《高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題五 解析幾何 專題強化練十五 圓錐曲線中的熱點問題 理-人教版高三數(shù)學試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題五 解析幾何 專題強化練十五 圓錐曲線中的熱點問題 理-人教版高三數(shù)學試題(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題強化練十五 圓錐曲線中的熱點問題
一、選擇題
1.若雙曲線-=1(0<λ<1)的離心率e∈(1,2),則實數(shù)λ的取值范圍為( )
A. B.(1,2) C.(1,4) D.
解析:易知c=1,a=,且e∈(1,2),所以1<<2,得<λ<1.
答案:D
2.橢圓C:+=1的焦點在x軸上,點A,B是長軸的兩端點,若曲線C上存在點M滿足∠AMB=120°,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(3,+∞) B.[1,3)
C.(0,) D.(0,1]
解析:依題意,當0<m<3時,焦點在x軸上,
要在曲線C上存在點M滿足∠AMB=120°,
則≥tan
2、 60°,即≥,解得0<m≤1.
答案:D
3.如圖所示,點F是拋物線y2=8x的焦點,點A,B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16的實線部分上運動,且AB總是平行于x軸,則△FAB的周長的取值范圍是( )
A.(2,6) B.(6,8)
C.(8,12) D.(10,14)
解析:拋物線的準線l:x=-2,焦點F(2,0).
由拋物線定義可得|AF|=xA+2,圓(x-2)2+y2=16的圓心為(2,0),半徑為4,所以三角形FAB的周長為|AF|+|AB|+|BF|=(xA+2)+(xB-xA)+4=6+xB.
由拋物線y2=8x及圓(x-2)2+
3、y2=16可得交點的橫坐標為2.所以xB∈(2,6),因此,8<6+xB<12.
答案:C
4.(2018·山東德州一模)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點在拋物線y2=16x的準線上,且雙曲線的一條漸近線過點(,3),則雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,
由雙曲線的一條漸近線過點(,3),可得=,①
雙曲線的一個焦點(-c,0)在拋物線y2=16x的準線x=-4上,
可得c=4,即有a2+b2=16,②
由①②解得a=2,b=2,
則雙曲線的方程為-=1.
4、
答案:C
二、填空題
5.(2018·山西太原一模)過雙曲線-=1(a>0,b>0)的右頂點且斜率為2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點,則此雙曲線離心率的取值范圍為________.
解析:由過雙曲線-=1(a>0,b>0)的右頂點且斜率為2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點,可得<2,
所以e== <=,
因為e>1,所以1<e<,
所以此雙曲線離心率的取值范圍為(1,).
答案:(1,)
6.(2018·濟南模擬)已知拋物線y2=4x,過焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B分別作x軸,y軸垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為________.
5、
解析:不妨設A(x1,y1)(y1>0),
B(x2,y2),(y2<0).
則|AC|+|BD|=x2+y1=+y1.
又y1y2=-p2=-4.
所以|AC|+|BD|=-(y2<0).
設g(x)=-,g′(x)=,
令g′(x)<0,得x<-2,令g′(x)>0得-2<x<0.所以g(x)在(-∞,-2)遞減,在(-2,0)遞增.
所以當x=-2,即y2=-2時,|AC|+|BD|取最小值為3.
答案:3
三、解答題
7.已知動圓M恒過點(0,1),且與直線y=-1相切.
(1)求動圓心M的軌跡方程;
(2)動直線l過點P(0,-2),且與點M的軌跡交于A,B
6、兩點,點C與點B關于y軸對稱,求證:直線AC恒過定點.
(1)解:由題意得點M與點(0,1)的距離等于點M與直線y=-1的距離.
由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(0,1)為焦點,直線y=-1為準線的拋物線,則=1,所以p=2.
所以圓心M的軌跡方程為x2=4y.
(2)證明:由題意知直線l的斜率存在,設直線l:y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),則C(-x2,y2),
由得x2-4kx+8=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=8.
kAC===,
直線AC的方程為y-y1=(x-x1).
即y=y(tǒng)1+(x-x1)=x-+=x+,
因為x1x2=8,所以y=
7、x+2,
則直線AC恒過點(0,2).
8.(2018·西安質(zhì)檢)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,直線x+y-1=0被以橢圓C的短軸為直徑的圓截得的弦長為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點M(4,0)的直線l交橢圓于A,B兩個不同的點,且λ=|MA|·|MB|,求λ的取值范圍.
解:(1)原點到直線x+y-1=0的距離為,
由題得+=b2(b>0),
解得b=1.
又e2==1-=,得a=2.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)當直線l的斜率為0時,λ=|MA|·|MB|=12.
當直線l的斜率不為0時,設直線l:x=my+4,點A(x1,y1),B
8、(x2,y2),
聯(lián)立方程組
化簡得(m2+4)y2+8my+12=0.
由Δ=64m2-48(m2+4)>0,得m2>12,
所以y1y2=.
λ=|MA|·|MB|
=|y1|·|y2|
=(m2+1)|y1y2|=
=12.
由m2>12,得0<<,所以<λ<12.
綜上可得,<λ≤12,即λ∈.
9.(2018·惠州調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中,過點C(2,0)的直線與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求證:y1y2為定值;
(2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長為定值?如果存在,求出該直線
9、的方程和弦長,如果不存在,說明理由.
(1)證明:法一 當直線AB垂直于x軸時,不妨取y1=2,y2=-2,
所以y1y2=-8(定值).
當直線AB不垂直于x軸時,
設直線AB的方程為y=k(x-2),
由得ky2-4y-8k=0,
所以y1y2=-8.
綜上可得,y1y2=-8為定值.
法二 設直線AB的方程為my=x-2.
由得y2-4my-8=0,所以y1y2=-8.
因此有y1y2=-8為定值.
(2)解:存在.理由如下:
設存在直線l:x=a滿足條件,則
AC的中點E,
|AC|=,
因此以AC為直徑的圓的半徑r=|AC|==,
點E到直線x=a的距
10、離d=,
所以所截弦長為
2 =2
=
=,
當1-a=0,即a=1時,弦長為定值2,這時的直線的方程為x=1.
10.(2018·河南鄭州二模)已知動圓E經(jīng)過點F(1,0),且和直線l:x=-1相切.
(1)求該動圓圓心E的軌跡G的方程;
(2)已知點A(3,0),若斜率為1的直線l′與線段OA相交(不經(jīng)過坐標原點O和點A),且與曲線G交于B、C兩點,求△ABC面積的最大值.
解:(1)由題意可知點E到點F的距離等于點E到直線l的距離,
所以動點E的軌跡是以F(1,0)為焦點,直線x=-1為準線的拋物線,
故軌跡G的方程是y2=4x.
(2)設直線l′的方程為y=x
11、+m,其中-3<m<0.
聯(lián)立方程組
消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0,
Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)恒大于零.
設C(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關系得x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,
所以|CB|=4,
點A到直線l′的距離d=,
所以S△ABC=×4×=2×(3+m),
令=t,t∈(1,2),則m=1-t2,
所以S△ABC=2t(4-t2)=8t-2t3,
令f(t)=8t-2t3,所以f′(t)=8-6t2,
易知y=f(t)在上遞增,在上遞減.
所以y=f(t)在t=,即m=-時取得最大值.
所以△ABC面積的最大值為.