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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5.1《離散型隨機(jī)變量的均值》教案 蘇教版選修2-3 2.5.1 離散型隨機(jī)變量的均值 教學(xué)目標(biāo) （1）通過實例，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值（數(shù)學(xué)期望）的概念和意義； （2）能計算簡單離散型隨機(jī)變量均值（數(shù)學(xué)期望），并能解決一些實際問題． 教學(xué)重點，難點：取有限值的離散型隨機(jī)變量均值（數(shù)學(xué)期望）的概念和意義． 教學(xué)過程 一．問題情境 1．情景： 前面所討論的隨機(jī)變量的取值都是離散的，我們把這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．這樣刻畫離散型隨機(jī)變量取值的平均水平和穩(wěn)定程度呢？ 甲、乙兩個工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，在相同的條件下，他們生產(chǎn)件產(chǎn)品所出的不合格品數(shù)分別用表示，的概率分布如下． 2．問題： 如何比較甲、乙兩個工人的技術(shù)？ 二．學(xué)生活動 1． 直接比較兩個人生產(chǎn)件產(chǎn)品時所出的廢品數(shù)．從分布列來看，甲出件廢品的概率比乙大，似乎甲的技術(shù)比乙好；但甲出件廢品的概率也比乙大，似乎甲的技術(shù)又不如乙好．這樣比較，很難得出合理的結(jié)論． 2． 學(xué)生聯(lián)想到“平均數(shù)”，，如何計算甲和乙出的廢品的“平均數(shù)”？ 3． 引導(dǎo)學(xué)生回顧《數(shù)學(xué)3（必修）》中樣本的平均值的計算方法． 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．定義 在《數(shù)學(xué)3（必修）》“統(tǒng)計”一章中，我們曾用公式計算樣本的平均值，其中為取值為的頻率值． 類似地，若離散型隨機(jī)變量的分布列或概率分布如下： … … 其中，，則稱為隨機(jī)變量的均值或的數(shù)學(xué)期望，記為或． 2．性質(zhì) （1）；（2）．（為常數(shù)） 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1．高三（1）班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲，在一個小口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同．某學(xué)生一次從中摸出5個球，其中紅球的個數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望． 分析：從口袋中摸出5個球相當(dāng)于抽取個產(chǎn)品，隨機(jī)變量為5個球中的紅球的個數(shù)，則服從超幾何分布． 解：由2．2節(jié)例1可知，隨機(jī)變量的概率分布如表所示： X 0 1 2 3 4 5 P 從而 答：的數(shù)學(xué)期望約為． 說明：一般地，根據(jù)超幾何分布的定義，可以得到． 例2．從批量較大的成品中隨機(jī)取出件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查，若這批產(chǎn)品的不合格品率為，隨機(jī)變量表示這件產(chǎn)品中不合格品數(shù)，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望． 解：由于批量較大，可以認(rèn)為隨機(jī)變量， 隨機(jī)變量的概率分布如表所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 故 即抽件產(chǎn)品出現(xiàn)不合格品的平均件數(shù)為件． 說明：例2中隨機(jī)變量服從二項分布，根據(jù)二項分布的定義，可以得到：當(dāng) 時，． 例3．設(shè)籃球隊與進(jìn)行比賽，每場比賽均有一隊勝，若有一隊勝場則比賽宣告結(jié)束，假定在每場比賽中獲勝的概率都是，試求需要比賽場數(shù)的期望． 分析：先由題意求出分布列，然后求期望 解：（1）事件“”表示，勝場或勝場（即負(fù)場或負(fù)場），且兩兩互斥． ； （2）事件“”表示，在第5場中取勝且前場中勝3場，或在第5場中取勝且前場中勝3場（即第5場負(fù)且場中負(fù)了3場），且這兩者又是互斥的，所以 （3）類似地，事件“”、 “”的概率分別為 ， 比賽場數(shù)的分布列為 4 5 6 7 故比賽的期望為（場） 這就是說，在比賽雙方實力相當(dāng)?shù)那闆r下，平均地說，進(jìn)行6場才能分出勝負(fù)． 2．練習(xí)： 據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)下個月有小洪水的概率為，有大洪水的概率為．現(xiàn)工地上有一臺大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備有以下三種方案： 方案1：運(yùn)走設(shè)備，此時需花費(fèi)元； 方案2：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)元．但圍墻無法防止大洪災(zāi)，若大洪災(zāi)來臨，設(shè)備受損，損失費(fèi)為元； 方案：不采取措施，希望不發(fā)生洪水，此時大洪水來臨損失元，小洪水來臨損失元． 試選擇適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，對種方案進(jìn)行比較． 五．回顧小結(jié)： 1．離散型隨機(jī)變量均值（數(shù)學(xué)期望）的概念和意義； 2．離散型隨機(jī)變量均值（數(shù)學(xué)期望）的計算方法； 3．超幾何分布和二項分布的均值（數(shù)學(xué)期望）的計算方法． 六．課外作業(yè)： 課本， 第1題