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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案（2） 湘教版選修1-1 教學(xué)目標(biāo) 1、進一步掌握橢圓的幾何性質(zhì) 2、理解橢圓的第二定義，掌握橢圓的準(zhǔn)線方程及準(zhǔn)線的幾何意義，進一步理解離心率的幾何意義。 3、掌握用坐標(biāo)法求曲線方程及由方程研究圖形性質(zhì)的方法。 4、培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力 教學(xué)過程 1、復(fù)習(xí)回顧 前一節(jié)學(xué)習(xí)了橢圓的幾何性質(zhì)，大家回憶一下： ⑴橢圓的幾何性質(zhì)的內(nèi)容是什么？ 橢圓16x2＋9y2＝144中x、y的范圍，長軸長，短軸長，離心率，頂點及焦點坐標(biāo)。 －3≤x≤3，－4≤y≤4，長軸長2a＝8，短軸長2b＝6，離心率， 頂點坐標(biāo)(0,－4),(0,4),(－3,0),(3,0)，焦點坐標(biāo) 注意：橢圓的焦點一定在橢圓的長軸上。 ⑵什么叫做橢圓的離心率？ e＝c/a 離心率的幾何意義是什么呢？我們先來看一個問題： 點M(x,y)與定點F(c,0)的距離和它到定直線l：x＝a2/c的距離的比是常數(shù)e=c/a(a＞c＞0)，求點M的軌跡。 2、探索研究 (按求軌跡方程的步驟，學(xué)生回答，教師書寫) 解：設(shè)d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合 由此得 將上式兩邊平方，并化簡，得 (a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2) 設(shè)a2－c2＝b2,就可化成x2/a2＋y2/b2＝1，這是橢圓方程，所以點M的軌跡是長軸長為2a，長軸長為2b，焦點在x軸上的橢圓。 小結(jié)： ⑴橢圓的第二定義：當(dāng)點M與定點F的距離和它到定直線l的距離的比是常數(shù)e=c/a(0＜e＜1)時，這個點的軌跡是橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。 ⑵對于橢圓x2/a2＋y2/b2＝1，相應(yīng)于焦點F2(c,0)的準(zhǔn)線方程是l：x＝a2/c，根據(jù)橢圓對稱性，相應(yīng)于焦點F1(－c,0)的準(zhǔn)線方程是l：x＝－a2/c；對于橢圓x2/ b 2＋y2/ a 2＝1，相應(yīng)于焦點F2(0,c)的準(zhǔn)線方程是l：y＝a2/c，根據(jù)橢圓對稱性，相應(yīng)于焦點F1(0,－c)的準(zhǔn)線方程是l：y＝－a2/c。 ⑶離心率的幾何意義是：橢圓上的點M與焦點F和它到準(zhǔn)線l(與焦點F相對應(yīng)的準(zhǔn)線)的距離的比。 指導(dǎo)學(xué)生歸納知識一覽表（見幾何畫板） 3、反思應(yīng)用 例1　求橢圓4x2＋y2＝1的x、y的范圍，長軸長，短軸長，離心率，焦點與頂點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程。 分析：－1/2≤x≤1/2,－1≤y≤1，2a＝2，2b＝1，頂點(0,1),(1/2,0),焦點，， 準(zhǔn)線方程 例2　已知橢圓x2/100＋y2/36＝1上一點P到其左、右焦點距離的比為1∶3，求點P到兩條準(zhǔn)線的距離。 分析：由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知a＝10，b＝6，∴c＝8，e＝c/a＝4/5。 　　　∵|PF1|＋|PF2|＝20，|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝5，|PF2|＝15 設(shè)點P到左準(zhǔn)線的距離為d1, 點P到右準(zhǔn)線的距離為d2, 根據(jù)橢圓的第二定義，有 ∴d1＝|PF1|/e＝25/4，d2＝75/4。 變：⑴已知橢圓x2/100＋y2/36＝1上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的左焦點與右焦點，求|PF1|、|PF2|。 　　分析：由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知a＝10，b＝6，∴c＝8，e＝c/a＝4/5， 左準(zhǔn)線方程x＝－25/2，右準(zhǔn)線方程x＝25/2，設(shè)點P到左準(zhǔn)線的距離為d1, 點P到右準(zhǔn)線的距離為d2,則d1＝5－（－25/2）＝35/2，d2＝5－25/2＝15/2，∴|PF1|＝ed1＝14，|PF2|＝6。 小結(jié)：點P(x0,y0)是橢圓x2/a2＋y2/b2＝1上的一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的左焦點與右焦點，點P到左準(zhǔn)線的距離為d1, 點P到右準(zhǔn)線的距離為d2，則d1＝a2/c＋x0, d2＝a2/c－x0,|PF1|＝ed1＝a＋ex0，|PF1|＝ed2＝a－ex0。 　　　　⑵已知橢圓x2/100＋y2/36＝1內(nèi)有一點P(2，－3), F2為橢圓的右焦點，在橢圓上有一點M，使 的值最小，求點M的坐標(biāo)。 　　分析：設(shè)M在右準(zhǔn)線l上的射影為M1， 由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知 　　a＝10,b＝6,∴c＝8,e＝c/a＝4/5, 由橢圓第二定義，有|MF2|/|MM1|=4/5,即|MF2|＝4|MM1|/5 ∴|MP|＋|MF2|＝|MP|＋|MM1|，當(dāng)M、P、M1三點共線時， |MP|＋|MM1|有最小值。 過P作右準(zhǔn)線的垂線y＝－3，由方程組，解得 例3　求中心在原點，長軸在x軸上，一條準(zhǔn)線方程是x＝3，離心率為的橢圓方程。 解：設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意有 解得， ∴所求橢圓方程是 4、歸納總結(jié) 數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比的思想、特殊到一般 數(shù)學(xué)方法：圖象法、公式法、待定系數(shù)法、 知識點：范圍、頂點、對稱性、離心率、橢圓第二定義、焦半徑 5、作業(yè)　　P103　習(xí)題8.2　8、9、10 　　預(yù)習(xí)： ⑴曲線參數(shù)方程的定義是什么？ ⑵在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b的幾何意義是什么？ ⑶橢圓的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是什么？