《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 解析幾何初步 第54課 直線的基本量與方程 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 解析幾何初步 第54課 直線的基本量與方程 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題（12頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第54課 直線的基本量與方程 (本課時(shí)對應(yīng)學(xué)生用書第　　頁) 自主學(xué)習(xí)　回歸教材 1.(必修2P76練習(xí)1改編)已知直線l的方程為-3x+2y=12，那么直線l的斜率為　　　　，在x軸上的截距為　　　　，在y軸上的截距為　　　　. 【答案】　-4　6 【解析】化直線為斜截式y(tǒng)=x+6，故k=；令y=0，得x=-4，所以直線在x軸上的截距為-4；令x=0，得y=6，所以直線在y軸上的截距為6. 2.(必修2P73練習(xí)3改編)已知兩點(diǎn)A(4，0)，B(0，3)，點(diǎn)C(8，a)在直線AB上，那么實(shí)數(shù)a=　　　　. 【答案】-3 【解析】由kAB=kAC，得=，所以a=

2、-3. 3.(必修2P72練習(xí)2改編)若直線l經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)(-3，)，則直線l的傾斜角為　　　　. 【答案】150° 【解析】因?yàn)閗=tan α=-，所以直線l的傾斜角為150°. 4.(必修2P73練習(xí)3改編)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，且傾斜角是直線y=2x+3的傾斜角的2倍，那么直線l的方程為　　　　　　　　. 【答案】4x+3y-10=0 【解析】設(shè)直線y=2x+3的傾斜角為α，則tan α=2， 所以直線l的傾斜角為2α，所以k=tan 2α=-， 所以直線l的方程為4x+3y-10=0. 1.直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π).

3、2.已知直線上不同的兩點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線PQ的斜率為；當(dāng)x1=x2時(shí)，直線PQ的斜率不存在. 3.當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系是k=tan α. 4.直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y-y0=k(x-x0) 不含直線x=x0 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 = 不含直線x=x1(x1=x2)和y=y1(y1=y2) 截距式 +=1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax+By+C=0(A，B不全為0) 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

4、 【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】 要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)　各個(gè)擊破 　直線的斜率 例1　若直線ax+y+1=0與連接點(diǎn)A(2，3)，B(-3，2)的線段相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. 【思維引導(dǎo)】直線與線段AB相交，即可得直線與線段的交點(diǎn)在線段上，于是只需在直線上取一定點(diǎn)，與線段兩端點(diǎn)求出斜率即可. 【答案】(-∞，-2]∪[1，+∞) 【解析】直線的斜率為k=-a，且直線經(jīng)過定點(diǎn)P(0，-1)，分別求出直線PA，PB的斜率為2，-1，可得斜率k的取值范圍是(-∞，-1]∪[2，+∞)， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，-2]∪[1，+∞). 【精要點(diǎn)評】解答已知直線過某定點(diǎn)且與已知線段有

5、交點(diǎn)，求其中參數(shù)的取值范圍時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合法，分別求出該定點(diǎn)與線段的兩個(gè)端點(diǎn)連線的斜率，再根據(jù)圖形列出不等式(組)來求解. 變式1　如圖，直線l過點(diǎn)P(-1，2)，且與以A(-2，-3)，B(4，0)為端點(diǎn)的線段恒相交，則直線l的斜率的取值范圍為　　　　. (變式1) 【答案】 變式2　若直線(k2-1)x-y-1+2k=0不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　. 【答案】(-∞，-1] 【解析】直線方程可化為y=(k2-1)x+2k-1， 因?yàn)橹本€不過第二象限， 所以或或 解得k≤-1. 即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞，-1]. 　直線的斜率與傾斜

6、角 例2　設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=(x+1)圖象上異于原點(diǎn)的動點(diǎn)，且該圖象在點(diǎn)P處的切線的斜率為k，傾斜角為θ. (1)求k的最小值； (2)求θ的取值范圍. 【思維引導(dǎo)】本題需要先通過導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再根據(jù)所得函數(shù)模型，求出斜率的取值范圍，再算出傾斜角的取值范圍. 【解答】(1)k=y'=≥， 當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號，所以k的最小值為. (2)又k=tan θ≥，θ∈[0，]∪， 所以θ∈. 【精要點(diǎn)評】(1)直線的斜率不存在，則直線的傾斜角為90°，直線垂直于x軸；(2)傾斜角和斜率的變化關(guān)系，請結(jié)合y=tan x，x∈∪的圖象考慮. 變式1　如果直線l經(jīng)過A(2，1)，

7、B(1，m2)(m∈R)兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是　　　　　　. 【答案】∪ 【解析】k=tan α==1-m2≤1， 所以α∈∪. 變式2　直線x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是　　　　　. 【答案】 【解析】由題知斜率k=-，故k∈[-1，0)，由正切函數(shù)的圖象知傾斜角α∈. 　直線的方程 例3　(1)已知直線l的縱截距為-1，傾斜角是直線l1：3x+4y-1=0的傾斜角的一半，求直線l的方程. (2)已知直線l過點(diǎn)A(-2，4)，分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C，且滿足=，求直線l的方程. 【思維引導(dǎo)】(1)設(shè)直線l的方程為斜截式

8、，由傾斜角的關(guān)系求出斜率；(2)設(shè)直線l的方程為截距式，由向量關(guān)系求出橫截距和縱截距. 【解答】(1)設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角為α，直線l1的傾斜角為β，則tan β=-，且β=2α. 由tan β=tan 2α==-，得tan α=-或3. 若tan α=-，則90°<α<180°， 從而180°<β<360°，不合題意， 所以k=tan α=3. 又直線l的縱截距為-1， 所以直線l的方程為y=3x-1， 即3x-y-1=0. (2)方法一：設(shè)直線l的方程為+=1， 則B(a，0)，C(0，b)， =(-2-a，4)，=(2，b-4). 由=，得解得 所以直線l

9、的方程為+=1， 即4x-y+12=0. 方法二：設(shè)直線l的方程為y-4=k(x+2)，分別令y=0，x=0，得B，C(0，2k+4)， 所以==(2，2k). 由=，得解得k=4， 所以直線l的方程為y-4=4(x+2)，即4x-y+12=0. 【精要點(diǎn)評】求直線方程時(shí)，要依據(jù)條件靈活選擇方程的形式.一般地，與傾斜角有關(guān)的，方程設(shè)為點(diǎn)斜式或斜截式，如例3(1)；與截距有關(guān)的，方程設(shè)為截距式，如例3(2).在使用斜截式方程時(shí)，可以將斜率k作為變量，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程問題來解.對于直線方程的各種形式，要注意它們的使用范圍，即對方程中的參數(shù)要分類討論，特別要注意斜率不存在的情況.

10、 【高頻考點(diǎn)·題組強(qiáng)化】 1.過點(diǎn)(2，1)，且傾斜角比直線y=-x-1的傾斜角小的直線方程是　　　　　　　　. 【答案】x=2 【解析】直線y=-x-1的斜率為-1，故其傾斜角為， 所以所求直線的傾斜角是，直線與x軸垂直， 故所求直線的方程是x=2. 2.經(jīng)過點(diǎn)(-2，2)，且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為1的直線l的方程為　　　　　　　　. 【答案】2x+y+2=0或x+2y-2=0 【解析】設(shè)直線l的方程為+=1，由已知可得解得或 所以直線l的方程為2x+y+2=0或x+2y-2=0. 3.經(jīng)過點(diǎn)A(-5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍

11、的直線方程是　　　　　　　　　. 【答案】x+2y+1=0或2x+5y=0 【解析】設(shè)直線在x軸上的截距為2a，則其在y軸上的截距為a.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為+=1，將(-5，2)代入所設(shè)方程，解得a=-， 所以直線方程為x+2y+1=0. 當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx，代入(-5，2)得k=-，所以直線方程為y=-x，即2x+5y=0. 綜上可知，所求直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0. 4.已知點(diǎn)A(-1，0)，B(cos α，sin α)，且AB=，那么直線AB的方程為　　　　　　　　　. 【答案】y=x+或y=-x- 【解析】AB===，

12、 所以cos α=，所以tan α=±， 即直線的方程為y=±(x+1)， 所以直線的方程為y=x+或y=-x-. 　直線方程的綜合問題 例4　過點(diǎn)P(4，1)作直線l分別交x軸、y軸正半軸于A，B兩點(diǎn). (1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程； (2)當(dāng)OA+OB取最小值時(shí)，求直線l的方程. 【思維引導(dǎo)】在比較中合理選擇直線方程的形式，根據(jù)題意，求得基本量. 【解答】設(shè)直線l：+=1(a>0，b>0)， 因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)，所以+=1. (1)+=1≥2=，所以ab≥16，當(dāng)a=8，b=2時(shí)等號成立，所以a=8，b=2時(shí)，△AOB的面積最小，此時(shí)直

13、線的方程為+=1，即x+4y-8=0. (2)因?yàn)?=1，a>0，b>0， 所以O(shè)A+OB=a+b=(a+b)(+)=5++≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a=6，b=3時(shí)等號成立，所以O(shè)A+OB最小時(shí)，直線l的方程為x+2y-6=0. 【精要點(diǎn)評】(1)本題使用直線方程的截距式，幾何關(guān)系清晰，解法比較簡捷，當(dāng)然也可以使用點(diǎn)斜式，但是要注意斜率k<0.(2)通過比較發(fā)現(xiàn)，選用直線方程的不同形式求解問題的效果不同，這就需要我們充分認(rèn)識不同形式的直線方程的特點(diǎn). 例5　已知直線l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0. (1)求證：不論m為何實(shí)數(shù)，直線l恒過一定點(diǎn)M； (2)過定點(diǎn)M作一條直線

14、l1，使夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被點(diǎn)M平分，求直線l1的方程. 【思維引導(dǎo)】(1)把直線的方程形式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的恒等式再求定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)M設(shè)方程，然后求交點(diǎn)，構(gòu)造關(guān)于點(diǎn)M的中點(diǎn)問題，最后求方程中的參數(shù)k的值. 【解答】(1)因?yàn)閙(x-2y-3)+2x+y+4=0， 所以由題意可得解得 所以直線l恒過定點(diǎn)M(-1，-2). (2)設(shè)所求直線l1的方程為y+2=k(x+1)，直線l1與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，則A，B(0，k-2). 由題意知AB的中點(diǎn)為M， 所以解得k=-2. 所以所求直線l1的方程為2x+y+4=0. 【精要點(diǎn)評】求直線的定點(diǎn)是常見問題.解決該類問題的

15、方法有兩種：(1)構(gòu)造關(guān)于某參數(shù)(如題中m)的恒等式，然后再尋找方程組求定點(diǎn)；(2)任意取參數(shù)(如題中m)的特殊值構(gòu)造關(guān)于x，y的方程組，求定點(diǎn)，并代回驗(yàn)證.除直線中的定點(diǎn)問題外，還有涉及到各類函數(shù)(指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù))、圓以及圓錐曲線的定點(diǎn)問題，值得關(guān)注. 1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+1的傾斜角為　　　　. 【答案】 【解析】因?yàn)閠an α=k=-，又α∈[0，π)，所以α=. 2.不論m取何值，直線(m-1)x-y+2m+1=0恒過定點(diǎn)　　　　. 【答案】(-2，3) 【解析】由直線方程(m-1)x-y+2m+1=0， 整理得(x+2)m-(x+y

16、-1)=0， 則解得 3.若直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，且在x軸上的截距的取值范圍是(-1，3)，則傾斜角的取值范圍是　　　　. 【答案】 【解析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的傾斜角為，方程為x=1，此時(shí)滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y-2=k(x-1)，在x軸上的截距為1-， 令-1<1-<3，解得k<-1或k>1， 故傾斜角的取值范圍是∪. 綜上，傾斜角的取值范圍是(). 4.經(jīng)過點(diǎn)A(-2，2)且在第二象限與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最小時(shí)的直線的方程為　　　　　　. 【答案】x-y+4=0 【解析】方法一：設(shè)所求直線方程為+=1(a<0，

17、b>0)， 因?yàn)?=1，所以a=. 又因?yàn)閍<0，所以b>2. S△ABC=-ab=-·= =(b+2)+=+4≥2+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)b-2=，即b=4時(shí)S最小.此時(shí)a=-4，b=4， 故所求直線方程為x-y+4=0. 方法二：設(shè)所求直線方程為y-2=k(x+2)，顯然k>0， 根據(jù)題意，知S△ABC=|2k+2|· =4+2≥8.當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號，故所求直線方程為x-y+4=0. 趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)第107~108頁. 【檢測與評估】 第十章　解析幾何初步 第54課　直線的基本量與方程 一、

18、填空題 1.直線x=tan的傾斜角為　　　　. 2.若經(jīng)過兩點(diǎn)A(4，2y+1)，B(2，-3)的直線的傾斜角為，則y=　　　　. 3.經(jīng)過兩點(diǎn)(-1，8)和(4，-2)的直線的兩點(diǎn)式方程是　　　　　　　　　　　，截距式方程是　　　　　　　，一般式方程是　　　　　　　　. 4.若點(diǎn)A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)a=　　　　. 5.設(shè)直線l的傾斜角為α，且≤α≤，則直線l的斜率k的取值范圍是　　　　. 6.已知點(diǎn)A(1，3)，B(-2，-1)，若直線l：y=k(x-2)+1與線段AB相交，則斜率k的取值范圍是　　　　. 7.若k，-

19、1，b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則直線y=kx+b必經(jīng)過定點(diǎn)　　　　. 8.(2014·合肥三檢)記直線x-3y-1=0的傾斜角為α，若曲線y=ln x在點(diǎn)(2，ln 2)處切線的傾斜角為β，則α+β=　　　　　. 二、 解答題 9.求傾斜角是直線y=-x+1傾斜角的，且分別滿足下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點(diǎn)(，-1)； (2)在y軸上的截距是-5. 10.過點(diǎn)P(1，4)引一條直線，使它在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距均為正值，且它們的和最小，求這條直線的方程. 11.已知直線l：kx-y+1+2k=0. (1)求證：直線l過定點(diǎn)； (2)若直線l交x軸負(fù)半軸

20、于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S，求S的最小值，并求出此時(shí)直線l的方程. 三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果) 12.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M(2，1)，且分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn). (1)當(dāng)△ABO的面積最小時(shí)，求直線l的方程； (2)當(dāng)MA·MB取得最小值時(shí)，求直線l的方程. 【檢測與評估答案】 第十章　解析幾何初步 第54課　直線的基本量與方程 1. 　【解析】因?yàn)橹本€的方程為x=tan=1，斜率不存在，所以傾斜角為. 2.-3　【解析】由題意知=tan =-1，解得y=-3. 3.=　+=

21、1　2x+y-6=0. 4.4　【解析】kAC==1，kAB==a-3.由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a-3=1，即a=4. 5.∪[1，+∞)　【解析】由k=tan α，根據(jù)正切函數(shù)圖象可知k∈∪[1，+∞). 6.　【解析】由題意知直線l恒過定點(diǎn)P(2，1)，如圖所示.若l與線段AB相交，則kPA≤k≤kPB.因?yàn)閗PA=-2，kPB=，所以-2≤k≤. (第6題) 7.(1，-2)　【解析】因?yàn)閗，-1，b成等差數(shù)列，所以k+b=-2，即b=-2-k，于是直線方程可化為y=kx-k-2，即y+2=k(x-1)，故直線必過定點(diǎn)(1，-2). 8.　【解析】

22、直線x-3y-1=0的斜率k'=tan α=，曲線y=ln x在點(diǎn)(2，ln 2)處的切線的斜率k=tan β=，故tan(α+β)==1，又0<α<，0<β<，所以α+β=. 9. 因?yàn)橹本€的方程為y=-x+1，所以k=-，傾斜角α=120°，由題知所求直線的傾斜角為30°，即斜率為. (1) 因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)(，-1)，所以所求直線方程為y+1=(x-)，即x-3y-6=0. (2) 因?yàn)橹本€在y軸上的截距為-5，所以由斜截式知所求直線方程為y=x-5，即x-3y-15=0. 10. 方法一：設(shè)所求的直線方程為y-4=k(x-1).顯見，上述直線在x軸、y軸上的截距分別為1-

23、，4-k.由于1->0且4-k>0，可得k<0.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為S=+(4-k)=5+(-k)+≥5+4=9，當(dāng)且僅當(dāng)-k=-，即k=-2時(shí)，S有最小值9.故所求直線方程為y-4=-2(x-1)，即2x+y-6=0. 方法二：設(shè)所求直線方程為+=1(a>0，b>0). 根據(jù)題設(shè)有+=1，　① 令S=a+b.?、? ①×②，有S=(a+b)=5++≥5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，即2a=b，且+=1，即a=3，b=6時(shí)，取等號. 故所求直線方程為+=1，即2x+y-6=0. 11. (1) 由題設(shè)得k(x+2)+(1-y)=0， 所以無論k取何值，直線過定點(diǎn)(-2，1).

24、 (2) 令y=0，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為， 令x=0，得點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，2k+1)(k>0)， 所以S△AOB=|2k+1|=(2k+1)=≥(4+4)=4. 當(dāng)且僅當(dāng)4k=，即k=時(shí)取等號. 即△AOB的面積的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x-y+1+1=0，即x-2y+4=0. 12. (1) 如圖，設(shè)OA=a，OB=b，△ABO的面積為S，則S=ab，且直線l的截距式方程是+=1. (第12題) 由直線通過點(diǎn)(2，1)，得+=1， 所以==. 因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B在x軸、y軸的正半軸上，所以上式右端的分母b-1>0.由此得 S=×b=×b==b+1+=b-1++2≥2+2=4. 當(dāng)且僅當(dāng)b-1=，即b=2時(shí)面積S取得最小值4，此時(shí)a=4，直線l的方程為+=1，即直線l的方程為x+2y-4=0. (2) 如圖，設(shè)∠BAO=θ， 則MA=，MB=， 所以MA·MB=·=， 則當(dāng)θ=45°時(shí)，MA·MB有最小值4， 此時(shí)直線l的斜率為-1， 所以直線l的方程為x+y-3=0.