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高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題限時(shí)集訓(xùn)6 數(shù)列-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題限時(shí)集訓(xùn)6 數(shù)列-人教版高三數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(六) 數(shù)列 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第92頁(yè)) (限時(shí):120分鐘) 一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上.) 1.(四川省涼山州2017屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè))設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=(n∈N*),若數(shù)列{an}是常數(shù)列,則a=________. -2 [因?yàn)閿?shù)列{an}是常數(shù)列,所以a=a2==,即a(a+1)=a2-2,解得a=-2.] 2.(江蘇省南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)設(shè){an}是等差數(shù)列,若a4+a5+a6=21,則S9=________. 63 [由a4+a5+a6=21得a5=7,所以

2、S9==9a5=63.] 3.?dāng)?shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項(xiàng)和為________. 1 830 [當(dāng)n=2k時(shí),a2k+1+a2k=4k-1; 當(dāng)n=2k-1時(shí),a2k-a2k-1=4k-3. 所以a2k+1+a2k-1=2,所以a2k+1+a2k+3=2, 所以a2k-1=a2k+3,所以a1=a5=…=a61. 所以a1+a2+a3+…+a60 =(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61) =3+7+11+…+(2×60-1) ==30×61=1 830.] 4.(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)等差數(shù)

3、列{an}的前n項(xiàng)和Sn,若a1=2,S3=12,則a6=________. 12 [∵S3=12,∴S3=3a1+d=3a1+3d=12.解得d=2, 則a6=a1+5d=2+2×5=12.] 5.(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比q=3,S3+S4=,則a3=________. 3 [∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公比q=3,S3+S4=, ∴+=,解得a1=.則a3=×32=3.] 6.(2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3,S9,S6成等差數(shù)列.且a2+a5=4,則a8

4、的值為________. 2 [∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3,S9,S6成等差數(shù)列.且a2+a5=4, ∴解得a1q=8,q3=-, ∴a8=a1q7=(a1q)(q3)2=8×=2.] 7.(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則該竹子最上面一節(jié)的容積為________升.  [設(shè)最上面一節(jié)的容積為a1, 由題設(shè)知解得a1=.] 8.(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,若a2a3=a4

5、a5,S9=1,則a1的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394041】 - [設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0), ∵a2a3=a4a5,S9=1, ∴ 解得a1=-.] 9.(廣東湛江市2017屆高三上學(xué)期期中調(diào)研考試)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若log2a2+log2a8=1,則a3·a7=________. 2 [由log2a2+log2a8=1得log2(a2a8)=1,所以a2a8=2,由等比數(shù)列性質(zhì)可得a3a7=a2a8=2.] 10.(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)記公比為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1=1,S4-5S2

6、=0,則S5的值為________. 31 [若等比數(shù)列的公比等于1,由a1=1,則S4=4,5S2=10,與題意不符. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q≠1), 由a1=1,S4=5S2,得=5a1(1+q), 解得q=±2. ∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),∴q=2. 則S5==31.] 11.(廣東郴州市2017屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷)在△ABC中,A1,B1分別是邊BA,CB的中點(diǎn),A2,B2分別是線段A1A,B1B的中點(diǎn),…,An,Bn分別是線段An-1A,Bn-1B(n∈N*,n>1)的中點(diǎn), 設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿足:向量=an+bn(n∈N*),有下列四個(gè)命題,其

7、中假命題是:________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394042】 ①數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列; ②數(shù)列{an+bn}是等比數(shù)列; ③數(shù)列有最小值,無最大值; ④若△ABC中,C=90°,CA=CB,則||最小時(shí),an+bn=. ③ [由==(-),=,=+=+,所以an=1-,bn=-1.則數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列,故①正確;數(shù)列{an+bn}即為是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列,故②正確;而當(dāng)n=1時(shí),a1=,b1=0,不存在;n>1時(shí),==-1+在n∈N*上遞增,無最小值和最大值,故③錯(cuò)誤;在△ABC中,C=90°,CA=C

8、B,則||2=(a+b)2+2anbn·=52-,當(dāng)n=1時(shí),取得最小值,即有||最小時(shí),an+bn=,故④正確.] 12.(天津六校2017屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=(n∈N*).若bn+1=(n-2λ)·(n∈N*),b1=-λ,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________.  [因?yàn)閍n+1=?=+1?+1=2?+1=2n-1=2n,所以bn+1=(n-2λ)·2n,因?yàn)閿?shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,所以當(dāng)n≥2時(shí)bn+1>bn?(n-2λ)·2n>(n-1-2λ)·2n-1?n>2λ-1?2>2λ-1?λ<;當(dāng)n=1時(shí),b2

9、>b1?(1-2λ)·2>-λ?λ<,因此λ<.] 13. (山西大學(xué)附屬中學(xué)2017級(jí)上學(xué)期11月模塊診斷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S17>0,S18<0,則,,…,中最大的項(xiàng)為________.  [S17>0?>0?>0?a9>0, S18<0?<0?<0?a10+a9<0?a10<0, 因此>0,>0,…,>0,>0,<0,而S1a2>…>a8>a9,所以<<…<<.] 14.(云南大理2017屆高三第一次統(tǒng)測(cè))若數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,且an+1=3an+2(n∈N*);令bn=log3(an+1),則b1+b2+b3+…+b1

10、00=________. 5 050 [由an+1=3an+2(n∈N*)可知an+1+1=3(an+1),∴=3,所以數(shù)列{an+1}是以3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,所以an+1=3n,∴an=3n-1,所以bn=log3(an+1)=n,因此b1+b2+b3+…+b100==5 050.] 二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.) 15.(本小題滿分14分)(泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列,且滿足a3a6=55,a2+a7=16. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)等比數(shù)列{bn}滿足

11、:b1=a1,b2=a2-1,若數(shù)列cn=an·bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. [解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則依題意設(shè)d>0.由a2+a7=16,得2a1+7d=16.?、? 由a3a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55. ② 4分 由①得2a1=16-7d將其代入②得(16-3d)(16+3d)=220.即256-9d2=220,∴d2=4,又d>0,∴d=2.代入①得a1=1,∴an=1+(n-1)2=2n-1.6分 (2)∵b1=1,b2=2,∴bn=2n-1,∴cn=anbn=(2n-1)2n-1, 8分 Sn=1·20+3·21+…+(2n-1

12、)·2n-1,2Sn=1·21+3·22+…+(2n-1)·2n.兩式相減可得: -Sn=1·20+2·21+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)·2n=1+2×-(2n-1)·2n, 10分 ∴-Sn=1+-(2n-1)·2n=1+2n+1-4-(2n-1)·2n=2n+1-3-(2n-1)·2n, ∴Sn=3+(2n-1)·2n-2n+1=3+(2n-3)·2n. 14分 16.(本小題滿分14分)(河南省豫北名校聯(lián)盟2017屆高三年級(jí)精英對(duì)抗賽)已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前五項(xiàng)和S5=20,且a1,a3,a7成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)

13、若Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且存在n∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍. [解] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則 即 2分 又因?yàn)閐≠0,所以 4分 所以an=n+1. 5分 (2)因?yàn)椋剑剑? 所以Tn=-+-+…+-=-=. 7分 因?yàn)榇嬖趎∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立, 所以存在n∈N*,使得-λ(n+2)≥0成立, 即存在n∈N*,使λ≤成立. 10分 又=≤(當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào)), 所以λ≤. 即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是. 14分 17.(本小題滿分14分)(四川省涼山州2017屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè))已知數(shù)列{an}滿足

14、a1=1,anan+1=2n,n∈N*. (1)若函數(shù)f (x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=處取得最大值a4+1,求函數(shù)f (x)在區(qū)間上的值域; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. [解] (1)∵anan+1=2n,則an+1an+2=2n+1, ∴=2, 又a1=1,故a1a2=21,即a2=2, ∴a3=2,a4=4, ∴A=a4+1=5,故f (x)=5sin(2x+φ),4分 又x=時(shí),f (x)=5, ∴sin=1,且0<φ<π,解得φ=, ∴f (x)=5sin, 6分 而x∈,故2x+∈, 從而sin∈, 綜上知f (x)∈. 8

15、分 18.(本小題滿分16分)(天津六校2017屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考)已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=a+an,n∈N*. (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2) 設(shè)數(shù)列{bn}滿足:b1=1,bn-bn-1=2an(n≥2),數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<2; (3)若Tn≤λ(n+4)對(duì)任意n∈N*恒成立,求λ的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394043】 [解] (1)n=1時(shí),a1=a+a1,∴a1=. ?an=a-a+an-an-1, ?(an+an-1)=0,∵an>0,∴an-an-1=, ∴{an}是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.

16、 ∴an=n. 4分 (2)證明:bn-bn-1=n, ?bn-b1=?bn=. ==2,∴Tn=2=2=,即Tn<2. 12分 (3)由≤λ(n+4)得λ≥=,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí),有最大值, ∴λ≥. 16分 19.(本小題滿分16分)(中原名校豫南九校2017屆第四次質(zhì)量考評(píng))設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S5=a5+a6=25. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)若不等式2Sn+8n+27>(-1)nk(an+4)對(duì)所有的正整數(shù)n都成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. [解] (1)設(shè)公差為d,則5a1+d=a1+4d+a1+5d=25,∴a1=-1,d=3. ∴{a

17、n}的通項(xiàng)公式為an=3n-4. 6分 (2)Sn=-n+,2Sn+8n+27=3n2+3n+27,an+4=3n;8分 (-1)nk-;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),k

18、; (3)已知an=其中n∈N*.Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<λ(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求λ的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):56394044】 [解] (1)證明:∵=(+),∴M是AB的中點(diǎn).設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y), 由(x1+x2)=x=,得x1+x2=1,則x1=1-x2或x2=1-x1.2分 而y=(y1+y2)=[f (x1)+f (x2)]= == ===,∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值. 5分 (2)由(1),知x1+x2=1,f (x1)+f (x2)=y(tǒng)1+y2=1, Sn=f +f +…+f ,Sn=f +f +…+f , 兩式相加,得 2Sn=++…+=1+1+…+,∴Sn=(n≥2,n∈N*). 8分 (3)當(dāng)n≥2時(shí),an===4.10分 Tn=a1+a2+a3+…+an=+4 =+4=. 12分 由Tn<λ(Sn+1+1),得<λ·.∴λ>==. ∵n+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立,∴≤=. 因此λ>,即λ的取值范圍是. 16分

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