《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)技能： 掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，能不解方程求出一元二次方程的兩根和與兩根積 . 能利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來判斷已知兩數(shù)是否是原方程的根， 能靈活解決一 些簡(jiǎn)單的有關(guān)一元二次方程的問題 . 過程與方法： 經(jīng)過小組討論和從特殊到一般的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的體會(huì) . 教學(xué)重點(diǎn) 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 . 教學(xué)難點(diǎn) 韋達(dá)定理的論證 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí) . 1、一元二次方程的一般式？ ax 2 bx c 0(a 0 ， b2 4ac 0) 2、一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是什么？ ( b2 4ac 0) 3、 b 2 4ac ＞ 0 ，即△＞ 0，△ =0，△＜ 0 根的情況如何？ 反過來，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，說明△怎么樣等？ 4、一元二次方程的求根公式 . 二、引入 . 由求根公式可知，一元二次方程的根由系數(shù) a 、 b 、 c 確定，換句話就是說根與系數(shù)有 關(guān)系，今天我們將進(jìn)一步來學(xué)習(xí)并發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)到底還有沒有其他關(guān)系 . 思考填表 . 解出下列各方程的兩根 x1 和 x2 ，并計(jì)算 x1 x2 和 x1 x2 的值 . 方程 x1 x2 x1 x2x1 x x 2 3x 4 0 x2 5 x 1 0 6 6 6x2 x 2 0 9 x2 16 0 2x2 5x 1 0 x Px Q 0 三、新授 師：誰能發(fā)現(xiàn)兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系？ ( 兩根和由一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)得到；而兩根和 是由常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得 ) ( 板書 ) 若 ax 2 bx c 0(a 0 ， b2 4ac 0) ， ( 假設(shè)成立 ) 則 x1 x2 b ， x1 x2 c a a 1、論證韋達(dá)定理 . 師：剛才列舉了部分方程發(fā)現(xiàn)兩根和、兩根積與系數(shù)有這樣的關(guān)系，那么是不 是所有的一元二次方程根與系數(shù)都有關(guān)系呢？ 證明： 當(dāng)△＞ 0時(shí)，由求根根式得： x1 b b 2 4ac ， 2a x2 b b 2 4ac 2a ∴ x1 x2 b b 2 4ac b b2 4ac b 2a a x1 x2 ( b) 2 (b 2 4ac) 4ac c 4a 2 4a 2 a 當(dāng)△ =0時(shí)， x1 x2 b 2a 即 b 2 4ac x1 x2 b b b 2a 2a a x1 x2 b b b2 4ac c 2a 2a 4a2 4a2 a 師：假設(shè)成立，這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也稱韋達(dá)定理，因?yàn)槭? 法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)最先發(fā)現(xiàn)的 . 2、翻書 P47.( 讓學(xué)生劃下韋達(dá)定理 ) 3、寫出方程 25x 2 10x 3 0 的兩根和與兩根積，并解方程檢驗(yàn)其結(jié)果. 解：設(shè)方程 25x2 10 x 3 0的兩根為 x1 ， x2 . 則 x1 10 2 x2 5 25 x1 3 3 x2 25 25 檢驗(yàn)：由求根公式得 10 100 4 25 3 10 20 1 2 x 2 25 50 5 x1 1 3 ， x2 5 5 x1 x2  1 3 2 5 5 5 x1 x2  3 25 課堂小結(jié) 今天我們學(xué)習(xí)了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， 剛才通過填空題我們小結(jié)了一下， 知道 這兩個(gè)關(guān)系我們可以用來求兩根和、 兩根積， 而且可以驗(yàn)算所求的根是否正確， 更重要的是 利用韋達(dá)定理可以簡(jiǎn)捷地解決許多有關(guān)一元二次方程的問題 .