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1、 問 題 1 北 京 、 上 海 、 廣 州 三 個 民 航 站 之 間 的 直 達航 線 ， 需 要 準(zhǔn) 備 多 少 種 不 同 的 單 程 飛 機 票 ？ 起 點 站 終 點 站北 京 上 海北 京北 京上 海上 海 廣 州廣 州廣 州 飛 機 票北 京北 京 北 京北 京上 海廣 州上 海上 海上 海廣 州廣 州 廣 州我 們 把 上 面 問 題 中 被 取 的 對 象 叫 做 元 素 。 于 是 ，所 提 出 的 問 題 就 是 從 3個 不 同 的 元 素 a、 b、 c中任 取 2個 ， 然 后 按 一 定 的 順 序 排 成 一 列 ，求 一 共 有 多 少 種 不 同 的 排

2、列 方 法 。 1 23 41 21 31 4 1 2 31 2 41 3 21 3 41 4 21 4 33 43 23 1 3 1 23 1 43 4 23 2 13 2 43 4 1 2 12 32 4 2 1 32 1 42 3 12 3 42 4 12 4 34 14 24 3 4 1 24 1 34 2 14 2 34 3 14 3 2問 題 2 由 數(shù) 字 1， 2， 3， 4可 以 組 成 多 少 個 沒 有 重 復(fù) 數(shù) 字 的 三 位 數(shù) ？ 排 列 與 排 列 數(shù)一 、 排 列定 義 ( )n m m nn m從 個 不 同 的 元 素 中 取 出 個 元 素 ， 按 照一

3、 定 的 順 序 排 成 一 列 ， 叫 做 從 個 不 同 元 素 中 取 出 個元 素 的 一 個 排 列 。 只 有 用 相 同 的 元 素 ， 又 按 相 同 的 順 序 組 成 的 排 列 ，才 叫 做 相 同 的 排 列 。1 , , , 4 3a b c d例 寫 出 從 個 元 素 中 ， 任 取 個 元 素 的 不 同 排 列 。 , , , , ,abc abd acb acd adb adc解 ： , , , , ,bac bad bca bcd bda bdc, , , , ,cab cad cba cbd cda cdb, , , , ,dab dac dba dbc

4、 dca dcb 24共 個 二 、 排 列 數(shù)定 義 ( )mnn m m nn mA 從 個 不 同 元 素 中 ， 任 取 個 元 素 的 所 有不 同 排 列 的 個 數(shù) ， 叫 做 從 個 不 同 元 素 中 取 出 個 元 素 的排 列 數(shù) 。 用 符 號 表 示 。第 1位 第 2位n n-1 2 ( 1) n n nA 第 1位 第 2位 第 3位 第 m位n n-1 n-2 n-m+1 ( 1) ( 2) ( 1)mn n n n n mA 三 、 排 列 數(shù) 公 式 ： ( 1) ( 1)mnA n n n m ( 1) 3 2 1n nm n A n n 特 別 地 ，

5、當(dāng) 時 ， 有 公 式 ，!nnnn P n這 是 從 個 不 同 元 素 中 ， 取 出 全 部 元 素 參 加 排 列 的 排 列 數(shù) ，叫 做 個 不 同 元 素 的 ， 記 作全 排 列 數(shù) 。! 0!( )! 0! 1mn n m nn m 這 樣 ， A 。 注 意 ， 當(dāng) 時 ， 分 母 就 變 成 ，為 使 公 式 仍 然 成 立 ， 規(guī) 定特 別 。公 式 特 點 ： 1mnm2 1n1 因 數(shù) 是個 因 數(shù) 相 乘 ， 最 后 一 個共 有 ；面 的 因 數(shù) 小后 面 的 每 個 因 數(shù) 都 比 前第 一 個 因 數(shù) 是)( ,)( k-4k 11 例 ： 計 算 ： （

6、） A )!( )!( 312 nn）（ )()( 2nm3m2m1 ）（ 各 式 ：例 ： 用 排 列 數(shù) 表 示 下 列 )()( 9m4m1m2 222 m）（ 61kk1k51k4k1k 1k1 )()()!()!( )!( ） 原 式（ )()!( )!)()( 213 3212 nnn nnn） 原 式（ 11)-nm3m2m1 ()( ） 原 式（ 12nmA )()( 3m322)(m1)(m-1)(mm2 mm） 原 式（ 7 3mA x x 18 93A 4A 例 ： 解 方 程 ： 8x91x 8x Nx *由 題 意 得 ： )!( !)!( ! x1094x8 83

7、且 )!()!( x 1012x8 1)!)()()!( xxx 8910 12x8 1 6 x 的 個 位 數(shù)例 ： 求 ! 100210 120524463221110 !,!,!,!,!,! 4543210 的 個 位 數(shù) 是! ,!)(! 5672n1nnn5n 時 ，當(dāng) ,0此 時 個 位 數(shù) 是 4原 式 的 個 位 數(shù) 也 是 111 2 11 11 118.(1) ( 1)! ! ! 1 1! 2 2! 10 10!(2) ( 2)(3) ( 2)(4) k kn nn n nn n nm m mn n nn n n nnA nA n A nmA A 求 證 ： ， 并 求 。

8、求 證 ： A求 證 ： A求 證 ： A(1) ( 1)! ! ( 1) ! ! !n n n n n n n 證 明 ： (2! 1!) (3! 2!) (4! 3!) (11! 10!) 原 式 11! 1 (2) ( 1)( 2) ( 1) knA n n n n k ( 1)( 2) ( 1) ( 1) 1n n n n k 11knnA 例 ： 111 2 11 11 118.(1) ( 1)! ! ! 1 1! 2 2! 10 10!(2) ( 2)(3) ( 2)(4) k kn nn n nn n nm m mn n nn n n nnA nA n A nmA A 求 證 ：

9、 ， 并 求 。求 證 ： A求 證 ： A求 證 ： A11(3) ( 1)! ! !n nn nA A n n n n (4) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)n n n m mn n n m 左 邊 ( 1 ) ( 1) ( 2)n m m n n n m ( 1) ( 1) 1n n n m 2 2 11( 1)! nnn n n A 1mnA 右 邊 例 ： 1 1 1 2 9(5) ( 1)! ! ( 1)! 2! 3! 10!2 1 1(6) ! ( 1)! ( 2)! ( 1)! ( 2)!nn n nkk k k k k 求 證 ： ， 并 化 簡 ： 。求 證 ： 1

10、 1(5) ( 1)! ( 1)!n nn n 證 明 ： 1 1 1 1 1 1 1 11! 2! 2! 3! 3! 4! 9! 10! 原 式 2 (6) !1 ( 1) ( 1)( 2)kk k k k 左 邊1!( 2)k k 1 1 1 1( 1)! ( 1)! ! ( 1)!nn n n n 11 10! 2 2! ( 4 4)kk k k 1( 2)!kk 2 1 1 1( 2)! ( 1)! ( 2)!kk k k 右 邊 3 4 2(7) 1! 2! 3! 2! 3! 4! ! ( 1)! ( 2)!nn n n 求 和 ： 1 1 1 1 1 12! 3! 3! 4! (

11、1)! ( 2)!n n 解 ： 原 式 1 12 ( 2)!n 2 1, 2, , 9 3例 用 中 任 意 個 不 同 數(shù) 字 構(gòu) 成 三 位 數(shù) ， 共 有 幾 個不 同 三 位 數(shù) ？39 9 8 7 504 解 ： A3 6 3例 從 個 同 學(xué) 中 ， 選 人 任 組 長 、 副 組 長 和 干 事 ， 共 有 幾 種 ？36 6 5 4 120 解 ： A4 5例 安 排 人 分 別 當(dāng) 車 工 、 鉗 工 、 刨 工 、 銑 工 和 油 漆 工 ，已 知 甲 不 能 當(dāng) 鉗 工 、 油 漆 工 ， 問 有 幾 種 方 法 ？解 法 一 ： 解 法 二 ： 2 34 3 4 3

12、3! 72A 先 考 慮 誰 當(dāng) 鉗 工 、 油 漆 工 ， A1 43 4 3 4! 72A 先 考 慮 甲 ， A 四 、 幾 種 特 殊 的 排 列1.優(yōu) 先 排 列5 6例 人 排 一 排 ， 甲 不 在 頭 ， 也 不 在 尾 ， 有 幾 種 排 法 ？( )特 殊 位 置 頭 和 尾解 法 一 ： 2 45 4 480A A 解 法 二 ： ( )特 殊 元 素 甲 1 54 5 480A A 解 法 三 ： 間 接 法 6 56 52 480A A 2.集 團 排 列 （ 捆 綁 法 ）6 4 3例 已 知 男 女 排 成 一 排 ， 男 一 起 ； 女 一 起 ； 男 一 起

13、， 女 一 起 ， 分 別 有 幾 種 排 法 ？ 3 53 5 720A A 4 3 24 3 2 288A A A 44(1)第 一 步 ： 排 男 生 有 A 44第 二 步 ： 把 男 生 捆 綁 在 一 起 后 看 作 一 個 整 體 ， 有 A576PP 4444 共 有 3.間 隔 排 列7 4 3例 已 知 男 女 排 成 一 排 ， 男 不 一 起 ； 女 不 一 起 ； 男 不 一 起 ， 女 不 一 起 ， 分 別 有 幾 種 排 法 ？ 4 34 5 1440A A 3 43 4 144A A 33(1)第 一 步 ： 排 女 生 有 A 444第 二 步 ： 女 生

14、之 間 加 上 兩 端 共 有 個 空 位 排 男 生 ， 即 A3 43 4 144A 共 有 A8 4 4例 已 知 男 女 排 成 一 排 ， 男 不 一 起 且 女 不 一 起 ，有 幾 種 排 法 ？ 解 ： 或 4 3 14 4 2 1152A A A 4.有 序 排 列9 5例 已 知 人 比 賽 跑 步 ， 甲 比 乙 快 ， 有 幾 種 情 形 ？解 ： 甲 比 乙 快 和 甲 比 乙 慢 的 情 形 一 樣 多 ， 55 / 2 60A 10 , , , , , , ,a b c d e f a b c例 ， 按 順 序 的 排 列 有 幾 種 ？ 6633 120AA 解

15、 ：11 6 3例 書 架 上 有 本 書 ， 插 入 本 ， 要 求 不 改 變 原 順 序 ，有 幾 種 插 法 ？9 966 9 8 7 504AA 解 ： 2.(1)(2)(3)(4)七 人 站 成 一 排 照 相有 幾 種 站 法 ？若 甲 必 須 站 在 中 間 ， 有 幾 種 站 法 ？若 甲 不 能 站 兩 端 ， 有 幾 種 站 法 ？若 甲 、 乙 必 須 相 鄰 ， 有 幾 種 站 法 ？ 77(1) 5040A 解 ： 66(2) 6 720先 將 其 余 人 排 好 ， 再 將 甲 插 在 中 間 即 可 。 A1 65 6(3) 3600A A 6 26 2(4)

16、1440A 先 合 后 分 。 A 綜 合 練 習(xí) 5. 1, 2, ,9 5從 中 取 出 個 ， 組 成 無 重 復(fù) 數(shù) 字 的 五 位 數(shù) 。 規(guī) 定奇 數(shù) 數(shù) 字 必 須 排 在 奇 數(shù) 位 號 ， 求 這 樣 的 五 位 數(shù) 的 個 數(shù) 。解 ： 偶 數(shù) 位 上 只 能 放 偶 數(shù) ， 而 奇 數(shù) 位 上 皆 可 。2 34 7 2520A A 共 有 個9. 1 8 8 4穿 有 號 運 動 衣 的 位 運 動 員 排 成 一 排 ， 其 中 號 運 動 員必 須 排 在 號 碼 比 他 大 的 運 動 員 左 邊 ， 共 有 幾 種 排 法 ？x解 ： 設(shè) 有 種 排 法 ， 4

17、 5, 6, 7, 8x把 號 分 別 與 號 運 動 員 互 換 位 置 ， 仍 然 分 別 得 到種 排 法 。 885 8!x A 8064x 10. 2 5 3 4(1)(2)(3)(4) 名 教 師 ， 名 學(xué) 生 排 二 排 照 相 ， 前 排 人 ， 后 排 人 。共 有 幾 種 排 法 ？兩 教 師 在 前 排 ？兩 教 師 相 鄰 且 在 前 排 ？教 師 甲 在 前 排 ， 乙 在 后 排 ？解 ： 本 題 關(guān) 鍵 在 于 將 兩 排 對 應(yīng) 到 一 排 。 2 53 5(2) 720A A 1 2 52 2 5(3) 2 480A A 將 教 師 作 為 一 個 整 體

18、， 先 合 后 分 ， A1 1 53 4 5(4) 1440A A A 77(1) 5040A 12. 10 4個 同 學(xué) 排 一 隊 行 走 ， 要 求 女 相 鄰 ， 且 既 不 走 前 面 ，又 不 走 后 面 ， 問 有 幾 種 排 法 ？1 6 45 6 4 86400A A 解 ： A13. 1, 2, ,7(1)(2)(3) 用 排 成 無 重 復(fù) 數(shù) 字 的 七 位 數(shù) 。偶 數(shù) 不 相 鄰 ， 有 幾 種 排 法 ？偶 數(shù) 一 定 在 奇 數(shù) 位 上 ？奇 數(shù) 位 上 一 定 是 奇 數(shù) ， 偶 數(shù) 位 上 一 定 是 偶 數(shù) ？ 4 34 5(1) A解 ： 間 隔 排

19、列 。 A 3 44 4(2) 4 A先 在 個 奇 數(shù) 位 上 排 偶 數(shù) 。 A4 34 3(3) A A 14. 3 8人 坐 個 位 置 ， 要 求 每 人 兩 旁 都 為 空 位 ， 有 幾 種 ？5解 ： 由 題 意 ， 有 個 空 位 。5 4 3只 要 在 個 空 位 之 間 的 個 間 隔 插 入 人 即 可 。34 24A 有 種 。15. 9 6 3個 座 位 坐 人 ， 要 求 個 空 位 各 不 相 鄰 ， 有 幾 種 ？6 3 7解 ： 先 將 人 排 好 ， 再 將 個 空 位 插 入 個 間 隔 中 即 可 。3 個 空 位 是 相 同 的 ， 6 36 7 / 3! 25200A A 共 有 個 。 16. 8 2 34有 名 劃 船 手 共 劃 一 條 船 參 加 比 賽 ， 其 中 人 只 能 左 ， 人只 能 右 。 現(xiàn) 要 使 兩 邊 各 有 人 ， 分 別 負 責(zé) 不 同 崗 位 ， 問 ：有 多 少 種 安 排 方 式 ？3解 ： 有 人 能 左 能 右 ， 在 其 中 選 一 人 到 右 邊 。1 4 4 3 4 4 1728A A A