正交試驗(yàn)設(shè)計與數(shù)據(jù)處理.ppt
《正交試驗(yàn)設(shè)計與數(shù)據(jù)處理.ppt》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《正交試驗(yàn)設(shè)計與數(shù)據(jù)處理.ppt(83頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第4章 正交試驗(yàn)設(shè)計與數(shù)據(jù)處理,在生產(chǎn)實(shí)踐中,試制新產(chǎn)品、改革工藝、尋求好的生產(chǎn)條件等,這些都需要做試驗(yàn),而試驗(yàn)總是要花費(fèi)時間,消耗人力、物力。因此,試驗(yàn)的次數(shù)應(yīng)盡可能少。,全面試驗(yàn): 如 4 個 3 水平的因素,要做 34=81 次試驗(yàn); 6 個 5 水平的因素,要做 56=15625次試驗(yàn)。非常困難。,能否減少試驗(yàn)次數(shù),而又不影響試驗(yàn)效果呢?,有,,正交試驗(yàn),4.1 正交表及其用法,正交表的記號:L9(34)——表示 4 個因素,每個因素取 3 個水平的正交表。格式如表4-1所示。,,4.1 正交表及其用法,正交表記為 Ln(mk),m 是各因素的水平,k (列數(shù))是因素的個數(shù),n 是安排試驗(yàn)的次數(shù)(行數(shù))。,L9(34)4因素3水平正交試驗(yàn),共做9次試驗(yàn),而全面試驗(yàn)要做 34=81 次,減少了72次。 L25(56) 6因素5水平正交試驗(yàn),共做25次試驗(yàn),而全面試驗(yàn)要做 56=15625 次,減少了15600次。,正交表的兩條重要性質(zhì): (1)每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的,如 L9(34),每列中不同的數(shù)字是1,2,3。它們各出現(xiàn)三次。 (2)在任意兩列中,將同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時,每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)是相等的,如如 L9(34),有序數(shù)對共有9個:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),它們各出現(xiàn)一次。,4.1 正交表及其用法,由于正交表的性質(zhì),用它來安排試驗(yàn)時,各因素的各種水平是搭配均衡的。,下面通過具體例子來說明如何用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計。,例4.1 某水泥廠為了提高水泥的強(qiáng)度,需要通過試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案,經(jīng)研究,有3個因素影響水泥的強(qiáng)度,這3個因素分別為生料中礦化劑的用量、燒成溫度、保溫時間,每個因素都考慮3個水平,具體情況如表4-2,試驗(yàn)的考察指標(biāo)為28天的抗壓強(qiáng)度(MPa),分別為44.1,45.3,46.7,48.2,46.2,47.0,45.3,43.2,46.3。問:對這3個因素的3個水平如何安排,才能獲得最高的水泥的抗壓強(qiáng)度?,解:在這個問題中,人們關(guān)心的是水泥的抗壓強(qiáng)度,我們稱它為試驗(yàn)指標(biāo),如何安排試驗(yàn)才能獲得最高的水泥抗壓強(qiáng)度,這只有通過試驗(yàn)才能解決,這里有3個因素,每個因素有3個水平,是一個3因素,3水平的問題,如果每個因素的每個水平都互相搭配著進(jìn)行全面試驗(yàn),必須做試驗(yàn)33=27次,我們把所有可能的搭配試驗(yàn)編號寫出,列在表4-3中。,例4.1,進(jìn)行27次試驗(yàn)要花很多時間,耗費(fèi)不少人力、物力,為了減少試驗(yàn)次數(shù),但又不能影響試驗(yàn)的效果,因此,不能隨便地減少試驗(yàn),應(yīng)當(dāng)把有代表性的搭配保留下來,為此,按 L9(34)表中前3列的情況從27個試驗(yàn)中選取9個,它們的序號分別為1,5,9,11,15,16,21,22,26,將這9個試驗(yàn)按新的編號1—9寫出來,正好是正交表 L9(34)的前3列,如表4-1所示。,為了便于分析計算,把考查指標(biāo)(鐵水溫度)列于表4-4的右邊,做成一個新的表4-5,利用張表進(jìn)行分析計算。,從表4-5中的數(shù)據(jù)處理與分析,可以得出結(jié)論:各因素對考查指標(biāo)(抗壓強(qiáng)度)的影響按大小次序來說應(yīng)當(dāng)是A(礦化劑用量)、 B(保溫時間)、 C(燒成溫度),最好的方案應(yīng)當(dāng)是A2C2B3,即:,例4.1,A2:礦化劑用量, 第2水平,4%; C2:保溫時間, 第2水平,30min; B3:燒成溫度, 第3水平,1450℃。,得出的最好方案在已經(jīng)做過的9次試驗(yàn)中沒有出現(xiàn),與它比較接近的是第4號試驗(yàn),在第4號試驗(yàn)中只有燒成溫度B不是處于最好水平,而且燒成溫度對抗壓強(qiáng)度的影響是3個因素中最小的。從實(shí)際做出的結(jié)果看出第4號試驗(yàn)中的抗壓強(qiáng)度是48.2MPa,是9次試驗(yàn)中最高的,這也說明我們找出的最好方案是符合實(shí)際的。,為了最終確定試驗(yàn)方案A2C2B3是不是最好方案,可以按這個方案再試驗(yàn)一次,若比4號好,作為最好結(jié)果,若比4號差,則以4號為最佳條件。如出現(xiàn)后一結(jié)果,說明我們的理論分析與實(shí)踐有一定的差距,最終還是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)。,正交試驗(yàn)步驟歸納如下:,1、確定要考核的試驗(yàn)指標(biāo);,2、確定要考察的因素和各因素的水平;,以上兩條要實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來決定。,3、選用合適的正交表,一般只要正交表中的因素個數(shù)比試驗(yàn)要考察的因素的個數(shù)稍大或相等就行了。這樣既保證了試驗(yàn)?zāi)康?,而試?yàn)次數(shù)又不致太多,省工省時;,4、試驗(yàn),測定試驗(yàn)指標(biāo);,5、試驗(yàn)結(jié)果分析計算,得出合理的結(jié)論。,以上的方法——直觀分析法。簡單、計算量小、很實(shí)用。 正交試驗(yàn)的主要分析工具是正交表,而在因素及其水平都確定的情況下,正交表并不是唯一的,常見的正交表見本書末附表4。,4.2 多指標(biāo)的分析方法,在例4.1中,試驗(yàn)指標(biāo)只有一個,考察起來比較方便,但實(shí)際問題中,需要考察的指標(biāo)往往不止一個,有時有兩個、三個或更多。如何評價考察指標(biāo)呢?兩種方法。,4.2.1 綜合平衡法,通過具體的例子來加以說明。,例4.2 某陶瓷廠為了提高產(chǎn)品質(zhì)量,要對生產(chǎn)的原料進(jìn)行配方試驗(yàn)。要檢驗(yàn)3項(xiàng)指標(biāo):抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度和裂紋度,前兩個指標(biāo)越大越好,第3個指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),配方有3個重要因素:水分、粒度和堿度。它們各有3個水平,具體數(shù)據(jù)如表4-6所示。試進(jìn)行試驗(yàn)分析,找出最好的配方方案。,4.2.1 綜合平衡法(例4.2的解),解 3因素3水平,應(yīng)選L9(34)正交表來安排試驗(yàn),將3個因素依次放在前3列(第4列不要),得出一張具體的試驗(yàn)方案表,測出需要檢驗(yàn)的指標(biāo)結(jié)果,列于表4-7(a)、(b)、(c)中,然后用直觀分析法對每個指標(biāo)分別進(jìn)行計算分析。,將3 個指標(biāo)分別進(jìn)行計算分析后,得出3個好的方案:對抗壓強(qiáng)度是A2B3C1;對落下強(qiáng)度是A3B3C2;對裂紋度是A2B3C1,這3個方案不完全相同,對一個指標(biāo)是好方案,而對另一個指標(biāo)卻不一定是好方案,如何找出對各個指標(biāo)都較好的一個共同方案呢?,綜合分析,將指標(biāo)隨因素水平變化的情況用圖形表示出來,如圖4.0所示(為了看得清楚,將各點(diǎn)用直線連接起來,實(shí)際上并不一定是直線。,把圖4-1和表4-7結(jié)合起來分析,看每一個因素對各指標(biāo)的影響。,,圖4.0,,4.2.1 綜合平衡法(例4.2的解的綜合分析),(1)粒度B對抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來講,極差最大,是最大的影響因素。從圖4.0中看出三個指標(biāo)B均取8為最好——即取B3。,(2)堿度C,極差不大,次要因素。由圖4.0分析,取1.1時兩個指標(biāo)好,1個指標(biāo)稍差,對三個指標(biāo)綜合考慮,C取1.1——即取C1。,(3)水分A,對裂紋度影響極差最大,A取9最好,由圖4.0綜合考慮A取9——即取A2。,通過各因素對各指標(biāo)影響的綜合分析,得出較好的試驗(yàn)方案是:,B3:粒度取第3水平,8; C1:堿度取第1水平,1.1; A2:水分取第2水平,9。,4.2.2 綜合評分法,對多指標(biāo)的問題,真正做到好的綜合平衡,有時很困難,這是綜合平衡法的缺點(diǎn)。綜合評分法可以克服這個缺點(diǎn)。,例4.3 某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品,需要檢驗(yàn)兩個指標(biāo):核酸純度和回收率,這兩個指標(biāo)都是越大越好。有影響的因素有4個,各有3個水平,具體情況如表4-8所示。試通過試驗(yàn)分析出較好方案,使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高。,解 這是4因素3水平的試驗(yàn),可以選用正交表L9(34)安排出試驗(yàn)方案(這里有4個因素,正好將表排滿),進(jìn)行試驗(yàn),將得出的結(jié)果列入表4-9中。,綜合評分法是根據(jù)各個指標(biāo)的重要性的不同,按照得出的試驗(yàn)結(jié)果綜合分析,給每一個試驗(yàn)評出一個分?jǐn)?shù),作為這個試驗(yàn)的總指標(biāo)。根據(jù)這個總指標(biāo)作進(jìn)一步的分析。,4.2.2 綜合評分法(例4.3的解),這個方法的關(guān)鍵是如何評分。,在這個試驗(yàn)中,兩個指標(biāo)的重要性是不同的,根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)知道,純度的重要性大于回收率,從實(shí)際分析,可以認(rèn)為純度是回收率的4倍。也就是純度占權(quán)數(shù)為4,回收率占權(quán)數(shù)為1,按這個權(quán)數(shù)給出這個試驗(yàn)的總分為:,總分=4純度+1回收率,由上式計算出這個試驗(yàn)的總分?jǐn)?shù),列于表4-9的最右邊,再根據(jù)這個分?jǐn)?shù),用直觀分析法進(jìn)行分析。,從表4-9看出,A、D兩個因素的極差都很大,是對試驗(yàn)影響很大的兩個因素,A1、D1為好;B因素的極差比A、D的極差小,對試驗(yàn)的影響比A、D都??;B因素取B3為好;C因素的極差最小,影響最小,C取C2為好。綜合考慮,最好的試驗(yàn)方案應(yīng)當(dāng)是A1B3C2D1,按影響大小次序排列為:,4.2.2 綜合評分法(例4.3的解),A1:時間, 25小時; D1:加水量, 1:6; B3:料中核酸含量,6.0; C2:pH值, 6.0。,可以看出,這里分析出來的最好方案,在已經(jīng)做過的9個試驗(yàn)中是沒有的,可以按這個方案再試驗(yàn)一次,看能不能得出比第1號試驗(yàn)更好的結(jié)果,從而確定出真正最好的試驗(yàn)方案。,,綜合評分法是將多指標(biāo)的問題,通過加權(quán)計算總分的方法化成一個指標(biāo)的問題,這樣對結(jié)果的分析計算都比較方便、簡單。但如何合理地評分,是最關(guān)鍵的問題。這一點(diǎn)只能依據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來解決,單純從數(shù)學(xué)上是無法解決的。,4.3 混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計,在實(shí)際情況中,有時做試驗(yàn)時,每個因素的水平數(shù)是不同的 ——混合水平。兩種解決方案。,4.3.1 混合水平正交試驗(yàn)設(shè)計,混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。這種正交表有好多種。比如 L8(4124)就是一個混合水平的正交表,如表4-10所示。,其它混合水平的正交表還有很多,見附表所示,它們都有上面所說的兩點(diǎn)。,例4.4 某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn),具體試驗(yàn)因素及水平如 表4-11所示。試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)量,數(shù)值越大越好。試用混合正交表 安排試驗(yàn),找出最好的試驗(yàn)方案。,例 4.4 的 解,解 這個問題中有4個因素,1個是4水平的,3個是2水平的,正好可以選用混合正交表 L8(4123),因素A為4水平,放在第1列,其余3個2水平的因素B、C、D順序放在2、3、4列上,第5列不用。按這個方案進(jìn)行試驗(yàn),將得出的試驗(yàn)結(jié)果放在正交表的右邊,然后進(jìn)行分析,見表4-12。,經(jīng)分析得最佳方案為: A2B2C2D2。因?yàn)椋瑥臉O差分析可知,因素D影響很小,這個方案與第4號試驗(yàn)結(jié)果A2B2C2D1很接近,從試驗(yàn) 結(jié)果看出,第4號試驗(yàn)是8個試驗(yàn)中產(chǎn)量最高的,因此完全有理由取第4號試驗(yàn)作為最好的試驗(yàn)方案加以推廣。,4.3.2 擬水平法,例4.5 今有某一試驗(yàn),試驗(yàn)指標(biāo)只有一個,它的數(shù)值越小越好,這個試驗(yàn)有4個因素A、B、C、D,其中因素C是2水平的,其余3個因素都是3水平的,具體數(shù)值如表4-13所示。試安排試驗(yàn),并對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析,找出最好的試驗(yàn)方案。,解 : 4因素試驗(yàn),C為2個水平,A、B、D為3個水平。沒有合適的正交表。設(shè)想:假若C有3個水平,就變成4因素3水平的問題了。如何將C變成3水平的因素呢?從C中的1和2水平中選一個水平讓它重復(fù)一次作為第3水平,這就叫虛擬水平。取哪一個水平作為第3水平呢?一般說,都是要根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn),選取一個較好的水平。比如,如果認(rèn)為第2水平比第1水平好,就選第2水平作為第3水平。這樣因素水平表4-13就變?yōu)楸?-14的樣子,它比 表4-13多了一個虛擬的第3水平。,例4. 5 的 解,這樣就變成了一個4因素3水平的試驗(yàn),可以按 L9(34)表安排試驗(yàn),并對正交表進(jìn)行重構(gòu),測出結(jié)果,并進(jìn)行分析,見 表4-15所示。,從表4-15的極差可以看出,因素D對試驗(yàn)的影響最大,取第3水平最好;其次是因素A,取第3水平為好;再者是因素B,取第1水平為好;因素C影響最小,取第1水平為好。最優(yōu)方案為: A3B1D3C1。這個方案在9個試驗(yàn)中沒有。從試驗(yàn)結(jié)果看8號試驗(yàn)為最好。這個試驗(yàn)只有B不是處在最好情況,而因素B的影響是最小的??梢园催@個方案再試驗(yàn)一次,看是否會得出比第8號試驗(yàn)更好的結(jié)果,從而確定出真正的最優(yōu)方案。,4.4 有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計,例4.6 有4塊試驗(yàn)田,土質(zhì)情況基本一樣,種植同樣的作物?,F(xiàn)將氮肥、磷肥采用不同的方式分別加在4塊地里,收獲后算出平均畝產(chǎn),記在表4-16中。,氮肥、磷肥交互作用的效果=氮肥、磷肥的總效果-(只加氮肥的效果+只加磷肥的效果),在多因素的試驗(yàn)中,交互作用影響的大小參照實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。如果確有把握認(rèn)定交互作用的影響很小,就可以忽略不計;如果不能確認(rèn)交互作用的影響很小,就應(yīng)該通過試驗(yàn)分析交互作用的大小。,4.4.1 交互作用表,下面介紹交互作用表和它的用法,表4-17就是正交表 L8(27)所對應(yīng)的交互作用表。,P183附表4中,列出了幾個交互作用的正交表。,正交表自由度的確定:,(1)每列的自由度 f列=水平數(shù)-1,(2)兩因素交互作用的自由度 fAB=fAfB (兩因素自由度的乘積),對2因素2水平的正交表,因?yàn)椋篺A=fB= 2-1=1,每列只有一個自由度;而 fAB=fAfB =11=1,所以也占一列。,4.4.1 交互作用表,對于2 因素3水平, fA=fB= 3-1=2,每列有2個自由度;而 fAB=fAfB =22=4,由于交互作用列有4個自由度,而每列是2個自由度,因此2個3水平因素的交互作用列占2列。,對于2因素n水平, fA=fB= n-1,每列有n個自由度; 而兩因素交互作用的自由度為:fAB=fAfB =(n-1)(n-1),所以交互作用列要占(n-1)列。,4.4.2 水平數(shù)相同的有交互作用的正交設(shè)計,例4.7 某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于3個因素A、B、C,每個因素都有兩個水平,具體數(shù)值如表4-18所示。每兩個因素都有交互作用,必須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為產(chǎn)量,越高越好。試安排試驗(yàn),并分析試驗(yàn)結(jié)果,找出最好的方案。,,,,,,1,2,3,4,5,6,7,(1),3,2,5,4,7,6,(2),1,6,7,4,5,(3),7,6,5,4,(4),1,2,3,(5),3,2,(6),1,(7),表,4—17,,,,,,,,,,,,,,列號(,,),,,列號,,例4.7的解,解 這是3因素2水平的試驗(yàn)。3個因素A、B、C要占3列,它們之間的交互作用AB、B C、A C又各占3列,共占6列,可以用正交表 L8(27)來安排試驗(yàn)。若將A、B放在第1、2列,從表4-17查出AB應(yīng)在第3列,因此C就不能放在第3列,否則就要和AB混雜?,F(xiàn)將C放在第4列,由表4-17查出A C應(yīng)在第5列, B C應(yīng)在第6列。按這種安排進(jìn)行試驗(yàn)。測出結(jié)果,用直觀分析法進(jìn)行分析,把交互作用當(dāng)成新的因素看待。整個分析過程記錄在表4-19中。,最后要說明一點(diǎn),在這里只考慮兩列間的交互作用AB、B C、A C,3個因素的交互作用ABC,一般影響很小,這里不去考慮它。,4.5 正交表的構(gòu)造法,從前面的內(nèi)容可以看出,正交表的用處和好處。那么正交表是如何得來的呢?下面就介紹兩種正交表的構(gòu)造方法。,4.5.1 阿達(dá)瑪矩陣法,4.5.1.1 阿達(dá)瑪矩陣,阿陣 定義:以+1,-1為元素,并且任意兩列都是正交的矩陣。,性質(zhì):,(1)每列元素個數(shù)都 是偶數(shù);,(2)任意兩列(兩行)交換后,仍為阿陣;,(3)任意一列(或行)乘-1以后,仍為阿陣。,標(biāo)準(zhǔn)阿陣:第一列全為1列(用對行乘-1可得)。,阿方陣:行、列相等——阿陣,偶階方陣。,4.5.1.1、阿達(dá)瑪矩陣,n 階阿陣記為Hn。,感興趣:第一列,第一行全為 1 的阿陣。例如:,直積構(gòu)造高階阿陣的方法:,定義:設(shè)兩個2階方陣A、B,它們直積記為A?B,定義如下:,4.5.1.1、阿達(dá)瑪矩陣,這是一個4階方陣。,有下面兩個定理:,定理1 設(shè)2階方陣A、B如果它們中的兩列是正交的,則它們的直積A?B的任意兩列也是正交的。,定理2 兩個阿陣的直積是一個高階阿陣。,據(jù)此,可以用簡單的低階阿陣,用求直積的方法得出高階阿陣,例如有:,4.5.1.1、阿達(dá)瑪矩陣,依此類推有:,一個固定階的阿陣并不是唯一的。比如:,都是2 階阿陣H2,但我們最感興趣的是第一個——標(biāo)準(zhǔn)阿陣。,4.5.2 2個水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法,有了第1列第1行全為1的標(biāo)準(zhǔn)阿陣,構(gòu)造2水平的正交表就非常方便了。,(1)L4(23)正交表的構(gòu)造,① 取標(biāo)準(zhǔn)阿陣H4 如下:,② 將全1列去掉,得出:,4.5.1.2、2個水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法,③ 將-1 改寫為2,按順序配上列號、行號,就得到2水平正交表 L4(23),見表4-20所示。,(2) L8(27)正交表的構(gòu)造法,① 取標(biāo)準(zhǔn)阿陣 H8 如下:,4.5.1.2、2個水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法,② 去掉全 1 列;,將 -1 改寫為2,并按順序配上列號、行號,就得到正交表 L8(27),見表4-21。,總結(jié):先取一個標(biāo)準(zhǔn)阿陣 Hn ,去掉全1列,將-1 列改寫為2, 配上列號、行號,就得正交表 Ln(2n-1)。 上法只能構(gòu)造 2 水平正交表,更多水平的正交表,用正交拉丁方的方法來解決。,4.5.2正交拉丁方的方法,4.5.2.1 拉丁方,定義:用 n 個不同的拉丁字母排成一個 n 階方陣(n≤26),如 果每個字母在任一行、任一列中只出現(xiàn)一次,則稱這種方 陣為 nn 拉丁方,簡稱為 n 階拉丁方。,例如,用3個字母 A、B、C 可排成:,33 拉丁方,用4個字母 A、B、C、D 可排成:,44 拉丁方,,這兩個拉丁方不是唯一的。,4.5.2.1、拉丁方,感性趣,,正交拉丁方。,定義:設(shè)有兩個同階的拉丁方,如果對第一個拉丁方排列著相同字母的各個位置上,第二拉丁方在同樣位置上排列著不同字母,則稱這兩個拉丁方為互相正交的拉丁方。,3階拉丁方,與,,,,,,,,,,,,,是正交拉丁方。正交拉丁方只有兩個。,四階正交拉丁方,與,,,4階拉丁方中,正交拉丁方只有3個; 5階拉丁方中,正交拉丁方只有4個; 6階拉丁方中,正交拉丁方只有5個;,,數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明:n 階拉丁方的正交拉丁方個數(shù)為:(n-1)個。,4.5.2.1、拉丁方,4.5.2.1、拉丁方,將字母拉丁方改寫為數(shù)字拉丁方性質(zhì)沒有影響。比如 3 階拉丁方可寫為:,與,為正交拉丁方。,4.5.2.2 3水平正交表的構(gòu)造,首先考慮兩個 3 水平因素A、B,把它們所有水平搭配都寫出來 32 =9個,按下面的方式排成兩列:,4列,3列,4.5.2.3 4水平正交表,因素A、B兩個4水平的全排列 42=16個,構(gòu)成基本列; 三個正交拉丁方,按1,2,3,4列分別按順序排成1列,共3列,放在基本列右則,得5列16行矩陣。,得表4-23,為L16(45)正交表。,,3,4,5,配 上 三 個 正 交 拉 丁 方,,4.5.2.4 混合型正交表的構(gòu)造法,混合型正交表可以由一般水平數(shù)相等的正交表通過“并列法”改造而成。舉典型的例子加以說明。,例4.8 混合型正交表 L8(424)的構(gòu)造法。,解:,(1)先列出正交表 L8(27),見表4-24。,(2)取出表4-24中的1,2列,將數(shù)對(1,1)、 (1,2)、 (2,1)、(2,2)與單數(shù)字1,2,3,4依次對應(yīng),作為 新表第1列。,(3)去掉12的第3列。交互作用。,(4)4,5,6,7列左移,依次變?yōu)樾卤淼?,3,4,5列。,表4-24 L8(27)正交表,,,其它正交表的構(gòu)造法,與此法相同,不再贅述。 請自學(xué)例4.9、例4.10,4.6 正交試驗(yàn)設(shè)計的方差分析,本節(jié)用方差分析法對正交試驗(yàn)的結(jié)果作進(jìn)一步的分析。,4.6.1 正交試驗(yàn)設(shè)計方差分析的步驟與格式,設(shè)用正交表安排m個因素的試驗(yàn),試驗(yàn)總次數(shù)為n,試驗(yàn)結(jié)果分別為x1,x2,…,xn。假定每個因素有na個水平,每個水平做a次試驗(yàn)。則n = a na,現(xiàn)分析下面幾個問題。,(1) 計算離差的平方和,a 總離差的平方和ST,b 各因素離差的平方和S因,c 試驗(yàn)誤差的離差平方和SE,(2)計算自由度,(3)計算平均離差平方和(均方),(4) 求F比,(5)對因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),4.6.2 3水平正交設(shè)計的方差分析,例4.11 為了提高產(chǎn)量,需要考慮3個因素:反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度,每個因素都取3個水平,具體數(shù)值如表4-31所示??紤]因素之間的所有一級交互作用,試進(jìn)行方差分析,找出最好的工藝條件。,解:,所有一級交互作用:AB、AC、BC; 自由度:fA =(水平數(shù)-1)=3-1=2= fB = fC ;,fAB= fA fB=22=4= fBC = fAC 各占兩列。,共有9列,選用正交表L27(313),見表4-32所示。,m 個因素的試驗(yàn)(m=9);試驗(yàn)次數(shù)(n=27);試驗(yàn)結(jié)果分別為:x1, x2, …,xk,… ,xn;每個因素有na 個水平(na=3);每個水平做a次試驗(yàn)(a=9),則n=ana=3 9 =27。,1、計算離差平方和,(1)總離差平方和ST,記,(相當(dāng)于例4.11產(chǎn)量的平均值),記為:,ST反應(yīng)了試驗(yàn)結(jié)果的總差異,它越大,結(jié)果之間差異越大。 兩方面的原因:① 因素水平變化;② 試驗(yàn)誤差。,(2)各因素離差的平方和,以因素A為例——SA,用xij 表示A的系 i 水平第 j 個試驗(yàn)結(jié)果(i=1,2,3,…na),(j=1…a)。,記為:,Ki ——第 i 個水平 a 次試驗(yàn)結(jié)果的和。,用同樣的方法可以計算其它因素的離差平方和。對兩因素的交互作用,把它當(dāng)成一個新的因素看待。如果交互作用占兩列,則交互作用的離差平方和等于這兩列的離差平方和之和。比如:,(3)試驗(yàn)誤差的離差平方和 SE,設(shè) S因+交 為所有因素以及要考慮的交互作用的離差平方和,,因?yàn)椋?所以:,2、自由度計算,各因素自由度:,兩因素交互作用的自由度:,試驗(yàn)誤差自由度:,,見表 4-33 所示,3、計算平均離差平方和(均方)MS,在計算各因素離差平方和時,我們知道,它們是若干項(xiàng)平方的和,它們的大小與項(xiàng)數(shù)有關(guān),因此,不能確切地反映各因素的情況。為了消除項(xiàng)的影響,引入平均離差平方和:,4、求F 比,5、對因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),給出檢驗(yàn)水平a,以Fa(f因,fE)查(附表3)F分布表; 比較若F > Fa(f因,fE),說明該因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著。 F > F0.01(f因,fE)影響高度顯著,“﹡﹡”; F0.01(f因,fE) >F > F0.05(f因,fE)影響顯著,“﹡”; F < F0.05(f因,fE)影響不顯著。 計算結(jié)果見表4-33、表4-34所示。,4.6.3 2水平正交設(shè)計的方差分析,由于2水平正交設(shè)計比較簡單,它的方差分析可以采用特殊的分析方法。,2水平正交設(shè)計,各因素離差平方和為:,上式同樣適用于交互作用項(xiàng)。,例4.12 某廠生產(chǎn)水泥花磚,其抗壓強(qiáng)度取決于3個因素:A水泥的含量,B水分,C添加劑,每個因素都有兩個水平,具體數(shù)值如表4-35a所示。每兩個因素之間都有交互作用,必須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為抗壓強(qiáng)度(kg/cm2),分別為66.2,74.3,73.0,76.4,70.2,75.0,62.3,71.2越高越好。試安排試驗(yàn),并用方差分析對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析,找出最好的方案。,解 列出正交表L8(27)和試驗(yàn)結(jié)果見表4-35。 說明:誤差平方和SE,SE=ST-(S因+S交),還可以用另一種算法計算SE,SE=S空列=S7列=9.68,方差分析見表4-36。,4.6.4 混合型正交一表的方差分析,與一般水平相同,注意各列水平數(shù)的差別!!,說明:,試驗(yàn)結(jié)果,試驗(yàn)次數(shù),例4.13 為提高某礦物的燒結(jié)質(zhì)量,做下面配料試驗(yàn),各因素及其水平如表4-38所示,(單位:t),反映質(zhì)量好壞的試驗(yàn)指標(biāo)為含鐵量,分別為50.9,47.1,51.4,51.8,54.3,49.8,51.5,51.3越高越好。試安排試驗(yàn),并進(jìn)行方差分析,找出最好的方案。 試驗(yàn)結(jié)果及計算列于表4-39。 方差計算與分析列于表4-40。,4.6.5 擬水平法的方差分析,與一般方法無本質(zhì)性的區(qū)別,在計算擬水平列時要注意各水平的重復(fù)次數(shù)不同。,例4.14 鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率,縮短酸洗時間,先安排酸洗試驗(yàn)??疾熘笜?biāo)是酸洗時間。在除銹效果達(dá)到要求的情況下,酸洗時間越短越好。要考慮的因素及其水平如表4-41所示。 解: 選取正交表L9(34),將因素C虛擬1個水平。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知,海鷗牌比OP牌的效果好,故虛擬第2水平(海鷗牌)安排在第1列,因素B、A、D依次安排在第2,3,4列,表已排滿,進(jìn)行試驗(yàn),測試結(jié)果列于表4-42右邊。 方差計算與分析列于表4-43、表4-44。,4.6.6 重復(fù)試驗(yàn)的方差分析,重復(fù)試驗(yàn)就是對每個試驗(yàn)號重復(fù)多次,這樣能很好地估計試驗(yàn)誤差,它的方差分析與無重復(fù)試驗(yàn)基本相同。但要注意幾點(diǎn):,(1)計算K1,K2,…時,要用各號試驗(yàn)重復(fù) r 次的數(shù)據(jù)之和;,(2)計算因素離差平方和時,公式中的“水平重復(fù)數(shù) a 要改寫為 “ar”。,每個水平試驗(yàn)次數(shù),第 i 個水平試驗(yàn)結(jié)果的和,水平數(shù),試驗(yàn)次數(shù),重復(fù)試驗(yàn)次數(shù),(3)總體試驗(yàn)誤差平方和 SE 由兩部分構(gòu)成:第一類誤差,即空列誤差 SE1 ;第二類誤差即重復(fù)試驗(yàn)誤差 SE2。,SE=SE1+SE2,,自由度 fE=fE1+fE2,,SE2 的計算公式為:,fE2=n(r -1),例4.15 硅鋼帶取消空氣退火工藝試驗(yàn)??諝馔嘶鹉苊摮徊糠痔迹搸П砻鏁梢粚雍芎竦难趸?,增加酸洗的困難欲取消這道工序,為此要做試驗(yàn)。試驗(yàn)指標(biāo)是鋼帶的磁性,看一看取消空氣退火工藝后鋼帶磁性有沒有大的變化。本試驗(yàn)考慮2個因素每個因素2個水平,退火工藝A,A1為進(jìn)行空氣退火,A2為取消空氣退火;成品厚度B,B1:0.2mm,B2:0.35mm。,解: 選用L4(23)正交表安排試驗(yàn),每個試驗(yàn)號重復(fù)5次, 試驗(yàn)結(jié)果與計算列于表4-45。 方差分析與計算結(jié)果列于表4-46。,4.6.7 重復(fù)取樣的方差分析,重復(fù)試驗(yàn)增加了試驗(yàn)次數(shù),這樣會使試驗(yàn)費(fèi)用增加,時間延長。如果試驗(yàn)得出的產(chǎn)品是多個,可以采用重復(fù)取樣的方法來考察因素的影響。重復(fù)取樣和重復(fù)試驗(yàn)在計算 ST、S因、SE 時,方法是一樣的。但要注意的是:重復(fù)取樣誤差反映的是產(chǎn)品的不均勻性與試樣測量誤差(稱為局部試驗(yàn)誤差)。一般說這種誤差較小,應(yīng)該說不能用它來檢驗(yàn)各因素水平之間是否存在差異,但是如果符合下面兩種情況,可以把重復(fù)取樣得出的誤差平方和 SE2 作為試驗(yàn)誤差。,(1)正交表的各列全部排滿,無 SE1 (S空列)。用 SE2 作為試驗(yàn)誤差來檢驗(yàn)各因素及交互作用。檢驗(yàn)結(jié)果有一半左右的因素及交互作用的影響不顯著,就可以認(rèn)為這種檢驗(yàn)是合理的。,(2)SE2 與 SE1 相差不大,可以合并 SE = SE1 + SE2。,何為“相差不大”呢?用 F 值檢驗(yàn):,由檢驗(yàn)水平a,查 分布。,若F Fa ,則 SE1 與 SE2 差別不顯著(相差不大); SE=SE1+SE2 fE=fE1+fE2;,若F Fa ,則 SE1 與 SE2 有顯著差異,不能合并使用。,例4.16,用粉煤灰和煤矸石作原料制造粉煤灰磚的試驗(yàn)研究。試驗(yàn)指標(biāo)是干坯的扯斷力(105Pa)??紤]3個因素,每個因素3個水平,具體參數(shù)水平如表4-47所示。,解: 選用 L8(34)正交表做試驗(yàn)。每號試驗(yàn)生產(chǎn)出若干塊干坯,采用重復(fù)取樣的方法,每號試驗(yàn)取5塊,測出結(jié)果列于 表4-48右邊,進(jìn)行計算分析,找出最優(yōu)方案。方差分析與計算見表4-49。,4.7 正交試驗(yàn)設(shè)計中的效應(yīng)計算與指標(biāo)的預(yù)估計,4.7.1 正交設(shè)計的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),在正交設(shè)計中,若以 mt 表示第 t 號試驗(yàn)各因素水平搭配所對應(yīng)指標(biāo)值 xt 的總體真值,以 et 表示第 t 號試驗(yàn)的隨機(jī)誤差,則有:,這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)稱為 Ln(mk) 型正交表上安排試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型,由于各正交表的具體情況不同,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的具體形式不同。下面對幾個常用正交表,分別寫出它們的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式。 4.7.1.1 L4(23)表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 為了方便,在表4-50中列出正交表 L4(23)。,假設(shè)安排兩個因素A、B。A安排在第 1 列,B安排在第 2 列,根據(jù)各試驗(yàn)號因素水平的不同,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的形式為: x1=…… (1)不考慮交互作用,其中:,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表4-50所示。 (2)考慮交互作用AB,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表4-50所示。,,表4-50 L4(23)正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式,mij 表示在 Ai 、Bj 組合下指標(biāo)值 xt 的真值(理論值)。,,ai 為因素A在第i 水平時的效應(yīng),a1+a2=0; bi 為因素B在第i 水平時的效應(yīng),b1+b2=0。,其中:(ab)ij 為Ai 、Bj 組合下交互作用的效應(yīng)。 (ab)11 + (ab)12=0, (ab)21 + (ab)22=0。,4.7.1.2 L8(27)表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),安排4個2水平因素A、B、C、D。 (1)不考慮交互作用 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表4-51所示。 (2)考慮交互作用 A、B、C、D分別在1、2、3、7列,兩交互作用列應(yīng)在3、5、6列,以AB為例,其余情況類似。見表4-51所示。 4.7.1.3 L9(34)表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 先列出正交表L9(34),如表4-52所示。 (1)不考慮交互作用 假設(shè)安排3個因素A、B、C,分別安排在第1、2、3列,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表4-52所示。,,表4-51 L8(27)正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式,,a1+a2=0, b1+b2=0, c1+c2=0, d1+d2=0。,表4-52 L9(34)正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式,,(2) 考慮交互作用,因素A、B,L9(34)正交表的任意兩列間的交互作用為另外兩列,將A、B安排在1、2列,則AB占3、4兩列。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表4-52。,4.7.2 正交設(shè)計中的效應(yīng)計算,由下式: xt= mt+ et ,t = 1,2,3,….,n. et 是隨機(jī)誤差,我們要對 mt 作出估計,即求出 mt 的估計值 ,使得滿足:,由L4(23)正交表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式,得殘差平方和為:,得出,記為:,由于a1+ a2 = 0, b1+ b2 = 0, (ab)11+ (ab)21 = 0, (ab)12+ (ab)22 = 0,所以:,記為:,由于 b1+ b2 = 0, (ab)11+ (ab)12 = 0,A因素第一水平指標(biāo)平均值。,同 理,對應(yīng)水平的指標(biāo)平均值。,所以:,記為:,同 理,對應(yīng)因素水平搭配的指標(biāo)平均值。,A1B1水平搭配的指標(biāo)平均值。,對應(yīng)因素水平搭配的指標(biāo)平均值。,采用相同的方法,其它的正交表有一般的效應(yīng)計算公式:,各因素水平的指標(biāo)平均值。,4.7.3 最優(yōu)方案下指標(biāo)值(理論值)的預(yù)估計 在正交設(shè)計中,無論是用一般計算還是用效應(yīng)計算分析法,都能確定最優(yōu)方案。如果正交表中正好有這個最優(yōu)方案,則在這個方案下的指標(biāo)值已通過試驗(yàn)得出。如果正交表中沒有這個最優(yōu)方案,可以按這個方案再試驗(yàn)一次得出最優(yōu)指標(biāo)值。若不通過試驗(yàn),由理論分析能否對最優(yōu)方案的指標(biāo)值作出合理的估計呢?,例4.17 求例4.12中各因素及交互作用效應(yīng)的估計值.,解: 參看表4-53。 各效應(yīng)值的計算與分析見表4-53所示。,回答是肯定的: 對指標(biāo)值既能作出點(diǎn)估計又能作出區(qū)間估計。,下面以一個實(shí)例,并且利用微軟公司的Excel電子表格軟件,對正交試驗(yàn)設(shè)計與數(shù)據(jù)處理的直觀分析法(包括直觀分析圖)、方差分析法、效應(yīng)分析法三種方法,進(jìn)行一個綜合性的計算分析說明,學(xué)會用計算機(jī)來進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與分析。,例4.18 某農(nóng)藥廠生產(chǎn)某種農(nóng)藥,指標(biāo)是農(nóng)藥的收率,顯然是越大越好。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知,影響農(nóng)藥收率的因素有4個,每個因素都是兩水平的,具體參數(shù)見表4-54a所示??紤]A、B的交互作用。選用正交表L8(27)安排試驗(yàn),按試驗(yàn)號依次進(jìn)行試驗(yàn)。得出試驗(yàn)結(jié)果分別為(%):86、95、91、94、91、96、83、88。試進(jìn)行直觀、方差及效應(yīng)分析。,解:,1) 打開電子表格,2)選用L8(27)正交表,從第A列第2行的單元格A2開始輸入L8(27)正交表,將sheet1重命名為L8(27)正交表。,3)直觀分析(包括直觀分析圖的制作過程)的計算過程,4)方差分析的計算過程,5)效應(yīng)分析的計算過程,此時效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為:,最優(yōu)方案下指標(biāo)值的點(diǎn)估計計算如下:,在進(jìn)行最優(yōu)方案下指標(biāo)值的點(diǎn)估計時,應(yīng)只考慮顯著性因素的效應(yīng),不顯著因素的效應(yīng)值應(yīng)忽略不計并入誤差項(xiàng)。,最優(yōu)方案下的指標(biāo)值的點(diǎn)估計式為:,忽略不顯著因素A、B、D的效應(yīng)值,下面對工程平均值 進(jìn)行區(qū)間估計。,對于正交設(shè)計:,將因素A、B、D的離差平方和并入誤差項(xiàng)得:,合并后的誤差自由度為:,合并后的誤差均方為:,顯著因素為C和AB,自由度之和為1+1 = 2,總試驗(yàn)次數(shù)為8,所以:,由,所以,因?yàn)橹笜?biāo)值是百分?jǐn)?shù),所以上限值不會超過100。,正交試驗(yàn)總結(jié),1、解決多因素、多水平試驗(yàn)是確有成效的。 2、用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計,各因素各水平搭配是均衡的,試驗(yàn)次數(shù)不多,但有較強(qiáng)的代表性。用直觀分析法、方差分析法和效應(yīng)分析法都能分析出各因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的大小,從而確定出最好的試驗(yàn)方案。用效應(yīng)分析還可以對指標(biāo)值進(jìn)行趨勢估計,反過來可以指導(dǎo)我們的試驗(yàn)過程。,到第五章,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
14.9 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計者僅對作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 正交 試驗(yàn) 設(shè)計 數(shù)據(jù)處理
鏈接地址:http://www.hcyjhs8.com/p-2375925.html