlBI

44、lF cd 11 90s in 力偶 大小相等、方向相反，但作用線不共線的一對(duì)力。 第三篇 電 磁 學(xué) 2. 磁力偶矩 s in22 2lFM ab s in22 21 lBIl 12 s i nIl l B 作用在線圈 ab和 cd邊的力的力矩為 從上向下看 如果為 N 匝相同平面線圈： s in21 BlN IlM 力矩方向豎直向上。 第三篇 電 磁 學(xué) 引入 線圈磁矩 s in21 BlIlM m IS nllS 21 方向與電流流向成右 手螺旋關(guān)系 線圈所受磁力矩可表示為 s i nM m B M m B 可以證明，力偶的力矩與轉(zhuǎn)軸的 位置無關(guān)。 第三篇 電 磁 學(xué) 3. 討論 1)

45、當(dāng) = 0 ，即線圈平面與磁場(chǎng)垂 直時(shí)， M=0。線圈處于 穩(wěn)定平衡狀 態(tài) 使線圈轉(zhuǎn)過一微小角度能自 動(dòng)回到初試狀態(tài)。 o M m B 第三篇 電 磁 學(xué) o 2) 當(dāng) = 900 ，即線圈平面 與磁場(chǎng)平行時(shí)， M = Mmax。 M m B 第三篇 電 磁 學(xué) o 3) 當(dāng) = 1800 ，即線圈平面與 磁場(chǎng)垂直時(shí)， M=0。線圈處于 非穩(wěn)定平衡狀態(tài) 如 使線圈 轉(zhuǎn)過一微小角度，將遠(yuǎn)離初 始狀態(tài)。 M m B 第三篇 電 磁 學(xué) 例 1： 在均勻磁場(chǎng) B 中，一半徑為 R、通有電流為 I 的環(huán)形 載流線圈可繞直徑軸 O O 自由轉(zhuǎn)動(dòng) ,求：環(huán)形載流線圈受到 的力矩。 解： 在圖示位置中，線圈的磁矩 方向垂直向外，所以磁力矩豎直 向上。 o o 02 sin 9 0M m B R I B 第三篇 電 磁 學(xué) 例題 2 均勻磁場(chǎng)中有如圖形狀的載流導(dǎo)線，其中 ab為半徑為 R的 1/4圓弧，導(dǎo)線上電流如圖所示。若 abc可繞 ac軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 則該導(dǎo)線在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中受到的對(duì) ac軸的最大力矩為多少？ a b c o I045 B 方向沿軸線向上或向下 ) 2 1 4 1( 22 m a x RRBIM