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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.3《三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)》學(xué)案 湘教版必修2 【考點闡述】 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)．周期函數(shù)．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像．正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)．已知三角函數(shù)值求角． 【考試要求】 （5）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡圖，理解A、ω、φ的物理意義． （6）會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx arccosx arctanx表示． 【考題分類】 （一）選擇題（共21題） 1.（安徽卷文8）函數(shù)圖像的對稱軸方程可能是（ ） A． B． C． D． 解：的對稱軸方程為，即， 2.（廣東卷文5）已知函數(shù)，則是（ ） A、最小正周期為的奇函數(shù) B、最小正周期為的奇函數(shù) C、最小正周期為的偶函數(shù) D、最小正周期為的偶函數(shù) 【解析】,選D. 3.（海南寧夏卷理1）已知函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在區(qū)間[0，2π]的圖像如下：那么ω=（ ） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 解：由圖象知函數(shù)的周期，所以 4.（海南寧夏卷文11）函數(shù)的最小值和最大值分別為（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， D. －2， 【標(biāo)準(zhǔn)答案】：Ｃ 【試題解析】：∵ ∴當(dāng)時，，當(dāng)時，；故選Ｃ； 【高考考點】三角函數(shù)值域及二次函數(shù)值域 【易錯點】：忽視正弦函數(shù)的范圍而出錯。 【全品備考提示】：高考對三角函數(shù)的考查一直以中檔題為主，只要認(rèn)真運算即可。 5.（湖南卷理6）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是( ) A.1 B. C. D.1+ 【答案】C 【解析】由, 故選C. 6.（江西卷理6文10）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是 【解析】D. 函數(shù) 7.（江西卷文6）函數(shù)是 A．以為周期的偶函數(shù) B．以為周期的奇函數(shù) C．以為周期的偶函數(shù) D．以為周期的奇函數(shù) 【解析】 8.（全國Ⅰ卷理8）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ ） A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位 C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位 【解析】.A. 只需將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像. 9.（全國Ⅰ卷文6）是（ ） A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù) C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù) 10.（全國Ⅰ卷文9）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像（ ） A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位 C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位 11.（全國Ⅱ卷理8）若動直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點，則的最大值為（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】在同一坐標(biāo)系中作出及在的圖象，由圖象知，當(dāng)，即時，得，，∴ 【高考考點】三角函數(shù)的圖象，兩點間的距離 【備考提示】函數(shù)圖象問題是一個常考常新的問題 12.（全國Ⅱ卷文10）函數(shù)的最大值為（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】，所以最大值是 【高考考點】三角函數(shù)中化為一個角的三角函數(shù)問題 【備考提示】三角函數(shù)中化為一個角的三角函數(shù)問題是三角函數(shù)在高考中的熱點問題 13.（四川卷理10）設(shè)，其中，則是偶函數(shù)的充要條件是( ) （Ａ）　?。ǎ拢　。ǎ茫　。ǎ模? 【解】：∵是偶函數(shù) ∴由函數(shù)圖象特征可知必是的極值點， ∴ 故選D 【點評】：此題重點考察正弦型函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的極值點與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系； 【突破】：畫出函數(shù)圖象草圖，數(shù)形結(jié)合，利用圖象的對稱性以及偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱的要求，分析出必是的極值點，從而； 14.（天津卷理3）設(shè)函數(shù)，則是 (A) 最小正周期為的奇函數(shù) (B) 最小正周期為的偶函數(shù) (C) 最小正周期為的奇函數(shù) (D) 最小正周期為的偶函數(shù) 解析：是周期為的偶函數(shù)，選B． 15.（天津卷理9）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù).令，則 (A) (B) (C) (D) 解析：， 因為，所以，所以，選A． 16.（天津卷文6）把函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（ ） A． B． C． D． 解析：選C, ． 17.（天津卷文9）設(shè)，，，則（ ） A． B． C． D． 解析：，因為，所以，選D． 18.（浙江卷理5文7）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 解析：本小題主要考查三角函數(shù)圖像的性質(zhì)問題。原函數(shù)可化為： =作出原函數(shù)圖像， 截取部分，其與直線的交點個數(shù)是2個. 19.（浙江卷文2）函數(shù)的最小正周期是 （A） （B） （C） （D） 解析：本小題主要考查正弦函數(shù)周期的求解。原函數(shù)可化為：，故其周期為 20.（重慶卷理10）函數(shù)f(x)=() 的值域是 （A）[-] (B)[-1,0] （C）[-] （D）[-] 解：特殊值法， 則f(x)=淘汰A， 令得當(dāng)時時所以矛盾淘汰C， D 21.（重慶卷文12）函數(shù)f(x)=(0≤x≤2)的值域是 (A)[-] (B)[-] (C)[-] (D)[-] 【答案】C 【解析】本小題主要考查函數(shù)值域的求法。令，則，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。同理可得當(dāng)時，，綜上可知的值域為，故選C。 （二）填空題（共8題） 1.（廣東卷理12）已知函數(shù)，，則的最小正周期是 ． 【解析】,此時可得函數(shù)的最小正周期。 2.（江蘇卷1）的最小正周期為，其中，則 。 【解析】本小題考查三角函數(shù)的周期公式.【答案】10 3.（遼寧卷理16）已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則＝__________． 解析：本小題主要針對考查三角函數(shù)圖像對稱性及周期性。依題且在區(qū)間有最小值,無最大值,∴區(qū)間為的一個半周期的子區(qū)間，且知的圖像關(guān)于對稱，∴,取得答案： 4.（遼寧卷文16）設(shè)，則函數(shù)的最小值為 ． 解析：本小題主要考查三角函數(shù)的最值問題。 取的左半圓,作圖(略)易知 答案： 5.（上海卷理6）函數(shù)f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是 【答案】 【解析】由. 6.（上海春卷4）方程在區(qū)間內(nèi)的解是 . 解析：原方程就是，所以 故在區(qū)間內(nèi)的解是。 7．（四川延考理15）已知函數(shù) 在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，則 。 解：由題意 又，令得。（如，則，與已知矛盾） 8．（四川延考文14）函數(shù)的最大值是____________． 解： 因為，， ，正好時取等號。（另在時取最大值） （三）解答題（共16題） 1.（安徽卷理17文17）已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對稱軸方程 （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的值域 解：（1） 由 函數(shù)圖象的對稱軸方程為 （2） 因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以 當(dāng)時，取最大值 1 又 ，當(dāng)時，取最小值 所以 函數(shù) 在區(qū)間上的值域為 2.（北京卷理15文15）已知函數(shù)（）的最小正周期為． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍． 解：（Ⅰ）． 因為函數(shù)的最小正周期為，且， 所以，解得． （Ⅱ）由（Ⅰ）得． 因為，所以，所以， 因此，即的取值范圍為． 3.（廣東卷理16文16）已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點． （1）求的解析式； （2）已知，且，，求的值． 【解析】（1）依題意有，則，將點代入得，而，，，故； （2）依題意有，而，， 。 4.（湖北卷理16）已知函數(shù) （Ⅰ）將函數(shù)化簡成（，，）的形式； （Ⅱ）求函數(shù)的值域. 解.本小題主要考查函數(shù)的定義域、值域和三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查三角恒等變換、代數(shù)式的化簡變形和運算能力.（滿分12分） 解：（Ⅰ） 　 ?。? （Ⅱ）由得 在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)， 又（當(dāng)）， 即 故g(x)的值域為 5.（湖北卷文16）已知函數(shù) （Ⅰ）將函數(shù)化簡成的形式，并指出的周期； （Ⅱ）求函數(shù)上的最大值和最小值 解：(Ⅰ). 故的周期為｛k∈Z且k≠0｝. (Ⅱ)由π≤x≤π，得.因為f(x)＝在[]上是減函數(shù)，在[]上是增函數(shù). 故當(dāng)x=時，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2， 所以當(dāng)x=π時，f(x)有最大值－2. 6.（湖南卷文17）已知函數(shù). （I）求函數(shù)的最小正周期； （II）當(dāng)且時，求的值。 解：由題設(shè)有． （I）函數(shù)的最小正周期是 （II）由得即 因為,所以 從而 于是 7.（江蘇卷15）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為。 （1） 求的值； （2） 求的值。 【試題解析】先由已知條件得，第（1）問求的值，運用正切的和角公式；第（2）問求的值，先求出的值，再根據(jù)范圍確定角的值。 【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）由已知條件即三角函數(shù)的定義可知， 因故，從而 同理可得 ，因此. 所以=; （2）, 從而由 得 . 8.（江西卷文17）已知， （1）求的值； （2）求函數(shù)的最大值． 解：（1）由得， 于是=. （2）因為所以 的最大值為. 9.（山東卷理17）已知函數(shù)f(x)＝為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 （Ⅰ）求f（）的值； （Ⅱ）將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)舒暢長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間. 解：（Ⅰ） ． 因為為偶函數(shù)，所以對，恒成立， 因此． 即， 整理得． 因為，且，所以． 又因為，故．所以． 由題意得，所以．故． 因此． （Ⅱ）將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象． 所以． 當(dāng)（）， 即（）時，單調(diào)遞減， 因此的單調(diào)遞減區(qū)間為（）． 10.（山東卷文17）已知函數(shù)（，）為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間． 解：（Ⅰ） ． 因為為偶函數(shù)，所以對，恒成立， 因此． 即， 整理得．因為，且，所以． 又因為，故．所以． 由題意得，所以．故．因此． （Ⅱ）將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象， 所以． 當(dāng)（）， 即（）時，單調(diào)遞減， 因此的單調(diào)遞減區(qū)間為（）． 11.（陜西卷理17）已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及最值； （Ⅱ）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由． 解：（Ⅰ）． 的最小正周期． 當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知．又． ． ． 函數(shù)是偶函數(shù)． 12.（陜西卷文17）已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及最值； （Ⅱ）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由． 解：（Ⅰ）． 的最小正周期． 當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知．又． ． ．函數(shù)是偶函數(shù)． 13.（上海卷文18）已知函數(shù)f(x)＝sin2x，g(x)＝cos(2x+)，直線x＝t（t∈R）與函數(shù)f(x)、g(x)的圖像分別交于M、N兩點 ⑴當(dāng)t＝時，求|MN|的值 ⑵求|MN|在t∈[0,]時的最大值 【解】（1）…………….2分 ………………………………5分 （2）……...8分 …………………………….11分 ∵ …………13分 ∴ ｜MN｜的最大值為. ……………15分 14.（四川卷理17文17）求函數(shù)的最大值與最小值?！窘狻浚? 由于函數(shù)在中的最大值為 最小值為 故當(dāng)時取得最大值，當(dāng)時取得最小值 【點評】：此題重點考察三角函數(shù)基本公式的變形，配方法，符合函數(shù)的值域及最值； 【突破】：利用倍角公式降冪，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵； 15.（天津卷理17）已知. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 解：（Ⅰ）因為，所以，于是 （Ⅱ）因為，故 所以 16.（天津卷文17）已知函數(shù)的最小正周期是． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)的最大值，并且求使取得最大值的的集合． 本小題主要考查特殊角三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力．滿分12分． （Ⅰ）解： 由題設(shè)，函數(shù)的最小正周期是，可得，所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，． 當(dāng)，即時，取得最大值1，所以函數(shù)的最大值是，此時的集合為．