《高等數(shù)學(xué)第四講(4學(xué)分)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)第四講(4學(xué)分)（36頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1 第 一 章 1、 和 差 積 商 的 極 限 等 于 極 限 的 和 差 積 商第 三 講 主 要 內(nèi) 容 回 顧 ：2、 復(fù) 合 函 數(shù) 極 限 的 運(yùn) 算 法 則3、 分 式 函 數(shù) 的 極 限 ： )(lim0 xRxx )(lim )(lim00 xQ xPxx xx )( )( 00 xQ xP )( 0 xR 2 x趨 于 無 窮 大 時(shí) ， 分 式 函 數(shù) 的 極 限 ：為 非 負(fù) 常 數(shù) )nmba ,0( 00 mn當(dāng)mmmx axaxa 110lim nnn bxbxb 110 ,00ba ,0 , mn當(dāng)mn當(dāng) 3 4、兩個(gè)重要的極限1sinlim0 xxx exxx

2、 )1(lim 15、無窮小量的階：重點(diǎn)掌握等價(jià)無窮小6、求極限時(shí)的等價(jià)無窮小因式代替規(guī)則: 4 第 四 節(jié) 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 第 一 章 5 函 數(shù) )(xf 在 點(diǎn) 0 x4.1、 連 續(xù) 函 數(shù) 的 概 念定 義 : )(xfy 在 0 x 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 , ,)()(lim 00 xfAxfxx 則 稱 函 數(shù) .)( 0連續(xù)在xxf(1) )(xf 在 點(diǎn) 0 x 即 )( 0 xf(2) 極 限 )(lim0 xfxx(3) .)()(lim 00 xfxfxx 設(shè) 函 數(shù) 連 續(xù) 必 須 具 備 下 列 條 件 :存 在 ; 且有 定 義 , 存 在 ;1

3、、 函 數(shù) 在 點(diǎn) x0處 連 續(xù) 的 概 念 6 若x0不是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，則稱x0是函數(shù)的間斷點(diǎn) ，函數(shù)在此點(diǎn)是間斷的。 7 考 察 函 數(shù)討 論 0 x 處 的 連 續(xù) 性 . xyo 11 xy 1 1 xy解 : 因 為 )(lim0 xfx 不 存 在 .1, 0( ) 0 , 01, 0 x xf x xx x 所以上述函數(shù)在0處不連續(xù)。 8 自 變 量 在 x0的 增 量 ,0 xxx 函 數(shù) 在 點(diǎn) x0的 增 量 ：)()( 0 xfxfy )()( 00 xfxxf )()(lim 00 xfxfxx )()(lim 000 xfxxfx 0lim0 yx函 數(shù) 0 x)(

4、xf 在 點(diǎn) 連 續(xù) 有 下 列 等 價(jià) 命 題 :函數(shù)在 x0處連續(xù)的增量定義 9 結(jié)論：函數(shù)在 x0處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在此點(diǎn)處的增量是無窮小。 10 函 數(shù) 在 點(diǎn) x0處 單 側(cè) 連 續(xù)左連續(xù)：右連續(xù)：,)()0()(lim 000 xfxfxfxx ,)()0()(lim 00 0 xfxfxfxx 函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在此點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。 11 例：設(shè)函數(shù) 1/ 13)( xxa xxxf問：當(dāng)a取何值時(shí)，函數(shù)在1處連續(xù)？解：.41 )/(lim)(lim 4)3(lim)(lim 11 11 aaxaxf xxf xx xx處有極限，則欲使函數(shù)在。的函數(shù)值恰好

5、是時(shí)，414 xa處連續(xù)。時(shí)，函數(shù)在時(shí)，當(dāng)14 )1(4)(lim4 1 a fxfa x 12 函 數(shù) 在 區(qū) 間 連 續(xù) 的 概 念若 )(xf 在 某 開 區(qū) 間 上 每 一 點(diǎn) 都 連 續(xù) , 則 稱 它 在 該 區(qū) 間 上連 續(xù) , 或 稱 它 為 該 區(qū) 間 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) . 13 證 明 ： nnxaxaaxP 10)( 在 ),( 上 連 續(xù) .證 明 ： 有 理 分 式 函 數(shù) )( )()( xQ xPxR 在 其 定 義 域 內(nèi) 連 續(xù) . 14 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在a,b 連續(xù)指：函數(shù)在右端點(diǎn)處左連續(xù)，而在左端點(diǎn)處右連續(xù)及相應(yīng)的開區(qū)間連續(xù)。 15 在在函

6、數(shù) 的 間 斷 點(diǎn) （ 不 連 續(xù) 點(diǎn) ） ：(1) 函 數(shù) )(xf 0 x(2) 函 數(shù) )(xf 0 x )(lim0 xfxx 不 存 在 ;(3) 函 數(shù) )(xf 0 x )(lim0 xfxx 存 在 , 但)()(lim 00 xfxfxx 設(shè) 0 x在 點(diǎn))(xf 的 某 去 心 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 ,符 合 上 述 情 形 之 一 的 點(diǎn) 0 x 雖 有 定 義 , 但雖 有 定 義 , 且稱 為 函 數(shù) 的 間 斷 點(diǎn) . 在 無 定 義 ; 16 例：x=1/2是函數(shù)12 14 2)( xxxf的間斷點(diǎn)例：考察x=0是不是符號函數(shù) 01 00 01sgn)( xxx

7、xxf的間斷點(diǎn)。 17 間 斷 點(diǎn) 分 類 :第 一 類 間 斷 點(diǎn) :左 右 極 限 都 存 在 的 間 斷 點(diǎn) 。,)()( 00 xfxf若 稱 0 x第 二 類 間 斷 點(diǎn) :左 右 極 限 至 少 有 一 個(gè) 不 存 在 的 間 斷 點(diǎn) 。為 可 去 間 斷 點(diǎn) .無 窮 間 斷 點(diǎn) :屬 于 第 二 類 間 斷 點(diǎn) 。 )(lim0 xfxx 或 )(lim0 xfxx,)()( 00 xfxf若 稱 0 x 為 跳 躍 間 斷 點(diǎn) . 18 1)1(1)(lim1 fxfx 顯 然 1x 為 其 可 去 間 斷 點(diǎn) . 1, 1,)( 21 xxxxfy xoy211 考察y=t

8、anx的間斷點(diǎn)xy tan2 xyo 19 4.2 連 續(xù) 函 數(shù) 的 運(yùn) 算 與初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 第 一 章 20 定 理 2. 連 續(xù) 單 調(diào) 遞 增 (遞 減 ) 函 數(shù) 的 反 函 數(shù)也 連 續(xù) 單 調(diào) 遞 增 (遞 減 ).一 、 連 續(xù) 函 數(shù) 的 運(yùn) 算 法 則定 理 1. 在 某 點(diǎn) 連 續(xù) 的 有 限 個(gè) 函 數(shù) 經(jīng) 有 限 次 和 , 差 , 積 ,( 利 用 極 限 的 四 則 運(yùn) 算 法 則 證 明 )商 (分 母 不 為 0) 運(yùn) 算 , 結(jié) 果 仍 是 一 個(gè) 在 該 點(diǎn) 連 續(xù) 的 函 數(shù) .(證 明 略 ) 21 xey 在 ),( 上 連 續(xù) 單

9、 調(diào) 遞 增 ,其 反 函 數(shù) xy ln 在 ),0( 上 也 連 續(xù) 單 調(diào) 遞 增 .因 為 xx cot,tan 在 其 定 義 域 內(nèi) 連 續(xù)連續(xù)xx cos,sin因 為因 為 xy sin 在 , 22 上 連 續(xù) 單 調(diào) 遞 增 ，其 反 函 數(shù) xy arcsin 在 1 , 1 上 也 連 續(xù) 單 調(diào) 遞 增 .結(jié) 論 ： 基 本 初 等 函 數(shù) 在 其 定 義 域 內(nèi) 連 續(xù) 22 函 數(shù) f(u)在 u0連 續(xù) ， 則 )()(lim)(lim 000 ufufxgf uuxx )(lim( 0 xgf xx 若 函 數(shù) g(x)在 x0連 續(xù) ， )( 0 xgf 連

10、 續(xù) 函 數(shù) 的 復(fù) 合 運(yùn) 算 法 則 00)()(lim0 uxgxgxx 23 例 如 , xy 1sin 是 由 連 續(xù) 函 數(shù) ),(,sin uuy ,1xu *Rx因 此 xy 1sin 在 *Rx 上 連 續(xù) .復(fù) 合 而 成 , 24 二 、 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性基 本 初 等 函 數(shù) 在 定 義 區(qū) 間 內(nèi) 連 續(xù)連 續(xù) 函 數(shù) 經(jīng) 四 則 運(yùn) 算 仍 連 續(xù)連 續(xù) 函 數(shù) 的 復(fù) 合 函 數(shù) 連 續(xù) 一 切 初 等 函 數(shù)在 定 義 區(qū) 間 內(nèi)連 續(xù)例 如 , 21 xy 的 連 續(xù) 區(qū) 間 為 1,1 (端 點(diǎn) 處 單 側(cè) 連 續(xù) )xy sinln 的 連

11、續(xù) 區(qū) 間 為 Znnn ,)12(,2( 求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間只要求定義域即可。 25 利用連續(xù)性求極限例：求xxxx arctan4 )2ln(1 2lim 32 2lim xx e )ln(arctanlim x x 26 4.3閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 第 一 章 27注 意 : 若 函 數(shù) 在 開 區(qū) 間 上 連 續(xù) ,結(jié) 論 不 一 定 成 立 . 一 、 最 值 定 理定 理 1.在 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 的 函 數(shù)即 : 設(shè) ,)( baCxf 則 , 21 ba 使)(min)( 1 xff bxa )(max)( 2 xff bxa 值 和 最 小 值

12、.或 在 閉 區(qū) 間 內(nèi) 有 間 斷 點(diǎn) 在 該 區(qū) 間 上 一 定 有 最 大(證 明 略 ) 28 例 如 , )1,0(, xxy無 最 大 值 和 最 小 值 xoy 11 21,3 1,1 10,1)( xx x xxxf xoy 11 22也 無 最 大 值 和 最 小 值 又 如 , 29 推 論 . 二 、 介 值 定 理定 理 2. ( 零 點(diǎn) 定 理 ) ,)( baCxf 至 少 有 一 點(diǎn),),( ba且 使 .0)( f0)()( bfaf ( 證 明 略 )在 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 的 函 數(shù) 在 該 區(qū) 間 上 有 界 . 30 中 間 值 定 理 設(shè) ,)(

13、baCxf 且 ,)( Aaf ,)( BABbf 則 對 A 與 B 之 間 的 任 一 數(shù) C ,一 點(diǎn) ,),( ba證 : 作 輔 助 函 數(shù) Cxfx )()(則 ,)( baCx 且)()( ba )( CBCA 0故 由 零 點(diǎn) 定 理 知 , 至 少 有 一 點(diǎn) ,),( ba 使 ,0)( 即 .)( Cf 推 論 : A b xoy a )(xfy BC 使 .)( Cf 至 少 有在 閉 區(qū) 間 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) 必 取 得 介 于 最 小 值 與 最大 值 之 間 的 任 何 值 . 31 例 . 證 明 方 程 014 23 xx一 個(gè) 根 .證 : 顯 然 ,

14、1,014)( 23 Cxxxf 又,01)0( f 02)1( f故 據(jù) 零 點(diǎn) 定 理 , 至 少 存 在 一 點(diǎn) ,)1,0( 使 ,0)( f 即014 23 在 區(qū) 間 )1,0( 內(nèi) 至 少 有 32 )15)(1( )3)(2)(1( 2lim nn nnnn1、 求 下 列 數(shù) 列 的 極 限習(xí) 題 選 講 )1(lim nnn 1sin3lim n nnn 11 5)2( 5)2(lim nn nnn 33)(lim 44212 2 xxx1cos 10 2lim xex x xx x sinlim2、 求 下 列 函 數(shù) 的 極 限 習(xí) 題 選 講 x xxx 11lim 1 10lim xxx n ax axax sinsinlim x xx sinlim 34 3、求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，若有間斷點(diǎn)，判斷間斷點(diǎn)的類型。xx、y 1sin1 23 12 22 xx x、y 35 4、利用函數(shù)的連續(xù)性，求下列極限)cos(lim 11 xxx 36 課 后 作 業(yè)P57-58： 19（ 奇 數(shù) 題 ） 、 20 （ 1、 3、 5）