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1、第 三 章 MATLAB的 符 號 運 算 matlab 不 僅 具 有 數(shù) 值 運 算功 能 ， 還 開 發(fā) 了 在 matlab環(huán) 境 下實 現(xiàn) 符 號 計 算 的 工 具 包 SymbolicMath Toolbox 符 號 運 算 的 功 能 符 號 表 達 式 、 符 號 矩 陣的 創(chuàng) 建 符 號 線 性 代 數(shù) 因 式 分 解 、 展 開 和 簡 化 符 號 代 數(shù) 方 程 求 解 符 號 微 積 分 符 號 微 分 方 程 一 、 符 號 運 算 的 基 本 操 作1. 什 么 是 符 號 運 算 與 數(shù) 值 運 算 的 區(qū) 別 數(shù) 值 運 算 中 必 須 先 對 變 量 賦 值

2、 ，然 后 才 能 參 與 運 算 。 符 號 運 算 無 須 事 先 對 獨 立 變 量賦 值 ， 運 算 結(jié) 果 以 標 準 的 符 號 形 式表 達 。 特 點 ： 運 算 對 象 可 以 是 沒 賦 值 的 符 號 變 量 可 以 獲 得 任 意 精 度 的 解 Symbolic Math Toolbox符 號 運 算工 具 包 通 過 調(diào) 用 Maple軟 件 實 現(xiàn) 符 號計 算 的 。 maple軟 件 主 要 功 能 是 符 號 運 算 ，它 占 據(jù) 符 號 軟 件 的 主 導 地 位 。 2. 符 號 變 量 與 符 號 表 達 式語 法 格 式 1： sym(arg);其

3、中 ， arg： 數(shù) 字 ，字 符 串 或 表 達 式 ；f = sym(sin(x)+5x)f 符 號 變 量 名sin(x)+5x 符 號 表 達 式 符 號 標 識v符 號 表 達 式 一 定 要 用 單 引 號 括 起 來matlab才 能 識 別 。 的 內(nèi) 容 可 以 是 符 號 表 達 式 ， 也 可 以 是符 號 方 程 。例 ： f1=sym(ax2+bx+c) 二 次 三 項 式 f2= sym(ax2+bx+c=0) 方 程 f3=sym(Dy+y2=1)微 分 方 程 符 號 表 達 式 或 符 號 方 程 可 以 賦 給 符 號 變量 ， 以 后 調(diào) 用 方 便 ；

4、也 可 以 不 賦 給 符 號 變量 直 接 參 與 運 算 2. 符 號 變 量 與 符 號 表 達 式語 法 格 式 2：(1) syms a b c x y;%創(chuàng) 建 多 個 符 號 變 量 f1 =a*x2+b*x+c*y;%等 價 于 f1=sym(a*x2+b*x+c*y)(2) syms(a,b,c,x,y); %創(chuàng) 建 多 個 符號 變 量 f2=a*x2+b*x+c*y; 3.符 號 矩 陣 的 創(chuàng) 建 數(shù) 值 矩 陣 A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不 識 別用 matlab函 數(shù) sym創(chuàng) 建 矩 陣 （ symbolic 的 縮 寫 )命 令 格 式 ： A=s

5、ym( ) 符 號 矩 陣 內(nèi) 容 同 數(shù) 值 矩 陣 需 用 sym指 令 定 義 需 用 標 識 例 如 ： A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0 這 就 完 成 了 一 個 符 號 矩 陣 的 創(chuàng) 建 。注 意 ： 符 號 矩 陣 的 每 一 行 的 兩 端 都 有 方 括 號 ， 這 是 與 matlab數(shù) 值 矩 陣 的 一 個 重 要 區(qū) 別 。 符 號 矩 陣 的 修 改 a.指 令 修 改v 用 A1=subs(A, old, new)來 修 改v A(*,*)= new 例 如 ： A = a, 2*b 3*a, 0 A(2

6、,2)=8*b;A3=AA3 = a, 2*b 3*a, 8*bA2=subs(A, b, c) A2 = a, 2*c 3*a, 0 v將 數(shù) 值 矩 陣 轉(zhuǎn) 化 為 符 號 矩 陣 函 數(shù) 調(diào) 用 格 式 ： sym(A)A=1/3,2.5;1/0.7,2/5A = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000sym(A)ans = 1/3, 5/210/7, 2/5 符 號 矩 陣 與 數(shù) 值 矩 陣 的 轉(zhuǎn) 換 v將 符 號 矩 陣 轉(zhuǎn) 化 為 數(shù) 值 矩 陣函 數(shù) 調(diào) 用 格 式 ： double(A),eval(A)A = 1/3, 5/210/7, 2/5eval(A)

7、ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 1. 符 號 表 達 式 的 基 本 運 算二 、 符 號 運 算新 版 Matlab利 用 重 載 技 術(shù) ， 其 基 本 運 算 符 號 與 數(shù) 值 計 算 中 的 算 符幾 乎 完 全 相 同 。（ 1） 基 本 算 符 ： +,-,*,/,分 別 實 現(xiàn) 矩 陣 的 加 、 減 、 乘 、 右 除 、左 除 和 求 冪 運 算 。 算 符 .*,./,.,.分 別 實 現(xiàn) 元 素 對 元 素 的 乘 、 除 和求 冪 。 算 符 和 .分 別 實 現(xiàn) 矩 陣 的 共 軛 轉(zhuǎn) 置 和 非 共 軛 轉(zhuǎn) 置 。 （ 2） 關(guān)

8、 系 運 算 符 ： 在 符 號 對 象 的 比 較 中 沒 有 “ 大 于 ” 、 “ 大 于等 于 ” ， “ 小 于 ” ， “ 小 于 等 于 ” 的 概 念 而 只 有 “ 等 于 ” 和“ 不 等 于 ” ， 分 別 表 示 為 “ =” 和 “ =” ， 比 較 的 結(jié) 果 用 1表 示真 ， 0表 示 假 。 1. 符 號 表 達 式 的 基 本 運 算 二 、 符 號 運 算新 版 Matlab利 用 重 載 技 術(shù) ， 其 基 本 運 算 符 號 與 數(shù) 值 計 算 中 的 算 符幾 乎 完 全 相 同 .（ 3） 三 角 函 數(shù) 、 雙 曲 函 數(shù) 和 它 們 的 反 函

9、 數(shù) ： 除 atan2不 能 用 于 符號 運 算 之 外 ， 其 它 三 角 函 數(shù) 都 可 用 于 符 號 表 達 式 計 算 . （ 4） 指 數(shù) 、 對 數(shù) 函 數(shù) ： 函 數(shù) sqrt(),exp(),expm(),log(),log2()和log10()都 能 用 于 符 號 計 算 .（ 5） 復 數(shù) 函 數(shù) ： 復 數(shù) 共 軛 conj， 實 部 real， 虛 部 imag和 求 模 abs與 數(shù) 值 計 算 相 同 ， 但 沒 有 求 相 位 角 函 數(shù) （ angle） .（ 6） 矩 陣 函 數(shù) ： 函 數(shù) diag(),triu(),tril(),inv(),det

10、(),rank(),rref(),poly(),expm()和 eig()等 都 能 用 于 符 號 計 算 . 例 1： 加 法 運 算f= 2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; syms x f=2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; h=f+g h = 3*x2+4*x-12例 2： 乘 除 法 運 算f=cos(x);g= sin(2*x); syms x f=cos(x);g=sin(2*x); h=f/g+f*g h=cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x) 2. 任 意 精 度 的 數(shù) 學 運 算 符 號 計 算 的 顯 著 特 點 是 計 算

11、 過 程 中 不 會 出 現(xiàn) 舍 入誤 差 ， 從 而 可 以 得 到 任 意 精 度 的 數(shù) 值 解 。 而 數(shù) 值 計 算受 計 算 機 字 長 限 制 ， 每 次 數(shù) 值 操 作 都 帶 截 斷 誤 差 ， 任何 數(shù) 值 計 算 無 論 采 用 什 么 算 法 都 會 產(chǎn) 生 累 積 誤 差 。 浮 點 算 術(shù) 運 算1/2+1/3 (定 義 輸 出 格 式 format long)ans =0.83333333333333 符 號 運 算sym(1/2+1/3)ans = 5/6 精 確 解 任 意 精 度 算 術(shù) 運 算digits(n) 設(shè) 置 可 變 精 度 ， 默 認 值 32

12、位 有 效 數(shù) 字 。vpa(x,n) 顯 示 可 變 精 度 的 有 效 數(shù) 字 位 數(shù) 。digits(25)vpa(1/2+1/3)ans =.8333333333333333333333333 vpa(5/6,40) ans =.8333333333333333333333333333333333333333 a=sym(1/4,exp(1);log(3),3/7)a = 1/4,exp(1)log(3), 3/7vpa(a,10)ans =.2500000000, 2.7182818281.098612289, .4285714286 diff(f) 對 缺 省 變 量 求 微 分

13、diff(f,v) 對 指 定 變 量 v求 微 分 diff(f,v,n) 對 指 定 變 量 v求 n階 微 分 int(f) 對 f表 達 式 的 缺 省 變 量 求 積 分 int(f,v) 對 f表 達 式 的 v變 量 求 積 分 int(f,v,a,b) 對 f表 達 式 的 v變 量 在 （ a,b) 區(qū) 間 求 定 積 分3. 符 號 微 積 分 與 積 分 變 換 int（ 被 積 表 達 式 ， 積 分 變 量 ， 積 分 下 限 ， 積 分 上 限 ） 定 積 分缺 省 時 為 不 定 積 分例 1.計 算 定 積 分 syms x;f=2*xh=int(f,x,0,2

14、)h=4例 2.計 算 二 重 不 定 積 分 dxdyxe xy F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)F=1/y*exp(-x*y) ztrans(fn,n,z) 求 時 域 序 列 fn的 Z變 換iztrans(FZ,z,n) 求 頻 域 序 列 FZ的 Z反 變 換 fnlaplace(ft,t,s) 求 時 域 函 數(shù) ft的 拉 氏 變 換 Fsilaplace(Fs,s,t) 求 頻 域 Fs的 拉 氏 反 變 換 ftfourier(ft,t,w) 求 時 域 ft的 付 氏 變 換 Fwifourier(Fw,w,t) 求 頻 域 Fw的 付 氏 反 變 換

15、 ft例 3.計 算 f=sym(x*exp(-x*10)的 Z變 換F=ztrans(f,x,z)F=z*exp(-10)/(z-exp(-10)2 例 4. 計 算 指 數(shù) 函 數(shù) eAt。用 拉 氏 反 變 換 法 計 算 。 eAt的 公 式 為 ： eAt = L-1(sI-A)-1系 統(tǒng) 矩 陣 A= 32 10 tttt tttt eeee eeee 22 22 222 2eAt =結(jié) 果 ： a=0 1;-2 -3; syms s b=(s*eye(2)-a)b = s, -1 2, s+3 B=inv(b) (s+3)/(s2+3*s+2), 1/(s2+3*s+2) -2/

16、(s2+3*s+2), s/(s2+3*s+2) b=ilaplace(B,s,t) 4. 極 限 ， 序 列 求 和 和 泰 勒 級 數(shù)1. limit(f,x,a) 計 算 符 號 表 達 式 f(x)在 xa時 的 極 限 值 ;limit(f,x,a,right)或 limit(f,x,a,left) 計 算 f(x)的 單 側(cè) 極 限 ;2. symsum(f,n,a,b) 計 算 符 號 表 達 式 f(n)在 n取 遍 a,b區(qū) 間 所有 整 數(shù) 時 的 和 ;3. taylor(f,x, Order,n, ExpansionPoint,a) 計 算 符 號 表 達 式f(x)在

17、 a點 的 n-1階 Taylor展 開 多 項 式 ；例 1： 求 f=1/x+1在 x 時 的 極 限 值syms x f=1/x+1h=lim(f,x,inf) 例 2： 求 級 數(shù) 1+2+n+的 和syms nf=nh=symsum(f,n,1,10)例 3： 求 f=ex在 x=2處 的 4階 Taylor展 開syms xf=exp(x)h=taylor(f,x, Order,5, ExpansionPoint,2) 5.符 號 代 數(shù) 方 程 求 解 matlab符 號 運 算 能 夠 解 一 般 的 線 性方 程 、 非 線 性 方 程 及 一 般 的 代 數(shù) 方 程 、代

18、數(shù) 方 程 組 。 當 方 程 組 不 存 在 符 號 解時 ， 又 無 其 他 自 由 參 數(shù) ， 則 給 出 數(shù) 值解 。命 令 格 式 ：solve(f) 求 一 個 方 程 的 解Solve(f1,f2, f n) 求 n個 方 程 的 解 例 1. 方 程 ax2+bx+c=0 求 解syms a b c x;f=a*x2+b*x+c solve(f) 對 缺 省 變 量 x求 解ans =1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2) 計 算 機格 式 a acbb 2 42 一 般 格 式 例 2. 符 號 方 程 cos(x

19、)=sin(x) 的 解f1=solve(cos(x)=sin(x),x),f1 =1/4*pi solve(f , b ) 對 指 定 變 量 b求 解ans =-(a*x2+c)/x 例 3. 解 方 程 組 x+y+z=1 x-y+z=2 2x-y-z=1syms x y z;g1=x+y+z-1,g2=x-y+z-2,g3=2*x-y-z-1f=solve(g1,g2,g3,x,y,z)f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1x,y,z)f.z = 5/6, f.y = -1/2, f.x = 2/3 f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y

20、-z=1)f = x: 1x1 sym f.x ans =2/3 y: 1x1 sym f.y ans =-1/2 z: 1x1 sym f.z ans =5/6 x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) x = 2/3 y =-1/2 z =5/6 6. 符 號 微 分 方 程 求 解 用 一 個 函 數(shù) 可 以 方 便 地 得 到 微 分 方 程 的 符 號 解符 號 微 分 方 程 求 解 指 令 ： dsolve命 令 格 式 ： dsolve(f,g) f 微 分 方 程 ， 可 多 至 12個 微 分 方 程 的 求 解 ； g為 初 始 條 件

21、 默 認 自 變 量 為 x,可 任 意 指 定 自 變 量 t, u等 微 分 方 程 的 各 階 導 數(shù) 項 以 大 寫 字 母 D表 示 dtdy dxdy22dtyd nndt yd 22dxyd nndxyd或或或 y的 一 階 導 數(shù) Dyy的 二 階 導 數(shù) D2yy的 n 階 導 數(shù) Dnyy1,y2=dsolve(x1,x2,xn) 返 回 微 分 方 程 的 解 一 階 微 分 方 程dsolve(Dx=y,Dy=x,x(0)=0,y(0)=1)ans =x(t) = (exp(t)-exp(-t)/2, y(t) = (exp(-t)+exp(t)/2二 階 微 分 方

22、程dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0)ans =cos(a*x) 微 分 方 程 組 求 解注 ： eq1,eq2,.為 微 分 方 程 或 微 分 方 程 組 ， cond1,cond2,.,是初 始 條 件 或 邊 界 條 件 ， v是 獨 立 變 量 ， 默 認 的 獨 立 變 量 是 t。 函 數(shù) dsolve用 來 解 符 號 常 微 分 方 程 、 方 程 組 ， 如 果 沒 有 初 始 條件 ， 則 求 出 通 解 ， 如 果 有 初 始 條 件 ， 則 求 出 特 解 。dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond2,., v) X

23、,Y=dsolve(Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-*t),x(0)=2,y(0)=0,t)例 1： 求 的 通 解 。 例 2.y=dsolve(D2y+2*Dy+2*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0)ans =exp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)ezplot(y) 方 程 解 y(x)的 時 間 曲 線 圖22dxyd dxdy2 02 y 00 ）（dxdy，1)0( y 求 該 方 程 的 解 -6 -4 -2 0 2 4 0 50 100 150 200 250 300 x exp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)注 ： ezplot()可 以 在 圖 型 窗 口 繪 制 出 符 號 函 數(shù) 圖 形 ， 也 可 以 畫 隱函 數(shù) 圖 形 ， 形 如 f(x,y)=0這 種 不 能 寫 出 像 y=f(x)這 種 函 數(shù) 的 圖 形 . 小 結(jié) 本 節(jié) 介 紹 了 matlab語 言 的 符 號 運 算功 能 ， 通 過 學 習 應(yīng) 該 掌 握 ： 掌 握 如 何 創(chuàng) 建 、 修 改 符 號 矩 陣 掌 握 符 號 運 算 功 能