第四章　三角函數(shù) 第21課　弧度制與任意角的三角函數(shù) A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 下列說法,正確的是　　　　.(填序號)  ①終邊落在第一象限內(nèi)的角為銳角; ②銳角是第一象限角; ③第二象限角為鈍角; ④小于90°的角一定為銳角; ⑤角α與角-α的終邊關(guān)于x軸對稱. 2. 已知α為第二象限角,那么-的值為　　　　.  3. 若α=k·180°+45°,k∈Z,則α為第　　　　象限角.  4. 已知某扇形的周長是8 cm,面積為4 cm2,那么該扇形的圓心角的弧度是　　　　.  5. 已知sinα<0,tan α>0. (1) 求角α的集合; (2) 求角的終邊所在的象限; (3) 試判斷tansincos的符號. 6. 已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(3a,4a),其中a≠0,求sinα,cosα,tanα. B　鞏固提升 1. 已知cosx=,x是第二或第三象限角,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.  2. 已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(t,t2+1)(t>0),那么tanα的最小值為　　　　.  3. (2016·合肥調(diào)研)函數(shù)y=lg(3-4sin2x)的定義域?yàn)椤　　　?  4. 若點(diǎn)P從點(diǎn)(1,0)出發(fā),沿單位圓x2+y2=1按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為　　　　.  5. 已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-,m)(m≠0),且sinθ= m,試判斷角θ的終邊在第幾象限,并求cosθ和tanθ的值. 6. 已知扇形AOB的周長為8 cm. (1) 若此扇形的面積為3 cm2,求圓心角的大小; (2) 當(dāng)此扇形的面積取到最大值時(shí),求圓心角的大小和弦長AB. 第22課　同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. (2015·福建卷)若sin α=-,且α為第四象限角,則tan α的值為　　　　.  2. 已知tanα=,且α∈,那么sinα=　　　　.  3. 若角α的終邊落在第三象限,則+=　　　　.  4. 已知sin α-cos α=,且α∈(0,π),那么tan α=　　　　.  5. 已知sinθ=,<θ<π. (1) 求tanθ的值; (2) 求的值. 6. (1) 已知cos α=-,求sin α,tan α的值. (2) 已知α∈,且sin α+2cos α=,求tan α的值. B　鞏固提升 1. 已知2tanα·sinα=3,且-<α<0,那么sinα=　　　　.  2. 已知sinx=2cosx,那么sin2x+1=　　　　.  3. (2016·蘇州期末)已知θ是第三象限角,且sinθ-2cosθ=-,那么sinθ+cosθ=　　　　.  4. 計(jì)算:sin21°+sin22°+…+sin290°=　　　　.  5. 化簡: . 6. 已知sinθ,cosθ是方程x2-(-1)x+m=0的兩根. (1) 求m的值; (2) 求+的值. 第23課　三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 計(jì)算:cos(-420°)=　　　　.  2. 計(jì)算:tan=　　　　.  3. 若sin=,且α∈,則tanα=　　　　.  4. 若=2,則sin(θ-5π)sin=　　　　.  5. 已知sin(α-3π) = 2cos(α-4π),求的值. 6. 已知函數(shù)f(x)=. (1) 求函數(shù)f(x)的定義域; (2) 若tanα=-,求f(α)的值. B　鞏固提升 1. 已知sin=,那么cos的值為　　　　.  2. 化簡:=　　　　.  3. 已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx-β),其中α,β,a,b均為非零實(shí)數(shù).若f(2 018)=-1,則f(2 017)=　　　　.  4. 若cos(-80°)=k,則tan 100°=　　　　.  5. 已知cos=,求cos-sin2α-的值. 6. 已知函數(shù)f(α)=. (1) 求f的值; (2) 若2f(π+α)=f,求+cos2α的值. 第24課　兩角和與差的三角函數(shù) A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 已知sin α=,且α∈,那么cosα+的值為　　　　.  2. (2015·揚(yáng)州期末)已知α∈(0,π),cos α=-,那么tan=　　　　.  3. 若cos=,且θ∈,則cos θ=　　　　.  4. 求值:tan10°+tan50°+tan10°tan50°=　　　　.  5. 已知α,β均為銳角,sin α=,cos β=,求α+β的值. 6. 已知cos=-,sin=,且<α<π,0<β<,求cos 的值. B　鞏固提升 1. 計(jì)算:=　　　　.  2.已知α+β=,那么(1+tan α)(1+tan β)的值為　　　　.  3. (2016·鎮(zhèn)江中學(xué))若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,則cos=　　　　.  4. 已知sinα=,sin(α-β)=-,且α,β均為銳角,那么β=　　　　.  5. (2016·南京模擬)已知α∈,sin=,求sin的值. 6. 已知向量a=(cos α,sinα),b=(cosβ,sinβ). (1) 若α-β=,求a·b的值; (2) 若a·b=,α=,且α-β∈,求tan(α+β)的值. 第25課　二倍角的正弦、余弦與正切 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 計(jì)算:sin 15°cos 15°=　　　　.  2. 已知sin =,cos =-,那么角θ在第　　　　象限.  3. 已知α為銳角,cos α=,那么tan=　　　　.  4. 已知cos4α-sin4α=,且α∈,那么cos=　　　　.  5. 求-2sin10°·tan80°的值. 6. 已知α∈,sinα=. (1) 求sin的值; (2) 求cos的值. B　鞏固提升 1. 計(jì)算:sin 15°sin 30°sin 75°= 　　　　.  2. 已知sin2α=,那么cos2=　　　　.  3. 若tan=,且-<α<0,則=　　　　.  4. (2016·江西師大附中)已知sin=,且θ∈,那么tan2θ=　　　　.  5. 若α為銳角,cos=,求sin2α+的值. 6. (2016·蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=cos2x+sinxcosx,x∈R. (1) 求f的值; (2) 若sinα=,且α∈,求f的值. 第26課　三角變換 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 已知cos θ=,且270°<θ<360°,那么cos=　　　　.  2. 函數(shù)f(x)=1-2sin2的最小正周期是　　　　,奇偶性是　　　　.  3. 化簡:=　　　　.  4. 在△ABC中,若tanA+tanB+=tanA·tanB,則C=　　　　.  5. 已知-<x<0,sin=. (1) 求sin x-cos x的值; (2) 求的值. 6. 已知函數(shù)f(x)=2sin,x∈R. (1) 求f的值; (2) 若α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值. B　鞏固提升 1. 函數(shù)y=sin2x-sin2x的最小正周期為　　　　.  2. 已知tan=3,那么sin2θ-2cos2θ的值為　　　　.  3. 求值: =　　　　.  4. (2016·蘇州模擬)已知sinα+3cosα=,那么tan2α的值為　　　　.  5. (2016·淮陰中學(xué))已知函數(shù)f(x)=sin+acosx(a∈R,a≠0). (1) 若函數(shù)f(x)的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值; (2) 若α∈,f=,f=,求f(2α)的值. 6. (2015·南京二模)已知函數(shù)f(x)=sin2x+msinsin. (1) 當(dāng)m=0時(shí),求f(x)在區(qū)間上的值域; (2) 當(dāng)tanα=2時(shí),f(α)=,求m的值. 第27課　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 函數(shù)y=tan的定義域是　　　　.  2. 函數(shù)y=的值域?yàn)椤　　　?  3. 函數(shù)f(x)=sin圖象的對稱軸方程是　　　　.  4. (2016·天一中學(xué))已知函數(shù)f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π).若f=-2,則函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是　　　　.  5. 求函數(shù)y=2cos2x+5sinx-4的值域. 6. 已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-2. (1) 求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程; (2) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間; (3) 當(dāng)x∈時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值. B　鞏固提升 1. 若函數(shù)f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間上的最大值為,則ω=　　　　.  2. (2015·徐州、連云港、宿遷三檢)已知函數(shù)f(x)=sin(0<ω<2).若f=1,則函數(shù)f(x)的最小正周期為　　　　.  3. (2016·揚(yáng)州期末)已知函數(shù)f(x)=sin(0≤x<π),且f(α)=f(β)=(α≠β),那么α+β=　　　　.  4. 若函數(shù)f(x)=sin(x+θ)的圖象關(guān)于直線x=對稱,則θ=　　　　.  5. (2016·啟東中學(xué))已知函數(shù)f(x)=sin2. (1) 求f(x)的最小正周期及其圖象的對稱軸方程; (2) 求f的單調(diào)減區(qū)間. 6. (2016·蘇南名校聯(lián)考)已知a>0,函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,且當(dāng)x∈時(shí),-5≤f(x)≤1. (1) 求常數(shù)a,b的值; (2) 若g(x)=f,且lg g(x)>0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間. 第28課　函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 要得到函數(shù)y=sin的圖象,只需將函數(shù)y=sin 4x的圖象向　　　平移　　　個(gè)單位長度.(只需填寫一組正確的答案即可)  2. (2015·浙江卷)函數(shù)f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期為　　　　,最小值為　　　　.  3. (2016·無錫期末)若將函數(shù)f(x)=2sin2x圖象上的每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則g(x)=　　　　.  4. 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象上的兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為2,且函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn),那么f(x)=　　　　.  5. 已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,-<φ<0的最小正周期為π,且f=. (1) 求ω和φ的值; (2) 在給定的坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在[0,π]上的圖象; (3) 若f(x)>,求x的取值范圍. (第5題) 6. (2016·南京、鹽城一模)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示. (1) 求函數(shù)y=f(x)的解析式; (2) 當(dāng)x∈時(shí),求f(x)的取值范圍. (第6題) B　鞏固提升 1. (2016·如皋聯(lián)考)若將函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x的圖象向右平移φ個(gè)單位長度后所得的圖象關(guān)于y軸對稱,則φ的最小正值是　　　　.  2. 若將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)在上的最小值為　　　　.  (第3題) 3. (2016·蘇北四市期末)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象如圖所示,若AB=5,則ω的值為　　　　.  4. 已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0),f =f,且f(x)在區(qū)間上有最小值,無最大值,那么ω=　　　　.  5. (2016·徐州一中)已知函數(shù)f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)為偶函數(shù),且函數(shù)f(x)圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為. (1) 求f的值; (2) 將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍 (縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式,并寫出g(x)的單調(diào)減區(qū)間. 6. 已知函數(shù)f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-(ω>0),其最小正周期為. (1) 求f(x)的解析式. (2) 將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)g(x)的圖象.若關(guān)于x的方程g(x)+k=0在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 第29課　三角函數(shù)模型及其應(yīng)用 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 若某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式p(t)=110+20sin(150πt),其中p(t)為血壓(單位:mmHg),t為時(shí)間(單位:min),則此人每分鐘心跳的次數(shù)為　　　　.  2. 已知電流I(單位:A)隨時(shí)間t(單位:s)變化的函數(shù)I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,0<φ<的圖象如圖所示,則當(dāng)t=s時(shí),電流為　　　　A.  (第2題) 3. 如圖,某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+b,那么8時(shí)的近似溫度為　　　　℃.  (第3題) 4. 一根長為l cm的線的一端固定,另一端懸掛一個(gè)小球,小球擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位移s(單位:cm)與時(shí)間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系式為s=3cos,其中g(shù)是重力加速度,那么當(dāng)小球擺動(dòng)的周期為1 s時(shí),線長l等于　　　　.  5. 如圖,在直徑為1的圓O中,作一個(gè)關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形,其中y>x>0. (1) 將十字形的面積表示為θ的函數(shù); (2) 試問:當(dāng)θ滿足什么條件時(shí),十字形的面積最大?最大面積是多少? (第5題) 6. 某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位:℃)與時(shí)間t(單位:h)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24). (1) 求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差; (2) 若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11℃,則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫? B　鞏固提升 (第1題) 1. 如圖,這是某簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象,則這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)需要　　　　s才能往返一次.  2. 某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5 cm,秒針繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn).當(dāng)時(shí)間t=0時(shí),點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12點(diǎn)的點(diǎn)B重合.將A,B兩點(diǎn)的距離d(單位:cm)表示成t(單位:s)的函數(shù),則d=　　　　,其中t∈[0,60].  3. 用作調(diào)頻無線電信號的載波以y=Asin(1.83×108πt)(A>0)為模型,其中t的單位是s,則此載波的周期為　　　　,頻率為　　　　.  4. 某星星的亮度變化周期為10天,此星星的平均亮度為3.8星等,最高亮度距離平均亮度0.2星等,則可近似地描述此星星的亮度y(單位:星等)與時(shí)間t(單位:天)之間的關(guān)系的一個(gè)三角函數(shù)為　　　　　　　.  5. (2016·無錫期末)在一個(gè)直角邊長為10 m的等腰直角三角形的草地ABC上,鋪設(shè)一個(gè)也是等腰直角三角形的花地PQR,要求P,Q,R三點(diǎn)分別在△ABC的三條邊上,且要使△PQR的面積最小.現(xiàn)有兩種設(shè)計(jì)方案: 方案一:直角頂點(diǎn)Q在斜邊AB上,R,P分別在直角邊AC,BC上; 方案二:直角頂點(diǎn)Q在直角邊BC上,R,P分別在直角邊AC,斜邊AB上. 請問:應(yīng)選用哪一種方案?并說明理由. (第5題) 6. (2016·鹽城中學(xué))如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,終邊交單位圓于點(diǎn)A,且α∈.將角α的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),交單位圓于點(diǎn)B,過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C. (1) 若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為,求點(diǎn)B的橫坐標(biāo); (2) 求△AOC面積S的最大值. (第6題) 第四章　三角函數(shù) 第21課　弧度制與任意角的三角函數(shù) A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. ②⑤　【解析】命題①錯(cuò),如:390°角的終邊在第一象限內(nèi),但不是銳角;命題③錯(cuò),如:480°角的終邊在第二象限內(nèi),但不是鈍角;命題④錯(cuò),如:-30°小于90°,但不是銳角. 2. 2　【解析】由α為第二象限角,得|sin α|=sin α,|cos α|=-cos α,所以-=2. 3. 一或三　【解析】當(dāng)k=2n時(shí),α=n·360°+45°,故α為第一象限角;當(dāng)k=2n+1時(shí),α=n·360°+225°,故α為第三象限角.因此α為第一或第三象限角. 4. 2　【解析】設(shè)扇形的半徑為r,所對的弧長為l,則有解得故α==2. 5. 【解答】(1) 由sin α<0,得角α的終邊在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上;由tan α>0,得角α的終邊在第一、三象限.故角α的終邊在第三象限,其集合為. (2) 由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,得kπ+<<kπ+,k∈Z,故角的終邊在第二、四象限. (3) 當(dāng)角的終邊在第二象限時(shí),tan<0,sin>0,cos<0,所以tansin·cos>0;當(dāng)角的終邊在第四象限時(shí),tan<0,sin<0,cos>0,所以tansin cos>0. 綜上,tansincos的符號為正. 6. 【解答】由題意知r==5|a|. 當(dāng)a>0時(shí),r=5a, 所以sinα===,cosα===,tanα===; 當(dāng)a<0時(shí),r=-5a, 所以sinα=-,cosα=-,tanα=. 綜上可知,當(dāng)a>0時(shí),sinα=,cosα=,tanα=; 當(dāng)a<0時(shí),sinα=-,cosα=-,tanα=. B　鞏固提升 1. 　【解析】由題知-1<cosx<0,即-1<<0?解得-1<a<.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 2. 2　【解析】由題意知tanα==t+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號成立,故tanα的最小值為2. 3. ,k∈Z　【解析】因?yàn)?-4sin2x>0,所以sin2x<,所以-<sinx<,所以x∈kπ-,kπ+,k∈Z. 4. 　【解析】由弧長公式l=|α|·r,l=,r=1,得點(diǎn)P按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過的角度α=,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,即. 5. 【解答】由題意得r=, 所以sinθ==m. 因?yàn)閙≠0,所以m=±,故θ是第二或第三象限角. 當(dāng)m=時(shí),r=2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,), 所以cosθ===-,tanθ===-. 當(dāng)m=-時(shí),r=2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,-), 所以cosθ===-,tanθ===. 綜上可知,cosθ=-,tanθ=-或cosθ=-,tanθ=. 6. 【解答】設(shè)扇形AOB的半徑為r,弧長為l,圓心角為α. (1) 由題設(shè)可得解得或所以α==或α==6. (2) 因?yàn)?r+l=2r+αr=8,所以r=,所以S扇=αr2=α·=≤4,當(dāng)且僅當(dāng)α=,即α=2時(shí),此扇形的面積取到最大值4,此時(shí)r==2(cm),所以AB=2×2sin 1=4sin 1(cm). 第22課　同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. -　【解析】由sin α=-且α為第四象限角,得cos α==,所以tan α==-. 2. -　【解析】因?yàn)閠anα=>0,且α∈,所以sinα<0.又sin2α====,所以sinα=-. 3. -3　【解析】由角α的終邊落在第三象限,得sin α<0,cos α<0,故原式=+=+=-1-2=-3. 4. -1　【解析】由sin α-cos α=,得1-2sin αcos α=2,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=0,所以sin α=-cos α,所以tan α=-1. 5. 【解答】(1) 因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1, 所以cos2θ=. 又<θ<π,所以cosθ=-, 所以tanθ==-. (2) 由(1) 知= =-. 6. 【解答】(1) 因?yàn)閏os α=-<0,所以α是第二或第三象限角. ①如果α是第二象限角,那么sin α===,tan α===-; ②如果α是第三象限角,那么sin α=-=-=-,tan α===. (2) 因?yàn)? 解得或 所以tan α=或. B　鞏固提升 1. -　【解析】由2tanα·sinα=3,得=3,即2cos2α+3cosα-2=0,解得cosα=或cosα=-2(舍去),又-<α<0,故sinα=-. 2. 　【解析】由sinx=2cosx,得tan x=2,所以sin2x+1== ==. 3. -　【解析】由得5cos2θ-cosθ-=0,解得cosθ=或cos θ=-.因?yàn)棣仁堑谌笙藿?所以cosθ=-,從而sinθ=-,所以sinθ+cosθ=-. 4. 　【解析】原式=sin21°+sin289°+sin22°+sin288°+…+sin244°+sin246°+sin245°+sin290°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)++1=44×1+=. 5. 【解答】原式= ·-= =·=. 當(dāng)sinα·cos α>0,即α為第一或第三象限角時(shí),原式=4; 當(dāng)sinα·cosα<0,即α為第二或第四象限角時(shí),原式=-4. 綜上,原式=4或-4. 6. 【解答】(1) 由韋達(dá)定理可得 由①得1+2sin θ·cos θ=4-2. 將②代入得m=-,滿足Δ=(-1)2-4m≥0,故m的值為-. (2) + =+ =+= =cos θ+sin θ=-1. 第23課　三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 　【解析】cos(-420°)=cos(360°+60°)=cos60°=. 2. 　【解析】tan=tan-+4π=tan =. 3. -2　【解析】因?yàn)閟in=,α∈,所以cosα=,sinα=-,則tanα=-2. 4. 　【解析】由=2,得sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ),兩邊平方得1+2sinθcosθ=4(1-2sinθcosθ),故sinθcosθ=,所以sin(θ-5π)·sin=sinθcosθ=. 5. 【解答】因?yàn)閟in(α-3π) = 2cos(α-4π), 所以-sin(3π-α) = 2cos(4π-α), 所以-sin(π-α) = 2cos(-α), 所以sinα =-2cosα且cosα≠0, 所以原式====-. 6. 【解答】(1) 由cos x≠0,得x≠+kπ,k∈Z,所以原函數(shù)的定義域是. (2) 因?yàn)閠an α=-,所以f(α)= ==-1-tan α=. B　鞏固提升 1. -　【解析】因?yàn)閟in=,所以cos=cosα++=-sin=-. 2. sin2-cos2　【解析】原式===|sin 2-cos2|=sin2-cos2. 3. 1　【解析】由題意知f(2 018)=asin(2 018π+α)+bcos(2 018π-β)=asinα+bcosβ=-1,所以f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π-β)=-asin α-bcosβ=-(-1)=1. 4. -　【解析】由題意知cos 80°=k,所以sin 80°=,tan 80°=,所以tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80°=-. 5. 【解答】由題設(shè)知cos =cos=-cos=-, sin2=sin2=1-cos2=1-=, 所以cos-sin2=--=-. 6. 【解答】(1) f(α)==cos α, 所以f=cos=cos=cos=. (2) 2f(π+α)=2cos(π+α)=-2cos α, f=cos=-sin α, 所以-2cos α=-sin α,所以tan α=2. 原式=+ =+ =+=. 第24課　兩角和與差的三角函數(shù) A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 　【解析】由sin α=,α∈,得cos α=,故cos=cos αcos -sin αsin =×-×=. 2. 　【解析】因?yàn)棣痢?0,π),cos α=-,所以sin α=,所以tan α=-,則tan===. 3. 　【解析】由題意知sinθ+=,所以cos θ=cosθ+-=cosθ+cos +sinθ+sin =. 4. 　【解析】原式=(1-tan10°·tan50°)+tan10°·tan50°=. 5. 【解答】因?yàn)棣?β均為銳角,sin α=,cos β=,所以cos α=,sin β=, 且0<α+β<π, 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-, 所以α+β=. 6. 【解答】因?yàn)?lt;α<π,0<β<, 所以<α-<π. 又因?yàn)?cos=-, 所以sin=. 同理可得cos=. 故cos =cos= coscos+sinα-·sin=×+×=. B　鞏固提升 1. 　【解析】原式== ==sin30°=. 2. 2　【解析】因?yàn)閠an(α+β)==1,所以tan α+tan β=1-tan αtan β,所以原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=2. 3. 　【解析】因?yàn)?<α<,則<+α<,所以sin=.又-<β<0,則<-<,所以sin=.故cos=cos=coscos+sin·sin=×+×=. 4. 　【解析】因?yàn)棣?β均為銳角,所以-<α-β<.又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=.因?yàn)閟inα=,所以cosα=,所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=×-×=,所以β=. 5. 【解答】因?yàn)棣痢?所以+α∈,所以cos=, 所以sinα=sin=,所以cosα=, 所以sin=sinα+cosα=. 6. 【解答】(1) 因?yàn)閍=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), 所以a·b=cos(α-β)=cos=-. (2) 因?yàn)閍·b=,所以cos(α-β)=.又因?yàn)棣?β∈, 所以sin(α-β)=-,tan(α-β)=-. 因?yàn)棣?β=2α-(α-β)=-(α-β), 所以tan(α+β)=tan===7. 第25課　二倍角的正弦、余弦與正切 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 　【解析】原式=sin30°=. 2. 三　【解析】sin θ=2sin cos =-<0,cos θ=cos2 -sin2 =-<0,所以θ是第三象限角. 3. -　【解析】由題意得sin α=,故tan α=2,所以tan 2α==-,所以tan==-. 4. 　【解析】因?yàn)閏os4α-sin4α=(sin2α+cos2α)(cos2α-sin2α)=cos2α=,又α∈,所以2α∈(0,π),所以sin2α==,所以cos=cos2α-sin2α=×-×=. 5. 【解答】-2sin10°·tan 80° =-2sin10°· =- =-= = = ==. 6. 【解答】(1) 因?yàn)棣痢?sinα=,所以cosα=-=-,故sin=sincosα+cossinα=×+×=-. (2) 由(1)知sin2α=2sinαcosα=2××=-, cos2α=1-2sin2α=1-2×=, 所以cos=coscos2α+sinsin2α=×+×=-. B　鞏固提升 1. 　【解析】原式=sin 15°·sin 30°·cos 15°=sin 30°·(2sin 15°cos 15°)=sin230°=. 2. 　【解析】cos2=cos αcos-sin αsin2=(cos α-sin α)2=(1-sin 2α)=1-=. 3. -　【解析】因?yàn)閠an==,所以tanα=-.又-<α<0,所以sinα=-,故==2sinα=-. 4. -　【解析】由sin=,得sinθ-cosθ=,平方得2sinθcosθ=.又θ∈,則sinθ+cosθ=,所以sinθ=,cosθ=,所以tanθ=,故tan2θ==-. 5. 【解答】由cos=,得cos2α+=2cos2-1=2×-1=. 因?yàn)閏os>0,α為銳角, 所以2α+∈, 所以sin==, 所以sin=sin-=sincos-cos2α+sin =. 6. 【解答】(1) f=cos2 +sin·cos=+×=. (2) 因?yàn)閒(x)=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+(sin2x+cos2x)=+sin, 所以f=+sinα++=+sin=+. 又因?yàn)閟inα=,且α∈, 所以cosα=-, 所以f=+×=. 第26課　三角變換 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. -　【解析】因?yàn)?70°<θ<360°,所以135°<<180°,所以cos=-=-=-. 2. π　奇函數(shù)　【解析】由題意知f(x)=cos 2=-sin 2x,所以f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù). 3. sinα　【解析】原式===sinα. 4. 　【解析】由已知可得tanA+tanB=(tanA·tanB-1),所以tan(A+B)==-.又因?yàn)?<A+B<π,所以A+B=,所以C=. 5. 【解答】(1) 方法一:由題知sin xcos +cos xsin =,所以sin x+cos x=. 因?yàn)?<x<0,所以sin x<0,cos x>0. 由得 所以sin x-cos x=-. 方法二:同方法一知sin x<0,cos x>0,(sin x+cos x)2=, 所以1+2sin xcos x=, 所以2sin xcos x=-. 又sin x-cos x<0,(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=, 所以sin x-cos x=-. (2) 原式= = ==. 6. 【解答】(1) 由題設(shè)知f=2sin=2sin=. (2) 由題設(shè)知=f=2sinα, =f(3β+2π)=2sin=2cosβ,即sinα=,cosβ=. 又因?yàn)棣?β∈, 所以cosα=,sinβ=, 所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=. B　鞏固提升 1. π　【解析】因?yàn)閥=sin2x-sin2x=-sin2x=-sin2x-cos2x=-sin(2x+φ),其中φ為參數(shù),所以最小正周期T==π. 2. -　【解析】因?yàn)閠an=3,所以=3,解得tanθ=,所以原式====-. 3. 4　【解析】原式= = = = ==4. 4. 　【解析】由題知sin(α+φ)=,其中tanφ=3,φ∈,所以sin(α+φ)=1,所以α+φ=+2kπ,k∈Z,所以tan2α=tan(π+4kπ-2φ)=tan(π-2φ)=-tan2φ=-=. 5. 【解答】(1) f(x)=sin+acos x=sin x+cos x+acosx=sinx+cos x=sin(x+φ),其中φ為參數(shù). 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為1, 所以=1,即a+a2=0, 又因?yàn)閍≠0,所以a=-1. (2) 由f=,得sin+acos=,解得a=1, 所以f(x)=sin+cosx=sinx+cosx+cosx=sin x+cos x=sin. 又因?yàn)閒=, 所以sin=cosα=, 即cosα=. 因?yàn)棣痢?所以sinα=, 所以sin2α=2sinαcosα=2××=,cos 2α=cos2α-sin2α=-, 所以f(2α)=sin=sin2α+cos2α=×-×=. 6. 【解答】(1) 當(dāng)m=0時(shí),f(x)=sin2x+sinxcosx=(sin2x-cos2x)+=sin+.又由x∈,,得2x-∈,所以sin∈,從而f(x)=sin+∈. (2) f(x)=sin2x+sinxcosx-cos2x=+sin2x-cos2x=[sin2x-(1+m)cos2x]+. 由tanα=2,得sin2α==,cos2α==-, 所以f(α)=[sin2α-(1+m)cos2α]+=×+=,解得m=-2. 第27課　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. {x|x≠4k+1,k∈Z}　【解析】由題意知x+≠+kπ,k∈Z,所以x≠4k+1,k∈Z,所以原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠4k+1,k∈Z}. 2. 　【解析】由y=,得cos x=,所以≤1,即(y-2)2≤(y-1)2,解得y≥. 3. x=kπ+,k∈Z　【解析】函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x-=+kπ,k∈Z?x=kπ+,k∈Z,所以原函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=kπ+,k∈Z. 4. ,k∈Z　【解析】由f=-2,得f=-2sin2×+φ=-2sin=-2,所以sin=1.因?yàn)閨φ|<π,所以φ=.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z. 5. 【解答】y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2+. 當(dāng)sinx=1時(shí),ymax=1; 當(dāng)sinx=-1時(shí),ymin=-9. 所以函數(shù)y=2cos2x+5sinx-4的值域?yàn)閇-9,1]. 6. 【解答】(1) f(x)=sin2x+cos2x=sin. 令2x+=kπ+,k∈Z, 則x=+,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程是x=+,k∈Z. (2) 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,則kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z. (3) 因?yàn)閤∈, 所以≤2x+≤, 所以-1≤sin≤, 所以-≤f(x)≤1. 所以當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-. B　鞏固提升 1. 　【解析】由0≤x≤,得0≤ωx≤<,則f(x)在上單調(diào)遞增.又f(x)在上的最大值為,所以2sin =,且0<<,所以=,即ω=. 2. 4π　【解析】由題意得sin=1,所以ω+=2kπ+,k∈Z,整理得ω=3k+,k∈Z.因?yàn)?<ω<2,所以ω=,從而函數(shù)f(x)的最小正周期為4π. 3. 　【解析】因?yàn)?≤x<π,所以2x+∈,所以由f(x)=,得2x+=或,解得x=或.因?yàn)閒(α)=f(β)=(α≠β),所以α+β=+=. 4. 　【解析】因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,所以sin=±1.又0<θ<,所以θ=. 5. 【解答】(1) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)==, 所以最小正周期T==π. 令2x=kπ+,k∈Z, 得x=+,k∈Z. 所以f(x)的最小正周期為π,其圖象的對稱軸方程為x=+,k∈Z. (2) f==-sin+. 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f的單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z. 6. 【解答】(1) 因?yàn)閤∈, 所以2x+∈, 所以sin∈, 所以-2asin∈[-2a,a], 所以f(x)∈[b,3a+b]. 又因?yàn)?5≤f(x)≤1, 所以b=-5,3a+b=1, 因此a=2,b=-5. (2) 由(1)得f(x)=-4sin-1,則g(x)=f=-4sin-1=4sin-1. 又由lgg(x)>0,得g(x)>1, 所以4sin-1>1, 所以sin>, 所以2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z. 當(dāng)2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z,即kπ<x≤kπ+,k∈Z時(shí),g(x)單調(diào)遞增, 所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z. 又因?yàn)楫?dāng)2kπ+≤2x+<2kπ+,k∈Z,即kπ+≤x<kπ+,k∈Z時(shí),g(x)單調(diào)遞減, 所以g(x)的單調(diào)減區(qū)間為kπ+,kπ+,k∈Z. 第28課　函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 右　　【解析】設(shè)將函數(shù)y=sin 4x的圖象向右平移φ個(gè)單位長度后,得到函數(shù)y=sin 4(x-φ)=sin(4x-4φ)=sin的圖象,所以φ=. 2. π　　【解析】f(x)=sin2x+sin x·cos x+1=+sin 2x+1=sin 2x-cos 2x+=sin+,所以最小正周期T==π,f(x)min=-. 3. 2sin 　【解析】f(x)=2sin 2x圖象上的每一點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后,可得g(x)=2sin2=2sin的圖象,故g(x)=2sin. 4. sin　【解析】因?yàn)閒(x)圖象上的兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為2,所以=2,解得T=4,故ω==,即f(x)=sin.又函數(shù)圖象過點(diǎn),故f(2) =sin=-sinφ=-.又因?yàn)?≤φ≤,所以φ=,故f(x)=sin. 5. 【解答】(1) 因?yàn)樽钚≌芷赥==π, 所以ω=2. 又因?yàn)閒=cos=cos=-sin φ=,且-<φ<0,所以φ=-. (2) 由(1)知f(x)=cos,列表: 2x- - 0 π x 0 π f(x) 1 0 -1 0 其圖象如圖所示. (第5題) (3) 因?yàn)閏os>, 則2kπ-<2x-<2kπ+,k∈Z, 所以2kπ+<2x<2kπ+,k∈Z, 所以kπ+<x<kπ+,k∈Z, 所以x的取值范圍為kπ+,kπ+,k∈Z. 6. 【解答】(1) 由圖象知A=2. 又=-=,所以T=2π=,即ω=1,所以f(x)=2sin(x+φ). 將點(diǎn)代入得+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z. 又-<φ<,所以φ=, 所以f(x)=2sin. (2) 當(dāng)x∈時(shí), x+∈, 所以sin∈, 故f(x)∈[-,2]. B　鞏固提升 1.　【解析】將函數(shù)f(x)的圖象向右平移φ個(gè)單位長度后所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=cos,又該函數(shù)為偶函數(shù),故2φ+=kπ,k∈Z,所以φ的最小正值為. 2.-　【解析】將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin=sin.因?yàn)榇撕瘮?shù)為奇函數(shù),故+φ=kπ,k∈Z,所以φ=-+kπ,k∈Z.又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.當(dāng)x∈時(shí),2x-∈,所以f(x)min=-. 3.　【解析】如圖,過點(diǎn)A作x軸的垂線AM,過點(diǎn)B作y軸的垂線BM,直線AM和直線BM相交于點(diǎn)M.在Rt△AMB中,AM=4,BM=·=,AB=5,由勾股定理得AM2+BM2=AB2,所以16+=25,即=3,解得ω=. (第3題) 4.　【解析】由題意知當(dāng)x==時(shí),f(x)取得最小值,所以sin=-1,即ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω=8k+,k∈Z.因?yàn)閒(x)在區(qū)間上有最小值,無最大值,所以-≤,即ω≤12,則ω=. 5.【解答】(1) 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù), 所以φ-=kπ+,k∈Z, 解得φ=+kπ,k∈Z. 因?yàn)?<φ<π,所以φ=. 由題意知=2×,得ω=2, 所以f(x)=2cos2x, 故f=2cos=. (2) 將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后,得到f的圖象;再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變),得到f的圖象,所以g(x)=f=2cos=2cos. 當(dāng)2kπ≤-≤2kπ+π,k∈Z,即4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z時(shí),g(x)單調(diào)遞減, 因此函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z. 6.【解答】(1) f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-=sin2ωx+-=sin, 因?yàn)閒(x)的最小正周期T=, 所以T===,所以ω=2, 所以f(x)=sin. (2) 將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后,得到y(tǒng)=sin的圖象;再將所得的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin的圖象, 所以g(x)=sin. 因?yàn)?≤x≤,所以-≤2x-≤,所以g(x)∈. 又g(x)+k=0在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,即函數(shù)g(x)的圖象與直線y=-k在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn). 由正弦函數(shù)的圖象可知-≤-k<或-k=1,解得-<k≤或k=-1, 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是∪{-1}. 第29課　三角函數(shù)模型及其應(yīng)用 A　應(yīng)知應(yīng)會(huì) 1. 75　【解析】T==(min),f==75(次/min). 2. -5　【解析】由圖象知A=10,=-=,所以ω==100π,所以I=10sin(100πt+φ).又點(diǎn)是圖象的最高點(diǎn),所以100π×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z.又0<φ<,所以φ=,所以I=10sin,當(dāng)t=s時(shí),I=-5 A. 3. 20-5　【解析】A=(ymax-ymin)=×(30-10)=10.因?yàn)閥max=A+b,ymin=-A+b,所以b=(ymax+ymin)=×(30+10)=20.由圖象可以看出,從614時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b半個(gè)周期的圖象,所以×=14-6,所以ω=.將x=6,y=10代入函數(shù)解析式,解得φ=.綜上,y=10sinx++20,x∈[6,14].當(dāng)x=8時(shí),y=20-5. 4. 　【解析】因?yàn)橹芷赥==1,則l=. 5. 【解答】(1) 設(shè)S為十字形的面積, 則S=2xy-x2=2sin θcos θ-cos2θ ,其中<θ<. (2) S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-cos2θ-=sin(2θ-φ)-,其中tanφ=, 所以當(dāng)sin(2θ-φ)=1,即2θ-φ=時(shí),S取得最大值. 所以,當(dāng)θ=+時(shí),S取得最大值,且最大值為. 6. 【解答】(1) 因?yàn)閒(t)=10-2cost+sint=10-2sin, 又0≤t<24,所以≤t+<,所以-1≤sin≤1. 故當(dāng)t=2時(shí),sin=1; 當(dāng)t=14時(shí),sin=-1. 于是f(t)在[0,24)上的最大值為12,最小值為8. 故實(shí)驗(yàn)室這一天的最高溫度為12℃,最低溫度為8℃,最大溫差為4℃. (2) 依題意知當(dāng)f(t)>11時(shí),實(shí)驗(yàn)室需要降溫. 由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin>11, 即sin<-. 又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18. 故在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫. B　鞏固提升 1. 0.8　【解析】由圖象知周期T=0.8-0=0.8(s),則這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)需要0.8 s才能往返一次. 2. 5sin+5　【解析】設(shè)d=Asin(ωt+φ)+5.由題意易知A=5,當(dāng)t=0時(shí),d=0,得φ=-;當(dāng)t=30時(shí),d=10,可得ω=,故d=5sin-+5. 3. 1.09×10-8 s　9.15×107 Hz　【解析】此載波的周期T=≈1.09×10-8(s),頻率f==9.15×107(Hz). 4. y=0.2sin+3.8 5. 【解答】方案一:如圖,過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M,作QN⊥BC于點(diǎn)N. 因?yàn)椤鱌QR為等腰直角三角形,且QP=QR,所以△RMQ≌△PNQ, 所以QM=QN,從而Q為AB的中點(diǎn),則QM=QN=5 m. 設(shè)∠RQM=α,則RQ=,α∈[0°,45°), 所以S△PQR=×RQ2=, 所以當(dāng)cosα=1,即α=0°時(shí),S△PQR取得最小值,為 m2. (第5題) 方案二:設(shè)CQ=x,∠RQC=β,β∈(0°,90°). 在△RCQ中,RQ=. 在△BPQ中,∠PQB=90°-β,∠BPQ=45°+β, 所以=,即=,化簡得==, 所以S△PQR=×RQ2=.因?yàn)?sinβ+2cosβ)2≤5, 所以S△PQR的最小值為10 m2. 綜上,應(yīng)選用方案二. 6. 【解答】由定義得A(cosα,sinα),B.依題意可知sinα=,α∈,所以α=,所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為cos=cos=-. (2) 方法一:因?yàn)镺A=1,OC=sin,∠AOC=-α, 所以S=OA·OC·sin∠AOC =sinsin =cosα = = =+ =sin+. 因?yàn)棣痢? 所以2α+∈, 當(dāng)2α+=,即α=時(shí),sin取得最大值,所以S的最大值為. 方法二:因?yàn)镺C=sin,△AOC的邊OC上的高為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)cosα,所以S=OC·cosα=sin·cosα,下同方法一.