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3 從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量 3.1 數(shù)乘向量,1.數(shù)乘向量的概念與運算律 (1)數(shù)乘向量： ①定義：λ a是一個_____. ②長度：________. ③方向：,向量,|λ||a|,相同,相反,任意,(2)數(shù)乘向量的運算律： ①λ(μa)=________(λ，μ∈R). ②(λ+μ)a=__________(λ，μ∈R). ③λ(a+b)=__________(λ∈R).,(λμ)a,λ a+μ a,λ a+λ b,2.向量共線的判定定理與性質(zhì)定理 (1)判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)λ，使得 b=____，則向量b與非零向量a共線. (2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在一個實數(shù) λ，使得b=____.,λa,λa,1．判一判 (正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)實數(shù)與向量相乘得到數(shù)乘向量，實數(shù)與向量相加也能得到向量.( ) (2)數(shù)乘向量的運算滿足結(jié)合律、分配律.( ) (3)若向量a,b共線，則一定有a=λb(λ∈R).( ),2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)非零向量a與向量-2a的方向_______. (2) a－a+2a=_______. (3)向量e1-e2與向量e2-e1的關(guān)系是_______.,【解析】1.(1)錯誤.實數(shù)λ與向量a可以作積，但不可以作加減法. (2)正確.由數(shù)乘向量的運算律可知正確. (3)錯誤.若向量b=0時,λ不存在. 答案:(1) (2)√ (3),2.(1)非零向量a與向量－2a的方向相反. 答案:相反 (2) a－a+2a= a. 答案： a (3)因為e1-e2=-(e2－e1),故兩向量共線. 答案：共線,【要點探究】 知識點1 數(shù)乘向量的定義及運算 1.對實數(shù)與向量的積的理解 (1)從代數(shù)的角度來看，①λ是實數(shù)，a是向量，它們的積仍然是向量；②λa=0的條件是a=0或λ=0.,(2)從幾何的角度來看，對于向量的長度而言，①當|λ|＞1時，有|λa|＞|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸長到|λ|倍；②當0＜|λ|＜1時，有|λa|＜|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(-1＜λ＜0)上縮短到原來的|λ|.,2.對數(shù)乘向量的運算律的說明 數(shù)乘向量滿足對實數(shù)的結(jié)合律、分配律，即數(shù)乘向量的運算律類似于實數(shù)的運算律，可以類比記憶應用.,【微思考】 (1)數(shù)乘向量λa的模一定比原來向量a的模大嗎？ 提示：不一定，當|λ|1時模變大，否則模不變或變小. (2)實數(shù)與向量相乘的結(jié)果是實數(shù)嗎？ 提示：實數(shù)與向量相乘的結(jié)果仍然是向量.,【即時練】 1.若a=2，則向量－2a的模為______. 2.化簡： (1) a+b－ a－ b=______. (2)(2014樂清高一檢測) (2a+8b)-(4a-2b)=______.,【解析】1.|－2a|=2|a|=22=4. 答案：4 2.(1) (2)由題意，得 (2a+8b)-(4a-2b)=a+4b-4a+2b=-3a+6b， 即原式=6b-3a. 答案：(1) (2)6b-3a,知識點2 共線向量的判定與性質(zhì) 對向量共線定理的兩點說明 (1)定理中,之所以規(guī)定a≠0,因為若a=0,當b=0時,對于任意的實數(shù)λ,均滿足b=λa;當b≠0,則不存在實數(shù)λ,滿足b=λa. (2)若a,b不共線，且λa=μb，則必有λ=μ=0.,【微思考】 利用共線向量定理判定向量共線的關(guān)鍵是什么? 提示：關(guān)鍵是確定實數(shù)λ,滿足a=λb或b=λa.,【即時練】 1.已知向量a=e,e≠0,b=2a－ e,若a=λb,則λ=_____. 2.已知點C是線段AB的三等分點且靠近A點, 則λ=_____. 【解析】1. 故λ= . 答案： 2.因為AB= BC,故 故λ=- . 答案:-,【題型示范】 類型一 數(shù)乘向量的運算 【典例1】 (1)(2014三亞高一檢測)在△ABC中， 若點D 滿足 則 =( ),(2)D,E,F分別為△ABC的邊BC,CA,AB的中點，且 給出下列等式： ① ② ③ ④ 其中正確的序號為______.,【解題探究】1.利用向量的加法，題(1)中向量 可以表示成哪些向量的和？ 2.題(2)中三角形的中線、中位線具有什么樣的性質(zhì)？ 【探究提示】1. 或 2.三角形的中線是連接頂點與對邊中點的線段，中位線是連接兩邊中點的線段，中線的一個端點是邊的中點，中位線平行且等于對邊的一半.,【自主解答】(1)選D.方法一： 方法二：,(2)如圖, 答案：①②③④,【延伸探究】本例題(1)中，若 試表示 【解析】,【方法技巧】數(shù)乘向量的化簡方法 (1)不在圖形中的簡單化簡問題依照數(shù)乘向量的運算律進行. (2)在具體圖形中的數(shù)乘向量化簡一般要利用向量的加法(減法)找到向量間的關(guān)系，再利用數(shù)乘向量的運算進行化簡. (3)具體圖形中的數(shù)乘向量化簡要結(jié)合圖形的性質(zhì)進行.,【變式訓練】如圖所示，已知 C,D,E為AB的四等分點，求,【解析】 此時，,【補償訓練】把滿足3x-2y=a，-4x+3y=b的向量x，y用a，b表示出來. 【解析】由已知得 ①3+②2得x=3a+2b， ①4+②3，得y=4a+3b. 所以x=3a+2b,y=4a+3b.,類型二 共線向量定理的應用 【典例2】 (1)(2014遵義高一檢測)在四邊形ABCD中， =a+2b， =－4a－b， =－5a－3b，其中向量a,b不共線，則四邊形 ABCD為( ) A.梯形 B.平行四邊形 C.菱形 D.矩形,(2)(2014宿遷高一檢測)設兩個非零向量a與b不共線． ①若 ＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a-b)．求證：A,B,D三點共線； ②試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．,【解題探究】1.題(1)中能否求出向量 ？ 2.題(2)中A，B，D三點共線應滿足什么條件？ka+b和a+kb共線應滿足什么條件？ 【探究提示】1. 2.A，B，D三點共線應滿足 ka＋b和a＋kb共線應滿足ka+b=λ(a+kb).,【自主解答】(1)選A.因為 =a+2b-4a－b－5a－3b=－8a－2b =2 ，故AD∥BC且AD=2BC， 故四邊形ABCD為梯形.,(2)①因為 所以 ＝ 所以 共線， 又因為它們有公共點B，所以A，B，D三點共線．,②因為ka＋b與a＋kb共線， 所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. 所以(k－λ)a＝(λk－1)b. 因為a，b是不共線的兩個非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0,所以k＝1.,【方法技巧】用向量共線定理求參數(shù)的方法 (1)三點A,B,C共線問題：利用 構(gòu)造方程求參數(shù). (2)已知向量ma+nb與ka+pb(a與b不共線)共線求參數(shù)的值的 步驟 ①設：設ma+nb=λ(ka+pb). ②整：整理得ma+nb=λka+λpb，故 ③解：解方程組得參數(shù)的值.,【變式訓練】已知向量a=2e1－3e2,b=2e1+3e2,其中e1，e2為不共線向量. (1)用向量a,b表示e1，e2. (2)向量a,b是否共線？請說明理由. 【解題指南】(1)聯(lián)立方程解出向量e1，e2. (2)利用a=λb構(gòu)造方程組解題.,【解析】(1)由a=2e1－3e2,b=2e1+3e2,聯(lián)立可解得 (2)向量a,b不共線.假設向量a,b共線，則設a=λb， 可得： 無解，故向量a,b不共線.,【補償訓練】MN是△ABC的中位線(其中M為AB的中點，N為AC 的中點)，求證： 且MN∥BC. 【證明】因為M，N是AB，AC邊上的中點， 所以 所以， 且MN∥BC.,【易錯誤區(qū)】忽視共線向量的方向致誤 【典例】(2014榆林高一檢測)若 且 則λ=_______. 【解析】(1)當點C在線段AB上時，如圖， 則 即λ=2.,(2)當點C在線段AB的延長線上時，如圖， 則 與 的方向相反，故λ=-2. 答案：2或-2,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 重視對向量方向的討論 根據(jù)向量共線的定義，當兩個向量的方向相同或相反時均共線，因此需要對共線向量進行兩種情況的討論，避免漏解.如本例中若想當然地認為同向，則會漏掉解λ=－2.,【類題試解】若|a|=m，b與a的方向相反，且|b|=2，則a=________b. 【解析】因為 所以|a|= |b|.因為b與a方向相 反，所以b與a共線.所以a=- b. 答案：-,