專題限時集訓(xùn)(九)　三角函數(shù)和解三角形 1．(2020·新高考全國卷Ⅰ)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由． 問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 注：如果選擇多個條件分別解答，按一個解答計分． [解]　方案一：選條件①. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1. 因此，選條件①時問題中的三角形存在，此時c＝1. 方案二：選條件②. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝. 由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6. 因此，選條件②時問題中的三角形存在，此時c＝2. 方案三：選條件③. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由③c＝b，與b＝c矛盾． 因此，選條件③時問題中的三角形不存在． 2.(2019·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設(shè)(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C． (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sin C． [解]　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝. 因為0°＜A＜180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由題設(shè)及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝， 故sin C＝sin(C＋60°－60°) ＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° ＝. 3．(2019·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asin＝bsin A． (1)求B； (2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍． [解]　(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A． 因為sin A≠0，所以sin＝sin B． 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos. 因為cos≠0，故sin＝，因此B＝60°. (2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC＝a. 由(1)知A＋C＝120°. 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°. 結(jié)合A＋C＝120°，所以30°＜C<90°，故＜a＜2，從而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面積的取值范圍是. 4．(2018·全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝2，求BC． [解]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝， 即＝，所以sin∠ADB＝. 由題設(shè)知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝. (2)由題設(shè)及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×2× ＝25. 所以BC＝5. 5．(2017·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為. (1)求sin Bsin C； (2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周長． [解]　(1)由題設(shè)得acsin B＝，即csin B＝. 由正弦定理得sin Csin B＝. 故sin Bsin C＝. (2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－， 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝. 由題設(shè)得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8. 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝. 故△ABC的周長為3＋. 1．(2020·四省八校聯(lián)盟高三聯(lián)考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tan A＝，tan B＝，a＝5. (1)求tan C； (2)求△ABC的最長邊． [解]　(1)由題意知，tan C＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－3. (2)由(1)知C為鈍角，所以C為最大角， 因為tan A＝，所以sin A＝，又tan C＝－3，所以sin C＝. 由正弦定理得＝，所以c＝，即△ABC的最長邊為. 2．(2020·江西紅色七校第一次聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acos C＋c＝b. (1)求角A的值； (2)若b＝4，c＝6，求cos B的值． [解]　(1)由條件acos C＋c＝b，得sin Acos C＋sin C＝sin B， 又由sin B＝sin(A＋C)，得sin Acos C＋sin C＝sin Acos C＋cos Asin C． 由sin C≠0，得cos A＝，故A＝. (2)在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A及b＝4，c＝6，A＝，得a2＝28，故a＝2， 法一：cos B＝＝. 法二：由＝得sin B＝，因為b＜a，所以B＜A，B∈，故cos B＝＝. 3．(2020·貴陽模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2bcos B＝acos C＋ccos A． (1)求角B的大??； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． [解]　(1)∵2bcos B＝acos C＋ccos A， ∴由正弦定理得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A， ∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)，又sin B≠0，sin(A＋C)＝sin B，∴2cos B＝1. ∴cos B＝， 又B∈(0，π)，∴B＝. (2)∵b＝2，B＝， ∴由余弦定理得4＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤4(當且僅當a＝c＝2時“＝”成立)， ∴S△ABC＝acsin B＝ac≤×4＝， ∴當且僅當a＝c＝2時，△ABC的面積取得最大值. 4．(2020·濟寧模擬)在△ABC中，∠A＝90°，點D在BC邊上．在平面ABC內(nèi)，過D作DF⊥BC且DF＝AC． (1)若D為BC的中點，且△CDF的面積等于△ABC的面積，求∠ABC； (2)若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB． [解]　(1)因為D是BC的中點，所以CD＝BC． 由題設(shè)知，DF＝AC，×CD×DF＝×AB×AC，因此CD＝AB． 所以AB＝BC，因此∠ABC＝60°. (2)不妨設(shè)AB＝1，由題設(shè)知BC＝.由BD＝3CD得BD＝，CD＝. 由勾股定理得CF＝，BF＝. 由余弦定理得cos∠CFB＝＝. 5．(2020·煙臺模擬)在①f (x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，②f (x)的圖象關(guān)于點對稱，③f (x)在上單調(diào)遞增這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的正實數(shù)a存在，求出a的值；若a不存在，說明理由． 已知函數(shù)f (x)＝4sin＋a(ω∈N*)的最小正周期不小于，且________，是否存在正實數(shù)a，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3? [解]　由于函數(shù)f (x)的最小正周期不小于，所以≥，所以1≤ω≤6，ω∈N*. 若選擇①，即f (x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則有ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4. 此時，f (x)＝4sin＋a. 由x∈，得4x＋∈，因此當4x＋＝，即x＝時，f (x)取得最大值4＋a，令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合題意． 故不存在正實數(shù)a，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3. 若選擇②，即f (x)的圖象關(guān)于點對稱，則有ω＋＝kπ(k∈Z)， 解得ω＝k－(k∈Z)，由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3. 此時，f (x)＝4sin＋a. 由x∈，得3x＋∈，因此當3x＋＝，即x＝時，f (x)取得最大值4sin＋a＝＋＋a，令＋＋a＝3，解得a＝3－－，不符合題意． 故不存在正實數(shù)a，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3. 若選擇③，即f (x)在上單調(diào)遞增， 則有(k∈Z)， 解得由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以ω＝1. 此時，f (x)＝4sin＋a. 由x∈，得x＋∈，因此當x＋＝，即x＝時，f (x)取得最大值2＋a，令2＋a＝3，解得a＝3－2，符合題意． 故存在正實數(shù)a＝3－2，使得函數(shù)f (x)在上有最大值3. 6．(2020·青島模擬)在△ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對邊，bcos C＋ccos B＝4，B＝. 請在下列三個條件①(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，②b＝4，③csin B＝bcos C中任意選擇一個，添加到題目的條件中，求△ABC的面積． 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分． [解]　因為bcos C＋ccos B＝4，所以由余弦定理得b·＋c·＝4，解得a＝4. 若選擇條件①，即(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B， 在△ABC中，由正弦定理得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，整理得a2＋b2－c2＝ab， 所以由余弦定理得cos C＝，又C∈(0，π)，故C＝. 又B＝，所以A＝π－－＝. 由＝，得b＝＝＝4(－1)， 故△ABC的面積S＝absin C＝×4×4(－1)×sin＝4(3－)． 若選擇條件②，即b＝4， 因為B＝，所以由＝，得sin A＝＝＝. 因為A∈(0，π)，所以A＝或A＝. 由于b＞a，所以B＞A，因此A＝不合題意，舍去，故A＝， 則C＝π－－＝， 故△ABC的面積S＝absin C＝×4×4×sin＝4(＋1)． 若選擇條件③，即csin B＝bcos C， 在△ABC中，由正弦定理可得sin Csin B＝sin Bcos C，易知sin B≠0， 所以tan C＝.因為C∈(0，π)，所以C＝， 又B＝，所以A＝π－－＝， 由＝，得b＝＝＝4(－1)， 故△ABC的面積S＝absin C＝×4×4(－1)×sin＝4(－1)． 7．(2020·濱州模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且其面積為S. ①＝，②||2＝·，③S＝. (1)請從以上三個條件中任選2個，并求角B； (2)在(1)的基礎(chǔ)上，點D在AB邊上，若sin∠CAD＝sin∠ACD，求sin∠CDB． 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分． [解]　對于條件①，由正弦定理得＝，則tan A＝tan B，可得A＝B． 對于條件②，由||2＝·可得||2－·＝0，即·(＋)＝·＝0，則C＝. 對于條件③，易得×bcsin A＝， 即4×sin A×＝， 即sin A＝cos A，得tan A＝，故A＝. 若選①②， (1)易得△ABC是以角C為直角的等腰直角三角形，所以B＝. (2)由sin∠CAD＝sin∠ACD，可得CD＝AD， 不妨設(shè)AD＝1，則CD＝，設(shè)AC＝x，由余弦定理可得＝， 得x＝，所以BC＝AC＝. 在△BCD中，＝，所以sin∠CDB＝. 若選②③， (1)易得△ABC是以角C為直角的直角三角形，又A＝，所以B＝. (2)由sin∠CAD＝sin∠ACD，可得CD＝AD， 不妨設(shè)AD＝1，則CD＝，設(shè)AC＝x，由余弦定理可得cos＝，得x＝2. 故由勾股定理的逆定理可得CD⊥AD，所以sin∠CDB＝1. 若選①③， (1)則易知△ABC為正三角形，可得B＝. (2)因為△ABC為正三角形，所以A＝， 又sin∠CAD＝sin∠ACD，所以sin∠ACD＝，所以∠ACD＝， 所以CD⊥AB，所以sin∠CDB＝1. 8．(2020·威海模擬)在①(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C，②a＝csin A－acos C，③△ABC的面積S△ABC＝(a2＋b2－c2)這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，作為問題的條件，再解答這個問題． 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝，且________，探究△ABC的周長l是否存在最大值？若存在，求出l的最大值；若不存在，說明理由． 注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分． [解]　若選①，因為(2a＋b)sin A＋(2b＋a)sin B＝2csin C， 所以由正弦定理可得(2a＋b)a＋(2b＋a)b＝2c2， 即a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝＝－， 因為C∈(0，π)，所以C＝. 又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以a＝2sin A，b＝2sin B， 則l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝sin A＋cos A＋＝2sin＋， 因為0＜A＜，所以2＜2sin＋≤2＋. 即△ABC的周長l存在最大值，且最大值為2＋. 若選②，因為a＝csin A－acos C， 所以由正弦定理可得sin A＝sin Csin A－sin Acos C， 因為sin A≠0，所以sin C－cos C＝1， 所以sin＝，又0＜C＜π，故C＝， 又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2， 所以a＝2sin A，b＝2sin B， 則l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝3sin A＋cos A＋＝2sin＋， 因為0＜A＜，所以2＜2sin＋≤3， 即△ABC的周長l存在最大值，且最大值為3. 若選③，因為△ABC的面積S△ABC＝(a2＋b2－c2)， 所以absin C＝(a2＋b2－c2)， 所以sin C＝×， 由余弦定理可得sin C＝cos C，即tan C＝， 又因為0＜C＜π，故C＝， 又c＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2， 所以a＝2sin A，b＝2sin B， 則l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋＝2sin＋， 因為0＜A＜，所以2＜2sin＋≤3， 即△ABC的周長l存在最大值，且最大值為3.