《（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第九章 立體幾何初步 第51課 直線與平面、平面與平面的垂直 文-人教版高三全冊數(shù)學試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第九章 立體幾何初步 第51課 直線與平面、平面與平面的垂直 文-人教版高三全冊數(shù)學試題（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第51課 直線與平面、平面與平面的垂直 (本課時對應(yīng)學生用書第　　頁) 自主學習　回歸教材 1.(必修2P47練習3改編)已知平面α⊥平面β，直線l⊥平面β，那么直線l與平面α的位置關(guān)系為　　　　　　. 【答案】平行或線在面內(nèi) 【解析】容易忽略線在面內(nèi)的情況. 2.(必修2P37習題6改編)如圖，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB=90°，CA=CB，△ABD是正三角形，O為AB的中點，則圖中直角三角形的個數(shù)為　　　　. (第2題) 【答案】6 【解析】由題可知△ABC，△ACO，△BCO，△OAD，△OBD，△OCD是直角三角形. 3.(必修2P37

2、習題7改編)如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上的一點，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于點E，AF⊥CD于點F，則BD與EF所成的角的大小為　　　　. (第3題) 【答案】90° 【解析】可證BD⊥平面AEF. 4.(必修2P47練習5改編)如圖，已知直線AB⊥α，垂足為B，AC是平面α的斜線，CDα，CD⊥AC，則圖中互相垂直的平面有　　　　對. 　(第4題) 【答案】3 【解析】平面ABC⊥α，平面ABD⊥α，平面ABC⊥平面ACD. 1.直線與平面垂直的定義 如果一條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面α，記作a⊥α

3、，直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足. 2.直線與平面垂直的判定定理 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面. 3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理 如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行. 4.(1)二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角. (2)二面角的平面角：以二面角的棱上的任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的平面角的大小范圍：[0°，180°]. (4)常用作二面角的平面角的方法：定義法、

4、垂面法. 5.兩平面垂直的定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角， 我們就說這兩個平面互相垂直. 6.兩個平面垂直的判定定理： 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 7.兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面. 【要點導學】 要點導學　各個擊破 　直線與平面的垂直關(guān)系 例1　如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點. 　(例1) (1)求證：CD⊥AE； (2)

5、求證：PD⊥平面ABE. 【思維引導】(1)要證CD⊥AE，可先證CD⊥平面PAC，要證CD⊥平面PAC，可先確定關(guān)系CD⊥PA與CD⊥AC；(2)要證PD⊥平面ABE，可證PD⊥AE與PD⊥AB. 【解答】(1)在四棱錐P-ABCD中， 因為PA⊥底面ABCD， CD平面ABCD，故PA⊥CD. 因為AC⊥CD，PA∩AC=A， PA平面PAC，AC平面PAC， 所以CD⊥平面PAC. 而AE平面PAC，所以CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC， ∠ABC=60°，可得AC=PA. 因為E是PC的中點，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，

6、所以AE⊥平面PCD. 而PD平面PCD，所以AE⊥PD. 因為PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD， 所以PA⊥AB. 又因為AB⊥AD，PA∩AD=A， 所以AB⊥平面PAD， 又PD平面PAD，所以AB⊥PD. 又因為AB∩AE=A， AB平面ABE，AE平面ABE， 所以PD⊥平面ABE. 【精要點評】在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中，平面在其中起著至關(guān)重要的作用，應(yīng)考慮線與線、線與面所在的平面特征，以順利實現(xiàn)證明需要的轉(zhuǎn)化.其中證明線面垂直的方法有： ①利用線面垂直的定義； ②利用線面垂直的判定定理； ③若a⊥α，a∥b，則b⊥α； ④利用面面平行的性質(zhì)定

7、理， 即α∥β，a⊥αa⊥β； ⑤利用面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β=l，aα，a⊥la⊥β. 【高頻考點·題組強化】 1.(2015·南通期末改編)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，M是棱CC1上的一點.求證：BC⊥AM. 　(第1題) 【解答】因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因為BC平面ABC， 所以CC1⊥BC. 因為AC⊥BC，CC1∩AC=C，CC1，AC平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 因為AM平面ACC1A1， 所以BC⊥AM. 2.(2015·蘇州期末改編)如圖(1)，

8、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面C1BD. (第2題(1)) 【解答】如圖(2)，連接AC， 則AC⊥BD. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1⊥BD. 　(第2題(2)) 又因為AA1∩AC=A， 所以BD⊥平面AA1C. 因為A1C平面AA1C， 所以A1C⊥BD. 同理可證A1C⊥BC1. 又因為BD∩BC1=B，BD，BC1平面C1BD，所以A1C⊥平面C1BD. 3.如圖(1)，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB∶BC=1∶，O，F(xiàn)分別為CD，BC的中點，且

9、EO⊥平面ABCD，求證：AF⊥EF. 　(第3題(1)) 【解答】如圖(2)，連接OF，AO，設(shè)AB=2a，則BC=2a. 因為四邊形ABCD為矩形， 　(第3題(2)) 所以AO==3a. 同理，AF=a，OF=a. 因為AF2+OF2=9a2=AO2， 所以△AFO為直角三角形， 所以AF⊥OF. 因為EO⊥平面ABCD， AF平面ABCD， 所以EO⊥AF. 因為OF∩OE=O，OF，OE平面OEF， 所以AF⊥平面OEF. 又EF平面OEF，所以AF⊥EF. 4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB

10、=2AD，PD⊥底面ABCD，求證：PA⊥BD. 　(第4題) 【解答】因為∠DAB=60°， AB=2AD， 由余弦定理得BD=AD， 從而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PD. 又因為AD∩PD=D，AD平面PAD，PD平面PAD， 所以BD⊥平面PAD. 又PA平面PAD，故PA⊥BD. 5.如圖，AB為圓O的直徑，點E，F(xiàn)在圓O上，且BC⊥BE，∠ABC=90°，求證：AF⊥平面CBF. 　 (第5題) 【解答】因為∠ABC=90°， 所以BC⊥AB. 又因為BC⊥BE，AB∩BE=B，

11、 AB平面ABEF， BE平面ABEF， 所以BC⊥平面ABEF. 又因為AF平面ABEF，所以BC⊥AF. 因為AB為圓O的直徑，所以AF⊥BF. 又因為BF∩BC=B，BF平面CBF，BC平面CBF， 所以AF⊥平面CBF. 　平面與平面的垂直關(guān)系 例2　如圖(1)，S為平面ABC外一點，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC. 　(例2(1)) (1)求證：AB⊥BC； (2)若AF⊥SC于點F，AE⊥SB于點E，求證：平面AEF⊥平面SAC. 【思維引導】由線面垂直，面面垂直的性質(zhì)，推導線線垂直；而要證明面面垂直，一般從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線.

12、 【解答】(1)如圖(2)，作AE⊥SB于點E. 　(例2(2)) 因為平面SAB⊥平面SBC， 平面SAB∩平面SBC=SB， AE平面SAB， 所以AE⊥平面SBC. 因為BC平面SBC， 所以AE⊥BC. 因為SA⊥平面ABC， BC平面ABC，所以SA⊥BC. 又因為AE∩SA=A， AE平面SAB，SA平面SAB， 所以BC⊥平面SAB. 又AB平面SAB，所以AB⊥BC. (2)由(1)可知AE⊥平面SBC， 又SC平面SBC，所以AE⊥SC. 又因為SC⊥AF，AE∩AF=A， AE平面AEF，AF平面AEF， 所以SC⊥平面AEF.

13、又SC平面SAC， 所以平面AEF⊥平面SAC. 【精要點評】(1)要證面面垂直，則需先證線面垂直；要證線面垂直，則需證線線垂直. (2)在有關(guān)面面垂直的問題中，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直，因此熟練掌握“線面垂直”與“面面垂直”間的條件轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵. 變式1 (2015·蘇北四市期末改編)如圖，在三棱錐P-ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.若AB⊥BC，CP⊥PB，求證：CP⊥PA. (變式1) 【解答】因為平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AB平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面

14、PBC. 因為CP平面PBC，所以CP⊥AB. 又因為CP⊥PB，且PB∩AB=B， AB，PB平面PAB， 所以CP⊥平面PAB. 又因為PA平面PAB，所以CP⊥PA. 變式2　(2015·常州期末改編)如圖(1)，四棱錐P-ABCD的底面ABCD 是平行四邊形，平面PBD⊥平面 ABCD，PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分別是BD，PC的中點，連接OM.求證：OM⊥平面PCD. (變式2(1)) 【解答】如圖(2)，連接AC，PO. 因為四邊形ABCD是平行四邊形， 所以O(shè)為AC的中點. 在△PAC中，因為O，M分別是AC，PC的中點， 所以O(shè)M

15、∥PA. (變式2(2)) 因為O是BD的中點，PB=PD， 所以PO⊥BD. 又因為平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO平面PBD， 所以PO⊥平面ABCD. 因為CD平面ABCD， 從而PO⊥CD. 又因為CD⊥PC，PC∩PO=P，PC平面PAC，PO平面PAC，所以CD⊥平面PAC. 因為OM平面PAC，所以CD⊥OM. 因為PA⊥PC，OM∥PA，所以O(shè)M⊥PC. 又因為CD平面PCD，PC平面PCD，CD∩PC=C， 所以O(shè)M⊥平面PCD. 　線面垂直關(guān)系的探究問題 例3　如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中

16、，DB=BC，DB⊥AC，點M是棱BB1上一點. 　(例3) (1)求證：MD⊥AC； (2)試確定點M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. 【思維引導】(1)通過證明AC⊥平面BB1D1D，來證明AC⊥DM；(2)通過構(gòu)造與平面CC1D1D垂直的直線，進行平移尋找所求的點的正確位置. 【解答】(1)連接B1D1，因為BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1⊥AC. 又因為BD⊥AC，且BD∩BB1=B，BD，BB1平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1. 而MD平面B1BDD1，所以MD⊥AC. (2)當點M為棱BB1的中點時，可使得平面DMC1⊥

17、平面CC1D1D. 取DC的中點N，D1C1的中點N1，連接NN1交DC1于O，連接OM. 因為N是DC的中點，BD=BC， 所以BN⊥DC. 又因為平面ABCD∩平面DCC1D1=DC， 平面ABCD⊥平面DCC1D1， 所以BN⊥平面DCC1D1. 又因為點O是NN1的中點， 所以BM∥ON，且BM=ON， 即四邊形BMON是平行四邊形， 所以BN∥OM， 所以O(shè)M⊥平面CC1D1D. 又因為OM平面DMC1， 所以平面DMC1⊥平面CC1D1D. 【精要點評】探求符合要求的點或線的問題時，可以先假設(shè)存在，即增加條件后再證明；或通過先構(gòu)造平行或垂直的特殊位置上的

18、點或線，通過對其進行平移，來尋找正確的結(jié)果，然后再反過來證明. 變式　(2014·蘇州模擬)如圖(1)，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點. (變式(1)) (1)求證：PA∥平面MBD. (2)在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，試指出點N的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由. 【解答】(1)如圖(2)，連接AC交BD于點O，連接MO. (變式(2)) 由四邊形ABCD為正方形，知點O為AC的中點，又因為M為PC的中點， 所以MO∥PA. 因為MO平面MBD，PA平面

19、MBD， 所以PA∥平面MBD. (2)存在點N，當N為AB的中點時，平面PCN⊥平面PQB.證明如下： 因為四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點， 所以BQ⊥NC. 因為Q為AD的中點，△PAD為正三角形， 所以PQ⊥AD. 因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ平面PAD， 所以PQ⊥平面ABCD. 又因為NC平面ABCD，所以PQ⊥NC. 又因為BQ∩PQ=Q，BQ，PQ平面PQB， 所以NC⊥平面PQB. 因為NC平面PCN， 所以平面PCN⊥平面PQB. 1.(2015·南京、鹽城、徐州二模)已知α，β表示兩個不重

20、合的平面，m，n表示兩條不同的直線，給出下列命題： ①若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β； ②若α∥β，m∥α，n∥β，則m∥n； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β； ④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n. 其中為真命題的是　　　　.(填序號) 【答案】③④ 2.在空間中，給出下列四個命題： ①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直； ②若平面外兩點到平面的距離相等，則過兩點的直線必平行于該平面； ③垂直于同一條直線的兩條直線互相平行； ④若兩個平面相互垂直，則一個平面內(nèi)的任意一條直線必定垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線. 其中正確的命題是　　　　.(填序號) 【

21、答案】①④ 【解析】易知①④正確.對于②，過這兩點的直線還可能與平面相交；對于③，垂直于同一條直線的兩條直線可能平行，也可能相交或異面. 3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點. (第3題) (1)求證：PA⊥底面ABCD； (2)求證：平面BEF⊥平面PCD. 【解答】(1)因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，PA平面PAD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因為E為CD的中點，AB=CD，所以AB=DE， 又因為AB∥DE，所以

22、四邊形ABED為平行四邊形. 因為AB⊥AD，所以平行四邊形ABED為矩形， 所以DE⊥AD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD， 所以PA⊥CD. 又AD∩AP=A，AD，AP平面PAD， 所以CD⊥平面PAD. 因為PD平面PAD，所以CD⊥PD. 因為E和F分別是CD和PC的中點， 所以PD∥EF，所以CD⊥EF，又CD⊥BE，BE∩EF=E，BE，EF平面BEF， 所以CD⊥平面BEF. 又因為CD平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD. 4.(2014·江蘇卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點.已知PA

23、⊥AC， PA=6， BC=8， DF=5. (第4題) (1)求證：直線PA∥平面DEF； (2)求證：平面BDE⊥平面ABC. 【解答】(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA. 又因為PA平面DEF，DE平面DEF， 所以直線PA∥平面DEF. (2)因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA=6，BC=8，所以DE=PA=3，EF=BC=4. 又因為DF=5， 所以DF2=DE2+EF2， 所以∠DEF=90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因為AC∩EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE

24、⊥平面ABC. 又因為DE平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABC. 【融會貫通】 融會貫通　能力提升 　　(2015·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，設(shè)AB1的中點為D，B1C∩BC1=E. (1)求證：DE∥平面AA1C1C； (2)求證：BC1⊥AB1. 【思維引導】 【規(guī)范解答】(1)由題意知E為B1C的中點， 又D為AB1的中點，所以DE∥AC. …………………2分 又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C………………………………………………

25、…………………5分 (2)因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因為AC平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因為AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1=C， 所以AC⊥平面BCC1B1. 又因為BC1平面BCC1B1，所以B1C⊥AC…………………………………………9分 因為BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C. 因為AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面B1AC.……………13分 又因為AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1 ………………………………………14

26、分 【精要點評】本題屬于中檔題，難度不大，以考查基礎(chǔ)為主，如考查空間中點、線、面的位置關(guān)系，考查線面垂直、面面垂直的性質(zhì)與判定，線面平行的判定.解題過程中要注意問題的合理轉(zhuǎn)化.規(guī)范表達很重要. 趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習第101~102頁. 【檢測與評估】 第51課　直線與平面、平面與平面的垂直 一、 填空題 1.在一個平面內(nèi)，和這個平面的一條斜線垂直的直線有　　　　條. 2.已知四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，l為空間一直線，則“l(fā)垂直于兩腰AD，BC”是“l(fā)垂直于兩底AB，DC”的　　　　條件. 3.

27、(2014·遼寧卷)已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面.下列說法中正確的是　　　　.(填序號) ①若m∥α，n∥α，則m∥n； ②若m⊥α，nα，則m⊥n； ③若m⊥α，m⊥n，則n∥α； ④若m∥α，m⊥n，則n⊥α. 4.已知兩條不同的直線a，b與三個不重合的平面α，β，γ，那么能使α⊥β的條件是　　　　.(填序號) ①α⊥γ，β⊥γ；　?、讦痢搔?a，b⊥a，bβ；③a∥β，a∥α；　?、躠∥α，a⊥β. 5.(2014·鹽城一調(diào))已知三個不重合的平面α，β，γ，兩條不同的直線l，m滿足α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，有下列條件：①m⊥β；②l⊥α；③

28、β⊥γ；④α⊥β.其中由上述條件可推出的結(jié)論有　　　　.(填序號) 6.(2014·常州期末)給出下列四個命題： ①“直線a∥直線b”的必要不充分條件是“a平行于b所在的平面”； ②“直線l⊥平面α”的充要條件是“l(fā)垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”； ③“平面α∥平面β”是“α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β”的充分不必要條件； ④“平面α⊥平面β”的充分條件是“有一條與α平行的直線l垂直于β”. 上述命題中，所有真命題為　　　　.(填序號) 7.(2015·泰州期末)若α，β是兩個相交平面，則下列命題中正確的是　　　　.(填序號) ①若直線m⊥α，則在平面β內(nèi)，一定不存在與直線

29、m平行的直線； ②若直線m⊥α，則在平面β內(nèi)，一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直； ③若直線mα，則在平面β內(nèi)，不一定存在與直線m垂直的直線； ④若直線mα，則在平面β內(nèi)，一定存在與直線m垂直的直線. 8.如圖，四棱錐V-ABCD的底面為矩形，側(cè)面VBA⊥底面ABCD，VB⊥平面VAD，則平面VBC與平面VAC的位置關(guān)系為　　　　. (第8題) 二、 解答題 9.(2015·揚州期末改編)如圖，在三棱錐P-ABC中，D為AB的中點.若PA=PB，且銳角三角形PCD所在平面與平面ABC垂直，求證： AB⊥PC. (第9題) 10.(2015·北京卷)

30、如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，AC=BC，O，M分別為AB，VA的中點. (1)求證：VB∥平面MOC； (2)求證：平面MOC⊥平面VAB. (第10題) 11.(2014·南京、鹽城二模)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為BB1，AC的中點. (1)求證：BF∥平面A1EC； (2)求證：平面A1EC⊥平面ACC1A1. (第11題) 三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果) 12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點.

31、 (第12題) (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論. 【檢測與評估答案】 第51課　直線與平面、平面與平面的垂直 1. 無數(shù) 2. 充分不必要 3.②　【解析】①中m，n可以平行、相交或異面；③中n∥α或nα；④中直線n與平面α的位置關(guān)系不確定；只有②正確. 4. ④　【解析】由面面垂直的定義及判定定理可得. 5.②④　【解析】由條件知α⊥γ，γ∩α=m，lγ，l⊥m，則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理有l(wèi)⊥α，即②成立；又lβ，根據(jù)面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立. 6.③④　【解析】

32、①是既不充分也不必要條件；②是充分不必要條件，即“直線l⊥平面α”可得“l(fā)垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”，反之，不成立；③④正確. 7.②④　【解析】對于①，若兩個平面互相垂直，顯然在平面β內(nèi)存在與直線m平行的直線，故①不正確；對于②，m⊥α，m一定與兩平面的交線垂直，有一條直線就有無數(shù)條直線，故②正確；對于④，若m與兩個平面的交線平行或m為交線，顯然存在，若m 與交線相交，設(shè)交點為A，在直線m上任取一點B(異于點A)，過點B向平面β引垂線，垂足為C，則直線BC⊥平面β，在平面β內(nèi)作直線l垂直于AC，可以證明l⊥平面ABC，則l⊥m，故④正確，③不正確.所以真命題的序號為②④. 8.

33、 垂直　【解析】可考慮證明VA⊥平面VBC. 9. 因為PA=PB，D為AB的中點， 所以AB⊥PD. 如圖，在銳角三角形PCD所在平面內(nèi)過點P作PO⊥CD于點O，因為平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD， 所以PO⊥平面ABC. 因為AB平面ABC，所以PO⊥AB. 又PO∩PD=P，PO，PD平面PCD， 所以AB⊥平面PCD. 又PC平面PCD，所以AB⊥PC. (第9題) 10.(1) 因為O，M分別為AB，VA的中點， 所以O(shè)M∥VB. 又因為VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB∥平面MOC. (2) 因為AC=BC，O為AB

34、的中點， 所以O(shè)C⊥AB. 又因為平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB， 且OC平面ABC，OC⊥AB， 所以O(shè)C⊥平面VAB， 又因為OC平面MOC， 所以平面MOC⊥平面VAB. 11.(1) 連接AC1交A1C于點O，連接OE，OF. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以O(shè)A1=OC. 又因為F為AC的中點， 所以O(shè)F∥AA1且OF=AA1. 因為E為BB1的中點， 所以BE∥AA1且BE=AA1， 所以BE∥OF且BE=OF， 所以四邊形BEOF是平行四邊形， 所以BF∥OE. 又BF平面A1EC，

35、OE平面A1EC， 所以BF∥平面A1EC. (2) 由(1)知BF∥OE，因為AB=CB， F為AC的中點，所以BF⊥AC， 所以O(shè)E⊥AC. 又因為AA1⊥底面ABC，BF底面ABC，所以AA1⊥BF. 由BF∥OE，得OE⊥AA1. 又因為AA1，AC平面ACC1A1， 且AA1∩AC=A， 所以O(shè)E⊥平面ACC1A1. 因為OE平面A1EC， 所以平面A1EC⊥平面ACC1A1. 12. (1) 因為底面ABCD為正方形， 所以AD⊥DC. 又PD⊥平面ABCD，CD平面ABCD， 所以PD⊥CD. 又AD∩PD=D，AD平面PAD，PD平面PAD，

36、所以CD⊥平面PAD，又PA平面PAD，所以PA⊥CD. 又因為E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點， 所以EF∥PA，所以EF⊥CD. (2) 如圖，設(shè)AD的中點為G，BD的中點為O，連接OF，OG，PG，GB，GF. 因為O，F(xiàn)，G分別是BD，PB，AD的中點，所以FO∥PD，GO∥AB. 因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC，所以O(shè)F⊥BC. 又因為AB⊥BC，所以GO⊥BC， 又GO∩FO=O，GO，F(xiàn)O平面GFO， 所以BC⊥平面GFO. 又GF平面GFO，所以GF⊥BC. 設(shè)PD=DC=a，則PG==a，GB==a， 所以PG=GB. 又F為PB的中點，所以GF⊥PB. 又PB∩BC=B，PB，BC平面PCB， 所以GF⊥平面PCB. (第12題)