《廣義切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《廣義切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)（62頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 分類號(hào) 密級(jí) UDC 1注 學(xué) 位 論 文 廣 義 切 比 雪 夫 濾 波 器 設(shè) 計(jì) （題名和副題名） 王一凡 （作者姓名） 指導(dǎo)教師姓名 羅正祥 賈寶富 教 授 電子科技大學(xué) 成 都 （職務(wù)、職稱、學(xué)位、單位名稱及地址） 申請(qǐng)專業(yè)學(xué)位級(jí)別 碩士 專業(yè)名稱 物理電子學(xué) 論文提交日期 2007.1 論文答辯日期 2007.3 學(xué)位

2、授予單位和日期 電子科技大學(xué) 答辯委員會(huì)主席 評(píng)閱人 2007 年 3 月 日 注 1：注明國(guó)際十進(jìn)分類法 UDC的類號(hào)。 獨(dú) 創(chuàng) 性 聲 明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作 及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方 外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果，也不包含為 獲得電子科技大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過(guò)的材料。與 我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論

3、文中作了明確的 說(shuō)明并表示謝意。 簽名： 日期： 年 月 日 關(guān)于論文使用授權(quán)的說(shuō)明 本學(xué)位論文作者完全了解電子科技大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文 的規(guī)定，有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤， 允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)電子科技大學(xué)可以將學(xué)位論文的全 部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描 等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。 （保密的學(xué)位論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定） 簽名： 導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日 摘要 近年來(lái)，隨著無(wú)線通訊技術(shù)的飛速發(fā)展，無(wú)線通訊使用的電磁波頻譜變得非 常擁擠。因此，無(wú)線通訊系統(tǒng)對(duì)濾

4、波器的性能指標(biāo)也提出了越來(lái)越高的要求。這 意味著濾波器除了要有小尺寸、高選擇性、低的插入損耗外，還要滿足通帶內(nèi)平 坦的群延遲響應(yīng)和通帶外足夠大的的衰減。通常，這種類型的濾波器都采用廣義 切比雪夫?yàn)V波器來(lái)實(shí)現(xiàn)通訊系統(tǒng)對(duì)它的要求。 廣義切比雪夫?yàn)V波器的傳輸零點(diǎn)，可以位于阻帶內(nèi)的任意位置處，這能更加 靈活地對(duì)濾波器的帶外抑制度進(jìn)行調(diào)節(jié)，其矩形系數(shù)可以做得很高。另外通過(guò)一 些特定的交叉耦合，廣義切比雪夫?yàn)V波器還能實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)，以改善通帶內(nèi) 的群時(shí)延特性，減小信號(hào)的畸變。 本文系統(tǒng)地總結(jié)了廣義切比雪夫?yàn)V波器的綜合過(guò)程，并針對(duì)不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 給出了相應(yīng)的耦合矩陣消元方法。接下來(lái)，文章又給出了六腔同軸結(jié)

5、構(gòu)線性相位 濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)例和測(cè)試曲線。最后，運(yùn)用 MATLAB GUI 的界面編程語(yǔ)言設(shè)計(jì) 了濾波器綜合的計(jì)算程序，使得廣義切比雪夫?yàn)V波器的綜合過(guò)程更加快捷直觀。 實(shí)測(cè)結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的濾波器綜合程序?qū)V義切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)生產(chǎn)有重要 的指導(dǎo)作用，具有很好的工程實(shí)用價(jià)值。 關(guān)鍵詞：廣義切比雪夫?yàn)V波器，交叉耦合，傳輸零點(diǎn)，耦合矩陣 ABSTRACT Recently, with the fast development of wireless communication, the electromagnetic frequency used by wireless communication

6、 becomes very narrow. So, the requirement of filters performance for wireless communication is becoming harder and harder, this means that the filter should have flat group delay response in passband and enough attenuation out of band, besides the common requirement of small size, high selection and

7、 low insert loss. Usually the General Chebyshev filter is used to meet these hard requirements. The transmission zeros of General Chebyshev filter could be placed in any position, so the attenuation out of band is controllable, then a high selection performance could get. In addition, through some s

8、pecial cross couple, the complex transmission zeroes could be formed to improve the group delay response and decrease the distortion. This thesis gives a whole procedure of synthesis the General Chebyshev filter and a variety of couple matrix reducing methods for different topological structures. F

9、urther more, a process of design a linear phase filter with six coaxial cavities is presented and the measured result is recorded. At last, based on MATLAB GUI language, a filter synthesis program is designed, which makes the General Chebyshev filter synthesis fast and simple. A good agreement betwe

10、en the measured result and the synthesized one verifies validity of the program. It would be helpful in engineering application. Keywords: General Chebyshev filter, cross couple, transmission zero, coupling matrix 目錄 摘要 .............................................................................

11、.......................................................I ABSTRACT......................................................................................................................II 目錄 ...............................................................................................................

12、..................III 第一章 緒論 ..................................................................................................................1 1.1 廣義切比雪夫?yàn)V波器的研究意義 .............................................................................1 1.2 國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀 ............................................

13、.........................................................2 1.3 論文的內(nèi)容安排及創(chuàng)新點(diǎn) .........................................................................................3 第二章 廣義切比雪夫?yàn)V波器綜合 ..............................................................................4 2.1 廣義切比雪夫多項(xiàng)式 ........................

14、.........................................................................4 2.2 濾波器 S 參數(shù)與廣義切比雪夫函數(shù)的聯(lián)系 .............................................................5 2.3 用迭代法得出 S 參數(shù)的多項(xiàng)式表達(dá)式 .....................................................................7 2.4 交叉耦合濾波器的等效電路分析 ........................

15、...................................................11 2.5 耦合矩陣綜合 ...........................................................................................................13 第三章 不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合矩陣化簡(jiǎn) ....................................................................19 3.1 用相似變換對(duì)耦合矩陣消元 ...................

16、................................................................19 3.2 折疊型拓?fù)渚仃嚮?jiǎn) ...............................................................................................21 3.3 異型拓?fù)渚仃嚮?jiǎn) ...................................................................................................23 3.4 輪型

17、拓?fù)渚仃嚮?jiǎn) ...................................................................................................24 3.5 CT，CQ 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)單元電路的傳輸特性 ...............................................................26 3.6 CT，CQ 拓?fù)渚仃嚮?jiǎn) ....................................................................................

18、.......29 第四章 廣義切比雪夫線性相位濾波器設(shè)計(jì)實(shí)例 ....................................................33 4.1 廣義切比雪夫?yàn)V波器 21S的群時(shí)延表達(dá)式 .............................................................33 4.2 復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)對(duì)群時(shí)延的影響 ...............................................................................34 4.3 六階線性相位濾波器的實(shí)現(xiàn) .......

19、............................................................................36 4.4 濾波器實(shí)物及測(cè)試結(jié)果 ...........................................................................................39 第五章 基于 MATLAB 的濾波器綜合程序設(shè)計(jì) .....................................................41 5.1 MATLAB GUI 編程簡(jiǎn)介 ...........

20、..............................................................................41 5.2 程序的需求分析 .......................................................................................................42 5.3 程序的模塊化 ..........................................................................................

21、.................43 5.4 程序主體架構(gòu) ...........................................................................................................44 5.5 程序的界面設(shè)計(jì) .......................................................................................................45 第六章 結(jié)束語(yǔ) .................................

22、...........................................................................48 致謝 .................................................................................................................................49 參考文獻(xiàn) ..................................................................................

23、.......................................50 攻讀碩士學(xué)位期間發(fā)表的論文 .....................................................................................52 第一章 緒論 1.1 廣義切比雪夫?yàn)V波器的研究意義 濾波器作為一種二端口網(wǎng)絡(luò)，具有特定的頻率選擇特性，即讓某些頻率的信 號(hào)順利通過(guò)，而對(duì)另外一些頻率的信號(hào)加以阻隔和衰減。目前在雷達(dá)、廣播、無(wú) 線通信等領(lǐng)域，多頻率工作越來(lái)越普遍，對(duì)分隔頻率的要求也相應(yīng)地提高了。因 此，濾波器在這些領(lǐng)域被廣泛運(yùn)用，是微波，毫米波系

24、統(tǒng)中不可缺少的器件，其 性能的優(yōu)劣往往直接影響整個(gè)通信系統(tǒng)的質(zhì)量。 近年來(lái)，隨著無(wú)線通訊技術(shù)的飛速發(fā)展，無(wú)線通訊使用的電磁波頻譜變得非 常擁擠。因此，無(wú)線通訊系統(tǒng)對(duì)濾波器的性能指標(biāo)提出了越來(lái)越高的要求。特別 是在移動(dòng)通訊基站雙工器和多工器中使用的濾波器，除了高選擇性、小尺寸、通 帶內(nèi)低插入損耗的要求以外，對(duì)濾波器通帶內(nèi)的群延遲和通帶外的衰減都提出了 十分苛刻的要求。面對(duì)這些要求，傳統(tǒng)的濾波器比如：最大平坦（Butterworth） 和切比雪夫（Chebyshev ）濾波器很難勝任，因?yàn)槠胀ńY(jié)構(gòu)的濾波器只有通過(guò)增 加階數(shù)來(lái)滿足要求，而這樣卻會(huì)增加濾波器的插損，而且生產(chǎn)出來(lái)的濾波器的重 量和體積都

25、會(huì)非常大，不滿足現(xiàn)代通信的需求。橢圓函數(shù)（Ellipse）濾波器雖然 有良好的選擇性，但實(shí)現(xiàn)起來(lái)卻比較困難。相比之下，廣義切比雪夫（General Chebyshev）濾波器具有更多的優(yōu)越性。廣義切比雪夫?yàn)V波器能通過(guò)引入傳輸零 點(diǎn)而不用增加濾波器階數(shù)來(lái)提高通道的選擇性，并且只需要通過(guò)非相鄰諧振腔的 交叉耦合就可以實(shí)現(xiàn)。因此，目前很多通信用的濾波器都使用交叉耦合結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí) 現(xiàn)，而這種結(jié)構(gòu)的濾波器原型就是廣義切比雪夫，要研究此類濾波器就必須先搞 清廣義切比雪夫函數(shù)的一些基本特性。廣義切比雪夫函數(shù)不僅可以產(chǎn)生傳輸零點(diǎn)， 而且這些傳輸零點(diǎn)是可以人為指定的，可以是對(duì)稱的，也可以是不對(duì)稱的，這可 以更加靈活

26、地根據(jù)需要對(duì)濾波器的帶外抑制度進(jìn)行調(diào)節(jié)，其矩形系數(shù)可以做得很 高，這是橢圓函數(shù)濾波器所不能做到的。另外，通過(guò)交叉耦合，廣義切比雪夫?yàn)V 波器還可以產(chǎn)生復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)，以改善通帶內(nèi)的群時(shí)延特性，這與傳統(tǒng)的濾波器 相比又增加了一項(xiàng)優(yōu)勢(shì)。傳統(tǒng)的濾波器原型要么從幅度特性出發(fā)進(jìn)行綜合，得到 符合要求的S 參數(shù)幅度值，要么從相位特性出發(fā)，得到合適的相位曲線，例如傳 統(tǒng)的線性相位濾波器設(shè)計(jì)，它們都不能同時(shí)對(duì)幅度和相位進(jìn)行綜合，而廣義切比 雪夫卻能用虛數(shù)傳輸零點(diǎn)控制幅度，同時(shí)用復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)控制相位。 綜上所述，廣義切比雪夫?yàn)V波器與傳統(tǒng)濾波器相比具有體積小，效率高，帶 外抑制度好，矩形系數(shù)高，設(shè)計(jì)靈活等諸多優(yōu)點(diǎn)，具

27、有廣泛的應(yīng)用前景，是國(guó)內(nèi) 外微波無(wú)源器件的研究熱點(diǎn)。 1.2 國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀 廣義切比雪夫?yàn)V波器的等效電路模型是A. E. Atia于1972年在研究交叉耦合結(jié) 構(gòu)濾波器 1時(shí)首先提出來(lái)的。在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上，A. E. Atia還提出了耦合矩陣 的概念，并根據(jù)這些概念給出了用求留數(shù)的辦法從多項(xiàng)式到耦合矩陣的綜合方法。 Jia-Sheng Hong在他的書中也對(duì)這部分內(nèi)容做了講述 16。A. E. Atia的等效電路模 型，以及耦合矩陣的綜合方法對(duì)以后廣義切比雪夫?yàn)V波器的研究起了非常重要的 作用。 此后，在A. E. Atia 的等效電路模型和耦合矩陣概念的基礎(chǔ)上，R. J. Cameron

28、 2-4，S. Tamiazzo 12，G. Macchiarella 7和H. C. Bell 11等又對(duì)廣義切比雪夫?yàn)V波器 的綜合方法作了進(jìn)一步改進(jìn)，提出了針對(duì)不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)耦合矩陣的不同的消元方 法，這使得廣義切比雪夫?yàn)V波器更貼近實(shí)用，運(yùn)用范圍更加寬泛。其中R. J. Cameron給出了折疊型（folded） ，異型（Cul-de-Sac）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)濾波器的消元方法。 S. Tamiazzo和 G. Macchiarella從不同的角度給出了CT ，CQ拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的消元方法， 而S. Tamiazzo 給出的移項(xiàng)消元?jiǎng)t是在 H. C. Bell提出的輪型結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上進(jìn)行的消元。 這些消元方法為

29、濾波器的設(shè)計(jì)提供了種類繁多的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，使濾波器的設(shè)計(jì)更加 靈活多樣。 另外，S. Amari，R. N. Gajaweera等從濾波器的耦合矩陣出發(fā)，利用梯度優(yōu)化 的辦法，也得到了相同特性的交叉耦合濾波器 5-7。國(guó)內(nèi)，強(qiáng)銳等則利用遺傳算 法與Solvopt算法相結(jié)合的優(yōu)化方法得到了耦合矩陣 19。優(yōu)化法利用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)優(yōu) 化算法，對(duì)耦合矩陣進(jìn)行優(yōu)化，具有理論簡(jiǎn)單，優(yōu)化方法豐富，優(yōu)化結(jié)果靈活多 樣等優(yōu)點(diǎn)。然而隨著綜合技術(shù)的不斷進(jìn)步，優(yōu)化法精度低（與綜合法相比） ，速 度慢等缺點(diǎn)也慢慢開(kāi)始顯現(xiàn)出來(lái)，這使得優(yōu)化算法的使用范圍也在漸漸被綜合方 法所取代。 在線性相位濾波器設(shè)計(jì)方面，Rhodes 9早在

30、 1970 年就提出了線性相位濾波器 的低通原型和綜合過(guò)程，并在文獻(xiàn) 10中給出了設(shè)計(jì)實(shí)例。然而，由于這種濾波器 是以相位作為逼近目標(biāo)進(jìn)行綜的，沒(méi)有添加有限傳輸零點(diǎn)，使得其帶外抑制度不 好。為了同時(shí)兼顧線性的相位特性和帶外良好的抑制度，R. J. Cameron 在文獻(xiàn) 23中 給出了一個(gè)用復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)實(shí)現(xiàn)平坦時(shí)延特性的例子，但并沒(méi)有具體給出如何確 定復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)的方法。本文通過(guò)一些數(shù)值計(jì)算結(jié)果，找到了復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)與群 時(shí)延特性之間的一些關(guān)系，并在第四章作了詳細(xì)的分析。 1.3 論文的內(nèi)容安排及創(chuàng)新點(diǎn) 本文對(duì)廣義切比雪夫?yàn)V波器的綜合及耦合矩陣的化簡(jiǎn)給出了詳細(xì)的分析過(guò)程 和相應(yīng)的數(shù)值例子，并給出

31、了六腔同軸結(jié)構(gòu)線性相位濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)例和測(cè)試曲 線，最后運(yùn)用 MATLAB GUI 的界面編程設(shè)計(jì)了計(jì)算程序，使得廣義切比雪夫?yàn)V 波器的綜合過(guò)程更加快捷直觀。 全文共分六章。第一章講述了廣義切比雪夫?yàn)V波器的研究意義，國(guó)內(nèi)外的研 究現(xiàn)狀和論文的創(chuàng)新點(diǎn)。第二章講述了廣義切比雪夫?yàn)V波器的綜合過(guò)程，并給出 了相應(yīng)的計(jì)算實(shí)例。第三章針對(duì)不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的濾波器，對(duì)耦合矩陣的化簡(jiǎn)做了 進(jìn)一步的闡述。第四章給出了廣義切比雪夫線性相位濾波器的設(shè)計(jì)方法，并依此 方法完成了一個(gè)六腔同軸結(jié)構(gòu)的線性相位濾波器設(shè)計(jì)，測(cè)試結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果 的一致性驗(yàn)證了此設(shè)計(jì)方法的正確性。第五章敘述了基于 MATLAB 的廣義切比 雪夫?yàn)V

32、波器的綜合程序的設(shè)計(jì)思路。第六章對(duì)論文內(nèi)容作了簡(jiǎn)單的總結(jié)。 本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)有： 1 找到了復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)與群時(shí)延之間的關(guān)系，給出了在設(shè)計(jì)線性相位濾波 器時(shí)，確定復(fù)數(shù)傳輸零點(diǎn)的方法。目前尚未見(jiàn)到對(duì)這一問(wèn)題的報(bào)道。 2 基于 MATLAB，設(shè)計(jì)了廣義切比雪夫?yàn)V波器的綜合程序，該程序可以完 成折疊型，異型，CT，CQ 型等多種濾波器的綜合。目前尚未見(jiàn)到有關(guān)此類程序 設(shè)計(jì)的文章。 第二章 廣義切比雪夫?yàn)V波器綜合 2.1 廣義切比雪夫多項(xiàng)式 令 為廣義切比雪夫函數(shù)，有)(NC （2-NiiNxchC1)()( 1） 其中， 為三角余弦函數(shù)， 為中間變量()chxix

33、 （2-()2 xech 2） （2-1/piix 3） 是廣義切比雪夫函數(shù)的奇點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)， ， ， 可視為pipiix()NCpi 函數(shù) 的參變量。N 表示奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)，奇點(diǎn)的位置由 決定，如果所有奇)(C pi 點(diǎn)都位于無(wú)窮遠(yuǎn)，即（ ）時(shí)，廣義切比雪夫函數(shù)與傳統(tǒng)的切比雪夫函數(shù)pi 相同，退化為 （2-1()()NCch 4） 可以證明，當(dāng) ， ，當(dāng) ， ，而當(dāng) ， 。為了畫1NC1NC 圖方便，對(duì)（2-1）式取對(duì)數(shù)，令 。10()()TLog 以 為例，取三個(gè)有限奇點(diǎn) ， ， ，其余 5 個(gè)奇點(diǎn)8N2p.5p3p 均在無(wú)窮遠(yuǎn)處

34、，得到： （2-5）1231 11810///()()()()()pppTLogchchchch 下圖為 對(duì) 的響應(yīng)曲線，可見(jiàn)奇點(diǎn)位置是可以事先指定的。8()T 圖 2-1 廣義切比雪夫多項(xiàng)式取對(duì)數(shù)后的響應(yīng)曲線 2.2 濾波器 S 參數(shù)與廣義切比雪夫函數(shù)的聯(lián)系 由圖 2-1 的曲線可以看出，直接用廣義切比雪夫函數(shù) 作為濾波器的傳)(NC 輸函數(shù) 是不行的。為使濾波器在通帶內(nèi)（ ）有等紋波的響應(yīng)，在()NH1 取對(duì)數(shù)前應(yīng)該讓 ，這樣才能使 。因此對(duì) 進(jìn)行改()10()NLogH)(N 造，令： （2-2()1()NC 6） 其中， 為帶內(nèi)紋波系數(shù)。 下面以八階為例，說(shuō)

35、明變換后通帶內(nèi)響應(yīng)曲線的變化情況。圖 2-2 中與 對(duì)21S 應(yīng)的量是 ，且10()NLogH （2-2110()NSLogHdB 7） 變換前，在通帶內(nèi)有 ，變換后有， ，其中()NC21012()0LogS 就是通帶內(nèi)的紋波起伏量，這樣我們就可以通過(guò)參變量 來(lái)控制通2102()Log 帶內(nèi)的紋波起伏大小了。 圖 2-2 帶內(nèi)各響應(yīng)曲線的比較 如圖 2-2 所示，經(jīng)過(guò)改造后傳輸函數(shù) 就可以作為濾波器的原型函數(shù)了。此()NH 時(shí)， （2-2121()()()NNSC 8） 由于 是多項(xiàng)式函數(shù)，所以 S 參數(shù)也可以用多項(xiàng)式相除的形式來(lái)表示

36、：)(NC （2-)()(1NEF)()(21NEP 9）

37、 由無(wú)源網(wǎng)絡(luò)能量守恒定律， 得出：21S （2-22()()NNFPE 10） 將（2-10 ）式代入（2-9 ）式有， （2-212()()NSFP 11）

38、 比較（2-8 ）式和（2-11 ）式可得， （2-()()NFCP 12） 式（2-7 ）給出了 與 的關(guān)系，下面再討論一下回波損耗21S 與 的關(guān)系。由能量守恒定律和式（2-11）我們可以得到：102()RLogdB （2- 210()NPRLogdBF 13） 反解出 ，就可以得到： （2-/101()NRLPF 14） 2.3 用迭代法得出 S 參數(shù)的多項(xiàng)式表達(dá)式 前面我們已經(jīng)得到了 與廣義切比雪夫函數(shù) 的關(guān)系，如（2-8）式所21 )(NC 示。然而式 的表達(dá)過(guò)于復(fù)雜，下面我們將通過(guò)迭代的算法化簡(jiǎn)（2-8）式，)(NC 將 S

39、參數(shù)簡(jiǎn)化為兩多項(xiàng)式相除的形式，如（2-9）式所示，這樣有利于后面耦合矩 陣的綜合。 分析（2-9 ）式， 的傳輸零點(diǎn)就是函數(shù) 的奇點(diǎn)，由于 的奇點(diǎn)21S)(N)(NC 是已知的為 ，故 的分子 也是已知的，可寫為：pi ()NP （2-1 Kpii() 15） 由于存在無(wú)限遠(yuǎn)的傳輸零點(diǎn)，故多項(xiàng)式 的最高次項(xiàng) ，當(dāng) 時(shí)，()KPKN 所有的傳輸零點(diǎn) 均為有限值。下面，我們將介紹如何通過(guò)已知的傳輸零點(diǎn)pi 以及函數(shù) 的性質(zhì)來(lái)化簡(jiǎn) S 參數(shù)的表達(dá)式，也就是求出多項(xiàng)式 和pi )(NC ()NF 的根。()NE 首先，將 按定義展開(kāi)， 將反三角余弦的定義： （2-

40、 112()lnchxx 16） 代入（2-1 ）式可得， （2-1()ln() NNiiCchab 17） 式中 ， （2-iiax21/()iib 18） 由（2-2 ）式給出的三角余弦函數(shù)定義 可展開(kāi)為：)(NC 11()(lnln()2NNi ii iCExpabExpab （2-11()2() NiNi iiabab 19） 由于 ，故式（2-19）可以寫為：2()()iiiiabx （2-11()NNNi ii iCab 20） 將式（2-3 ） ，式（2-18 ）代入式（2-20）可

41、得： （2-1()()()2/NNpiiFGCP 21） 其中， （2- Ni pipiG1 2/12/1)()( 22） （2- Ni pipi1 2/12/1)()( 23） 為方便推導(dǎo)，令 （2-1ipic1/2ipid21/() 24） 則（2-22 ）式， （2-23 ）式總可以寫成以下形式： （2-1()()NiiNiGcdUV 25） （2-1()()NiNicd 26） 其中， （2-NNuuU210)( 27） （2-2101()( )NNVvv 28） 下面從 開(kāi)始，說(shuō)

42、明多項(xiàng)式 ， 的迭代過(guò)程。當(dāng) 時(shí)， （2-1()NU()V 22）式可以寫為： （2-1/211 11())()()()ppGcdUV 29） 當(dāng) 時(shí)，有：2N1/2212121()()()()()ppcdUV （2-22()UV 30） 分析（2-30 ）式就可以得出 ， 的迭代關(guān)系式：()N()V （2-1/21 ()()NNppUUV 31） （2-1/21()() )()NN NppVVU 32） 求出多項(xiàng)式 ， 后，由于 ，故也就()NU()()()()2NNNFG 求出了多項(xiàng)式 。F 最后，通過(guò)能量守恒定律，利用式（2

43、-10）我們可以求出 ，()NE （2-221()()()NNNEFP 33） 在求 的過(guò)程中還需要注意，由于分析的是無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，故 的根都應(yīng)該()NE ()NE 在復(fù)平面的上半部，其余的根應(yīng)該在開(kāi)方后舍去，否則進(jìn)行傅立葉逆變換后，時(shí) 域?qū)⒌玫街笖?shù)遞增的解，這與實(shí)際不符。 下面以一個(gè)非對(duì)稱的五階濾波器為例子，說(shuō)明具體的迭代過(guò)程。設(shè)濾波器的 回波損耗 ，三個(gè)歸一化的有限傳輸零點(diǎn)為 ，20RLdB 1.68p ， ，按照上述迭代算法，如式（2-29）所示代入21.39p31.74p 有，68 （2-1()0.592U1()(0.85)V 34） 運(yùn)用迭

44、代公式（2-31） ， （2-32）代入 得，2.39p （2-2()0.9746.15.U()(0.2391.458)V 35） 接著代入 有，3.p 233()0.7425.1.4.706 （2-23.69..8)V 36） 有限傳輸零點(diǎn)代完后，由于 ，故還有兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)的傳輸零點(diǎn)，代入5N 有，4p2344()0.691.38.47.05.29U （2-74254)V 37） 最后代入 得，5p2345()0.7423.15.01.6.801.8U （2-2345.69.8.94..)V 38） 接下來(lái)，用上述方法求出多項(xiàng)式 、 的根就完成了多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)工作，5

45、()F5()E 各多項(xiàng)式的根在下表列出。 表 2-1 五階非對(duì)稱濾波器各多項(xiàng)式的根 傳輸零點(diǎn)， 的根5()P反射零點(diǎn)， 的5() 根 傳輸或反射奇點(diǎn)， 的5()E 根 1 -1.6886 -0.9475 -1.1446+0.1878j 2 1.3199 -0.5183 -0.6899+0.6601j 3 1.7433 0.1918 0.3018+0.7356j 4 0.7446 0.9104+0.3458j 5 0.9752 1.0682+0.0825j 得出多項(xiàng)式后，根據(jù)（2-9）式我們可以繪出 S 參數(shù)的響應(yīng)曲線，如下圖所示。 圖 2-3 五階非對(duì)稱濾波器的 S 參數(shù) 2.4 交叉耦合濾波

46、器的等效電路分析 眾所周知，通過(guò)非相鄰諧振器之間的交叉耦合，濾波器能產(chǎn)生傳輸零點(diǎn)。廣 義切比雪夫?yàn)V波器也是通過(guò)這種交叉耦合的等效電路來(lái)實(shí)現(xiàn)的。前面對(duì)廣義切比 雪夫函數(shù)做了分析，下面將通過(guò)對(duì)交叉耦合的等效電路的分析，建立廣義切比雪 夫函數(shù)與實(shí)際等效電路的聯(lián)系，進(jìn)而對(duì)耦合矩陣進(jìn)行綜合。 A. E. Atia在1972年就首先提出了交叉耦合濾波器的電路模型，并根據(jù)模型建 立了電路矩陣方程，其具體的建立過(guò)程如下： 首先，如圖一所示，根據(jù)Kirchhoff沿環(huán)路電壓之和為零的定理，寫出各個(gè)回 路的電路方程。 圖 2-4 交叉耦合濾波器等效電路模型 （2-39） 11121221 111(/)( 0(/)

47、 0/kkkkkkNNkNNNRjLjCijMijieMijijijLjijijMijijjC A 12 0(/)NijiiR 其次，在窄帶近似條件下，將上面各式進(jìn)行歸一化，令 ，為相對(duì)0fFBW 帶寬，于是有： ， （ ） （2-FBWMmikik 40） ， （ ） （2-kkk 0011i 41） ， （ 1，2） （2-iiRrFBW 42） （2-)(1 0FBW 43） 上式中， 為歸一化角頻率， ,為各諧振器的諧振頻率，可以不等kkCL/1 于中心角頻律 ，這等于增加了優(yōu)化的輸入變量，能更加充分地挖

48、掘?yàn)V波器的濾0 波潛力。最終得到歸一化的電路矩陣方程： ， （2-ejIZIMjRU 2(1)j 44） 其中，U 為單位陣，R 表示的矩陣中，除了 ， ，其余元素均為零。1r2rN M 是一個(gè)以 為元素的對(duì)稱矩陣，稱為歸一化的耦合矩陣。ijm 為電流向量， 為激勵(lì)向量，TNkiiI 121 Te0 為等效的阻抗矩陣。我們所要提取的電路參數(shù)就在 M 和 R 矩陣中，其中 M 對(duì)Z 應(yīng)實(shí)際電路中的耦合系數(shù)，R 對(duì)應(yīng)輸入輸出端的外在品質(zhì)因數(shù)。 從（2-44 ）式中，我們可以看出電流向量 可以表示為：I （2-eZjI1 45） 于是整個(gè)交叉耦合電路的 S 參數(shù)就可以表

49、示為： （2-1212121 NNZRjiR 46） （2-111 jiS 47） 由（2-9 ）式與（2-46 ） ， （2-47）式，我們就通過(guò) S 參數(shù)建立了廣義切比雪夫 函數(shù)和交叉耦合等效電路之間的聯(lián)系。下一步，我們從 2.3 節(jié)得到的多項(xiàng)式入手， 對(duì)等效電路的耦合矩陣進(jìn)行綜合。 2.5 耦合矩陣綜合 圖 2-5 一般雙端口等效電路 由上節(jié)的分析，我們可以進(jìn)一步得到等效電路的一些電氣參數(shù)。將圖 2-4 所 示等效電路模型簡(jiǎn)化為圖 2-5 所示的一般雙端口電路，由導(dǎo)納矩陣的定義可得： （2-12 1210()NNRiysjMIe 48） 其中

50、， 為上節(jié)的歸一化耦合矩陣， 為電流向量。同理，sjMI （2-12 120()NNRiysje 49） 由于 是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣（ ） ，其所有的特征值都是實(shí)數(shù)，故滿足：ijji （2-tMT 50） 其中， ，是以 為元素的對(duì)角陣， 是對(duì)稱正交陣，123Ndiagi T 是矩陣 的轉(zhuǎn)置，且有 ， 為單位陣。由于，tTtU （i,j=1，2，3，，N ） （2-1ikjtijTTI 51） 故，將式（2-51）代入式（2-48） ， （2-49）可以得到， （2-121()NkTysj 52） （2- 22

51、1()Nkysj 53） 下面，我們通過(guò)導(dǎo)納矩陣的兩個(gè)參數(shù) 和 建立 2.3 節(jié)所得到的多項(xiàng)21()ys2() 式 ， ， 與對(duì)稱正交陣 之間的關(guān)系。()NP()F()NET 對(duì)于圖 25 所示的雙端口網(wǎng)絡(luò)，其電壓電流關(guān)系，可用式（2-54）表示： （2- 1122VzIR 54） 由此可以解得 1 端口的輸入阻抗： （2- 2112()()VzzZsIR 55） 由阻抗矩陣與導(dǎo)納矩陣之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系， （2-122zy 56） 可將式（2-55）化簡(jiǎn)為： （2-12(/)()zyRZs 57） 而輸入阻抗 與 的關(guān)

52、系為，1()Zs1S （2-111 2()()mnEsFR 58） 上式中 ， 為多項(xiàng)式的實(shí)部， ， 為虛部。從（2-58）的分子中提取1m21n2 （N 為奇數(shù)）或者 （N 為偶數(shù)）就可以得到類似（2-57）的結(jié)構(gòu)，以提取1n 為例，1n （2-1121122()/()/ZszyRnmR 59） 比較上式等式左右兩邊有， （2-12nyRm 60） 另外，由于 與 具有相同的分母，且 與 具有相同的傳輸零點(diǎn)，故 可21y21yS21y 表示為： （2-211()Psm 61） 上面式子中 ， 均可以通過(guò) 2.3

53、節(jié)中的多項(xiàng)式計(jì)算得到，由于1mn1()nEsF （2- 2101Re()I()Re()IeImfjfsfsnj j 62） 其中 ， 分別為多項(xiàng)式 ， 的復(fù)系數(shù)。ieif()EsF 對(duì)比式（2-52） ， （2-53 ）與（2-60） ， （2-61 ）可得： （ 2-11() NkTPsjm 63） （2- 211NknjR 64） 由上面兩式可以看出， 就是多項(xiàng)式 的根， 就是分式 的留數(shù)，而k1m2NkT1nm 則是分式 的留數(shù)。 ， 求出后，再運(yùn)用施密特正交化就可以構(gòu)造1NkT1()Psm1kTN 出耦合矩陣 M。 如圖 2-4 所示，若

54、將輸入，輸出腔的電阻 ， 歸一化，則需要再加入兩個(gè)1R2 耦合，即 和 。 表示源到第一個(gè)腔的耦合， 表示最后一個(gè)腔到負(fù)載1sNl1s NlM 的耦合。 若歸一化后源和負(fù)載的阻抗均為 1，則有， ， 。轉(zhuǎn) 21sRFBW2Nl 化為歸一化形式有： （2-21smr2Nlr 65） 此時(shí)的耦合矩陣由原來(lái)的 變成了 ，下面以 2.3 節(jié)的五階()(2) 非對(duì)稱濾波器為例子，說(shuō)明耦合矩陣 M 的求解過(guò)程。 首先，由表 可以寫出各多項(xiàng)式的表達(dá)式：21 （2-325().746.87153.4Psjssj 66） （2-5432()0..90.680

55、.314.68Fsjssjssj 67） 5 43()(2.1.58)(.7.9)Esjsjs （2-23.0986.1..28(0.5.74)j jj（ ） （ 68） 由于 為奇數(shù)，故取 ，即提取 的情況。將（2-67） ， （2-68）代5N12myRn1 入式（2-62 ）就可以得到 ， 的表達(dá)式：1mn （2-4321()2.09.2.09861.90.58mssjssjs 69） （2-54321().816.5..3.7nsjssjssj 70） 由式（2-64 ）可以看出 就是多項(xiàng)式 的根，通過(guò)求分式 的留數(shù)，可以求k1()ns1mn 出 ，由分式 的留數(shù)以

56、及 可以求出 的值。具體的計(jì)算結(jié)果如下表所NkT1()PsmNkT1k 示： 表 2-2 留數(shù)的求解結(jié)果 參數(shù) k kNkT1kT 1 1.2425 0.3350 0.3350 2 -1.1523 0.2760 0.2760 3 -1.0422 0.4290 -0.4290 4 0.8217 0.5648 -0.5648 5 -0.3155 0.5609 0.5609 接下來(lái)，可以將耦合矩陣用上表中求得的參數(shù)來(lái)表示： 12134152 213334445 512300000NNNNTTTTT 圖 2-6 五階濾波器的耦合矩陣表示 將表 2-2 的數(shù)據(jù)代入圖 2-6 所示的結(jié)構(gòu)中，就可以得到滿足

57、廣義切比雪夫函數(shù)的 耦合矩陣，將得到的耦合矩陣代入式（2-44） ， （2-46） ， （2-47）計(jì)算 S 參數(shù)，得 到的結(jié)果與圖 2-3 所示的結(jié)果是一致的。 0.350.276.490.5680.9.14 .350276.3276.91.2.405800.8178. .350.9.3.276.49.56m 圖 2-7 五階濾波器的耦合系數(shù)值 雖然我們綜合出了耦合矩陣，然而這樣的耦合結(jié)構(gòu)顯然不易于實(shí)現(xiàn)。下一章， 我們將通過(guò)對(duì)耦合矩陣的化簡(jiǎn)，消除我們不需要的耦合項(xiàng)，從而得到利于實(shí)現(xiàn)的 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而完成濾波器的設(shè)計(jì)。 第三章 不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合矩陣化簡(jiǎn) 3.1 用相似變換對(duì)耦合矩陣消

58、元 在第二章中，我們通過(guò)對(duì)廣義切比雪夫多項(xiàng)式的分析，綜合出了耦合矩陣， 然而這樣的耦合矩陣還不實(shí)用，要對(duì)其做進(jìn)一步的消元，才能得到利于實(shí)現(xiàn)的耦 合結(jié)構(gòu)。對(duì)耦合矩陣的消元一般采用矩陣的相似變換，由于相似變換后矩陣的特 征值不變，故 S 參數(shù)的響應(yīng)曲線也不變。而消元過(guò)程中若采用不同的消元順序， 和不同的消元方法，則會(huì)得到不同的耦合矩陣，也就是說(shuō)同樣性能的濾波器可以 用不同的耦合結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)，故對(duì)耦合矩陣的消元具有一定的靈活性。 在矩陣的相似變換中，真正能起到消元作用是矩陣的旋轉(zhuǎn)，下面我們就通過(guò) 對(duì)矩陣旋轉(zhuǎn)的分析來(lái)說(shuō)明耦合矩陣消元的一般規(guī)律。以一個(gè) 的耦合矩陣為例，7 設(shè)消元前的矩陣為 ，旋轉(zhuǎn)矩陣為

59、，則消元后的矩陣為：0MR （3-10tM 1） 其中 為矩陣 的轉(zhuǎn)置。旋轉(zhuǎn)矩陣 也是一個(gè) 的矩陣，若消元后，只影響到tR7 原矩陣第 3 行，第 3 列，以及第 5 行，第 5 列的元素，則 的結(jié)構(gòu)如圖 3-1 所示，R 此時(shí)，我們說(shuō)此旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為 。也就是說(shuō)，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為 的旋轉(zhuǎn)矩陣3,,ij 只會(huì)影響原矩陣的 i，j 行 ，i，j 列。1351siRcj 圖 3-1 旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為3,5的 7 階旋轉(zhuǎn)矩陣 其中， ， ， 為矩陣的旋轉(zhuǎn)角。設(shè)原矩35cos()cR35sin()R 陣各元素為 ，由于變換后原矩陣的 i 行，i 列，j 行，j 列均要變化，故將改變ijm

60、的矩陣元素以下圖的形式列出。 1351352 23153253453653754354356 6735735cmssmccmscscscmsssccmssm 圖 3-2 旋轉(zhuǎn)后改變的矩陣元素 由于公式過(guò)長(zhǎng)，故將上圖中的部分元素用下式表達(dá)， （3-33535()()cscs 2） （3-353535()()msms 3） （3-533535()()cssc 4） （3-53535()()mssm 5） 歸納上面各矩陣的變換，對(duì)于旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為 的旋轉(zhuǎn)矩陣，可以得到如下規(guī)律：,ij 當(dāng) 時(shí)，,kij （3-

61、ikijkmcs 6） （3-jkijks 7） （3-kiikjmcs 8） （3-kjikjmsc 9） 當(dāng) 時(shí)，由于原矩陣有對(duì)稱性 故，,kijijji （3-2iijijcsc 10） （3-22jijijmssm 11） （3-2()ijjiij ijcscs 12） 若要消除原矩陣元素 ，則令 并代入式（3-6）（3-12）就可以求出矩陣ijm0ij 的旋轉(zhuǎn)角 ，而后運(yùn)用式（3-1）就可以完成對(duì)原矩陣指定元素的消元。 觀察矩陣元素的變換公式（3-6）（3-9）

62、可以得出，若變換前，等式右邊 的矩陣元素均為零，則不管旋轉(zhuǎn)角 為多少，變換后的元素值不變也等于零。這 一性質(zhì)在后面的矩陣消元中有很大作用。 3.2 折疊型拓?fù)渚仃嚮?jiǎn) 上一節(jié)中，討論了矩陣相似變換的一般規(guī)律。下面為了得到需要的耦合結(jié)構(gòu)， 需要按照一定的順序來(lái)進(jìn)行消元。折疊型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是一種效率很高的耦合結(jié)構(gòu)， 理論證明， 階折疊型濾波器，若沒(méi)有源和負(fù)載的耦合 ，最多可以實(shí)現(xiàn)Nslm 個(gè)傳輸零點(diǎn)，若加入源和負(fù)載的耦合，則最多只能實(shí)現(xiàn) 個(gè)傳輸零點(diǎn)。以2 N 7 階無(wú)源載耦合為例，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有兩種形式，如圖 3-3，3-4 所示： 圖 3-3 7 階下折疊型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 圖 3-4 7 階上

63、折疊型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 另外，圖 3-5，3-6 還給出了耦合矩陣的結(jié)構(gòu)和消元順序。 圖 3-5 下折疊型耦合矩陣的消元順序 圖 3-6 上折疊型耦合矩陣的消元順序 由于耦合矩陣是對(duì)稱的，故只給出了上半部的元素，其余的可以根據(jù)對(duì)稱性得到。 圖中 s 為矩陣的自耦合量，m 為直接耦合，x 為交叉耦合。 表示矩陣的消 元順序。若從第一行開(kāi)始消元，得到的是下折疊型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖 3-5 所示。 若從最后一列開(kāi)始消元，得到的是上折疊型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖 3-6 所示。 下面以下折疊型為例說(shuō)明其消元思路。對(duì)于的消元，可以用式（ 3- 6）（3-9 ）中的任意一個(gè)式子消元，旋轉(zhuǎn)點(diǎn)i,j也可以任意選

64、取。但為了使消元 程序化，使第一行以及第二行的, 的消元也能和 類似，我們選擇（3-9）式 進(jìn)行消元，取 k1，i,j 5,6。對(duì)于的消元，為了不影響 ，矩陣的旋轉(zhuǎn)點(diǎn) ，因此可取 k1， i,j4,5。依此類推完成第一行的消元。,ij 對(duì)于的消元，若象 一樣，用（ 3-7）式取 k7，i ,j2,3進(jìn)行消元，由 于元素 ，故前面用 已經(jīng)消為零的元素 又會(huì)出現(xiàn)新的值，使前面的消120m13m 元作廢。因此，為了不影響前面的消元成果應(yīng)選（3-6）式，取 k7，i,j 3,4， 此時(shí)由于 ， 均為零，故變換后 ， 仍然為零。134134 其余元素的消元思路均與上述類似，表 3-1 列出了圖 3-5

65、與圖 3-6 的整個(gè)矩 陣消元過(guò)程中所用到的公式以及參數(shù)的取值。 表 3-1 7 階下折疊型與上折疊型耦合矩陣的消元過(guò)程 下折疊型 上折疊型矩陣 消元 順序 所消 元素 所用 公式 k 旋轉(zhuǎn)點(diǎn) i,j 所消 元素 所用 公式 k 旋轉(zhuǎn)點(diǎn) i,j 16m3-9 1 5,6 27m3-6 7 2,3 53-9 1 4,5 33-6 7 3,4 43-9 1 3,4 43-6 7 4,5 133-9 1 2,3 573-6 7 5,6 73-6 7 3,4 13-9 1 4,5 47m3-6 7 4,5 14m3-9 1 3,4 53-6 7 5,6 33-9 1 2,3 23-9

66、2 4,5 63-6 6 3,4 43-9 2 3,4 43-6 6 4,5 63-6 6 4,5 23-9 2 3,4 最后以 2.3 節(jié)的 5 階濾波器為例（回波損耗 ，三個(gè)歸一化的有限傳0RLdB 輸零點(diǎn)為 ， ， ） ，按上述化簡(jiǎn)思路分別得到1.8p21.39p31.74p 下折疊型和上折疊型的耦合矩陣值，結(jié)果如圖 3-7，3-8 所示。 0.3002681.172..49.836250..901. .0002689.1236.7.15.748.90.02561.3 圖 3-7 下折疊型耦合矩陣 圖 3-8 上折疊型耦合矩陣 3.3 異型拓?fù)渚仃嚮?jiǎn) 異型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（Cul-de-Sac）擁有最少的交叉耦合項(xiàng)，其交叉耦合項(xiàng)只有兩 項(xiàng)，且有一直接耦合項(xiàng)為零。對(duì)于 階異型濾波器，最多可以實(shí)現(xiàn) 個(gè)傳輸N3N 零點(diǎn)。異型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的奇數(shù)階和偶數(shù)階的矩陣化簡(jiǎn)有所差別，故奇數(shù)階以 7 階為 例，偶數(shù)階以 6 階為例，說(shuō)明其化簡(jiǎn)過(guò)程。其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖 3-9，3-10 所示。 圖 3-9 7 階異型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 圖 3-10 6 階異型拓?fù)?/p>