(江蘇專用)高考數(shù)學 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第37練 圓錐曲線中的探索性問題 理
《(江蘇專用)高考數(shù)學 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第37練 圓錐曲線中的探索性問題 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第37練 圓錐曲線中的探索性問題 理(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第37練 圓錐曲線中的探索性問題 題型一 定值、定點問題 例1 已知橢圓C:+=1經(jīng)過點(0,),離心率為,直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F交橢圓于A、B兩點. (1)求橢圓C的方程; (2)若直線l交y軸于點M,且=λ,=μ,當直線l的傾斜角變化時,探求λ+μ的值是否為定值?若是,求出λ+μ的值;否則,請說明理由. 破題切入點 (1)待定系數(shù)法. (2)通過直線的斜率為參數(shù)建立直線方程,代入橢圓方程消y后可得點A,B的橫坐標的關(guān)系式,然后根據(jù)向量關(guān)系式=λ,=μ.把λ,μ用點A,B的橫坐標表示出來,只要證明λ+μ的值與直線的斜率k無關(guān)即證明了其為定值,否則就不是定值. 解 (1)
2、依題意得b=,e==,a2=b2+c2, ∴a=2,c=1,∴橢圓C的方程為+=1. (2)因直線l與y軸相交于點M,故斜率存在, 又F坐標為(1,0),設(shè)直線l方程為 y=k(x-1),求得l與y軸交于M(0,-k), 設(shè)l交橢圓A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 又由=λ,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1), ∴λ=,同理μ=, ∴λ+μ=+= ==-. 所以當直線l的傾斜角變化時,直線λ+μ的值為定值-. 題型二 定直線問題 例2 在平面直角坐標系xO
3、y中,過定點C(0,p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A,B兩點. (1)若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點,求△ANB面積的最小值; (2)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由. 破題切入點 假設(shè)符合條件的直線存在,求出弦長,利用變量的系數(shù)恒為零求解. 解 方法一 (1)依題意,點N的坐標為N(0,-p), 可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 直線AB的方程為y=kx+p, 與x2=2py聯(lián)立得 消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk,x1x2
4、=-2p2. 于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2| =p|x1-x2|=p =p=2p2, ∴當k=0時,(S△ABN)min=2p2. (2)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a, AC的中點為O′,l與以AC為直徑的圓相交于點P,Q,PQ的中點為H, 則O′H⊥PQ,Q′點的坐標為(,). ∵O′P=AC==, O′H==|2a-y1-p|, ∴PH2=O′P2-O′H2 =(y+p2)-(2a-y1-p)2 =(a-)y1+a(p-a), ∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)]. 令a-=0,得a=, 此時PQ=
5、p為定值,故滿足條件的直線l存在, 其方程為y=,即拋物線的通徑所在的直線. 方法二 (1)前同方法一,再由弦長公式得 AB=|x1-x2| =· =· =2p·, 又由點到直線的距離公式得d=. 從而S△ABN=·d·AB =·2p·· =2p2. ∴當k=0時,(S△ABN)min=2p2. (2)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a, 則以AC為直徑的圓的方程為 (x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0, 將直線方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0, 則Δ=x-4(a-p)(a-y1) =4[(a-)y1+a(p-
6、a)]. 設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點為P(x3,y3),Q(x4,y4), 則有PQ=|x3-x4|= =2. 令a-=0,得a=, 此時PQ=p為定值,故滿足條件的直線l存在, 其方程為y=,即拋物線的通徑所在的直線. 題型三 定圓問題 例3 已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在x軸上,離心率為,兩個焦點分別為F1和F2,橢圓G上一點到F1和F2的距離之和為12,圓Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點Ak. (1)求橢圓G的方程; (2)求△AkF1F2的面積; (3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請說明理由. 破題切入點 (1)根據(jù)定義,
7、待定系數(shù)法求方程. (2)直接求. (3)關(guān)鍵看長軸兩端點. 解 (1)設(shè)橢圓G的方程為+=1(a>b>0),半焦距為c,則解得 所以b2=a2-c2=36-27=9. 所以所求橢圓G的方程為+=1. (2)點Ak的坐標為(-k,2), S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6. (3)若k≥0,由62+02+12k-0-21=15+12k>0,可知點(6,0)在圓Ck外; 若k<0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0,可知點(-6,0)在圓Ck外. 所以不論k為何值,圓Ck都不能包圍橢圓G. 即不存在圓Ck包圍橢圓G. 總結(jié)提高 (1)定
8、值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題,基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題,證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的. (2)由直線方程確定定點,若得到了直線方程的點斜式:y-y0=k(x-x0),則直線必過定點(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式:y=kx+m,則直線必過定點(0,m). (3)定直線問題一般都為特殊直線x=x0或y=y(tǒng)0型. 1.在平面直角坐標系xOy中,經(jīng)過點(0,)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q. (1)求k的取值范圍; (2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A,B,是否存在常數(shù)k,使得向量
9、+與共線?如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由. 解 (1)由已知條件,得直線l的方程為y=kx+, 代入橢圓方程得+(kx+)2=1. 整理得(+k2)x2+2kx+1=0.① 直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0, 解得k<-或k>. 即k的取值范圍為(-∞,-)∪(,+∞). (2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 則+=(x1+x2,y1+y2), 由方程①,得x1+x2=-.② 又y1+y2=k(x1+x2)+2.③ 而A(,0),B(0,1),=(-,1). 所以+與共線等價于x1+x2=-(y1+y2)
10、, 將②③代入上式,解得k=. 由(1)知k<-或k>, 故不存在符合題意的常數(shù)k. 2.已知雙曲線方程為x2-=1,問:是否存在過點M(1,1)的直線l,使得直線與雙曲線交于P、Q兩點,且M是線段PQ的中點?如果存在,求出直線的方程,如果不存在,請說明理由. 解 顯然x=1不滿足條件,設(shè)l:y-1=k(x-1). 聯(lián)立y-1=k(x-1)和x2-=1, 消去y得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, 由Δ>0,得k<,x1+x2=, 由M(1,1)為PQ的中點,得==1, 解得k=2,這與k<矛盾, 所以不存在滿足條件的直線l. 3.設(shè)橢圓E:+=
11、1(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,O為坐標原點. (1)求橢圓E的方程; (2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且⊥?若存在,寫出該圓的方程,并求AB的取值范圍;若不存在,請說明理由. 解 (1)因為橢圓E:+=1(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點, 所以解得 所以橢圓E的方程為+=1. (2)假設(shè)存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且⊥,設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),解方程組得x2+2(kx+m)2=8, 即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-
12、8=0, 則Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0. 故 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =-+m2 =. 要使⊥,需使x1x2+y1y2=0, 即+=0, 所以3m2-8k2-8=0, 所以k2=≥0. 又8k2-m2+4>0,所以所以m2≥, 即m≥或m≤-, 因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線, 所以圓的半徑為r=, r2===,r=, 所求的圓為x2+y2=, 此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥或m≤-, 而當切線的斜率不存在時切線
13、為x=±與橢圓+=1的兩個交點為(,±)或(-,±)滿足⊥,綜上,存在圓心在原點的圓x2+y2=,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且⊥. 4.(2014·重慶)如圖,設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,點D在橢圓上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面積為. (1)求該橢圓的標準方程. (2)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點?若存在,求出圓的方程;若不存在,請說明理由. 解 (1)設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2=a2-b2. 由=2,得DF
14、1==c, 從而S△DF1F2=DF1·F1F2=c2=,故c=1, 從而DF1=. 由DF1⊥F1F2,得DF=DF+F1F=, 因此DF2=. 所以2a=DF1+DF2=2, 故a=,b2=a2-c2=1. 因此,所求橢圓的標準方程為+y2=1. (2)如圖,設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個交點,y1>0,y2>0,F(xiàn)1P1,F(xiàn)2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2. 由圓和橢圓的對稱性,易知,x2=-x1,y1=y(tǒng)2. 由(1)知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0), 所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,
15、y1), 再由F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+y=0. 由橢圓方程得1-=(x1+1)2,即3x+4x1=0, 解得x1=-或x1=0. 當x1=0時,P1,P2重合,題設(shè)要求的圓不存在. 當x1=-時,過P1,P2分別與F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線的交點即為圓心C. 設(shè)C(0,y0), 由CP1⊥F1P1,得·=-1. 而求得y1=,故y0=. 圓C的半徑CP1= =. 綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓, 其方程為x2+(y-)2=. 5.(2014·江西)如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點,過點B作y軸的平行線與
16、直線AO相交于點D(O為坐標原點). (1)證明:動點D在定直線上; (2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點N1,與(1)中的定直線相交于點N2,證明:MN-MN為定值,并求此定值. (1)證明 依題意可設(shè)AB方程為y=kx+2, 代入x2=4y, 得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2=-8. 直線AO的方程為y=x; BD的方程為x=x2. 解得交點D的坐標為 注意到x1x2=-8及x=4y1, 則有y===-2. 因此動點D在定直線y=-2上(x≠0). (2)解 依題設(shè),切線l
17、的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b), 即x2-4ax-4b=0. 由Δ=0得(4a)2+16b=0,化簡整理得b=-a2. 故切線l的方程可寫為y=ax-a2. 分別令y=2,y=-2得N1,N2的坐標為 N1(+a,2),N2(-+a,-2), 則MN-MN=(-a)2+42-(+a)2=8, 即MN-MN為定值8. 6.(2014·福建)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程. (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點
18、M,N.以MN為直徑作圓C,過點A作圓C的切線,切點為B.試探究:當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時,線段AB的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論. 解 方法一 (1)設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點, 依題意,點S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等,所以曲線Γ是以點F(0,1)為焦點、直線y=-1為準線的拋物線,所以曲線Γ的方程為x2=4y. (2)當點P在曲線Γ上運動時,線段AB的長度不變.證明如下: 由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2, 設(shè)P(x0,y0)(x0≠0),則y0=x, 由y′=x,得切線l的斜率 k=y(tǒng)′|x=x0=x0, 所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0), 即y=x0x-x. 由得A(x0,0). 由得M(x0+,3). 又N(0,3),所以圓心C(x0+,3), 半徑r=MN=|x0+|, AB= = =. 所以點P在曲線Γ上運動時,線段AB的長度不變. 方法二 (1)設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點, 則|y-(-3)|-=2, 依題意,點S(x,y)只能在直線y=-3的上方,所以y>-3,所以=y(tǒng)+1, 化簡,得曲線Γ的方程為x2=4y. (2)同方法一.
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 110中國人民警察節(jié)(筑牢忠誠警魂感受別樣警彩)
- 2025正字當頭廉字入心爭當公安隊伍鐵軍
- XX國企干部警示教育片觀后感筑牢信仰之基堅守廉潔底線
- 2025做擔當時代大任的中國青年P(guān)PT青年思想教育微黨課
- 2025新年工作部署會圍繞六個干字提要求
- XX地區(qū)中小學期末考試經(jīng)驗總結(jié)(認真復(fù)習輕松應(yīng)考)
- 支部書記上黨課筑牢清廉信念為高質(zhì)量發(fā)展營造風清氣正的環(huán)境
- 冬季消防安全知識培訓(xùn)冬季用電防火安全
- 2025加強政治引領(lǐng)(政治引領(lǐng)是現(xiàn)代政黨的重要功能)
- 主播直播培訓(xùn)直播技巧與方法
- 2025六廉六進持續(xù)涵養(yǎng)良好政治生態(tài)
- 員工職業(yè)生涯規(guī)劃方案制定個人職業(yè)生涯規(guī)劃
- 2024年XX地區(qū)黨建引領(lǐng)鄉(xiāng)村振興工作總結(jié)
- XX中小學期末考試經(jīng)驗總結(jié)(認真復(fù)習輕松應(yīng)考)
- 幼兒園期末家長會長長的路慢慢地走