訓(xùn)練目標(biāo) (1)數(shù)列知識的綜合應(yīng)用；(2)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)． 訓(xùn)練題型 (1)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合；(2)一般數(shù)列的通項與求和；(3)數(shù)列與其他知識的綜合應(yīng)用． 解題策略 (1)用方程(組)思想可解決等差、等比數(shù)列的綜合問題；(2)一般數(shù)列的解法思想是轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列；(3)數(shù)列和其他知識的綜合主要是從條件中尋找數(shù)列的通項公式或遞推公式. 1．(2016·重慶月考)已知{an}是等差數(shù)列，a10＝10，其前10項和S10＝70，則其公差d為________． 2．設(shè)f(x)＝，利用倒序相加法，則f＋f＋…＋f＝________. 3．(2016·蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江三模)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＝－8，a2＝－6.若將a1，a4，a5都加上同一個數(shù)m，所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，則實數(shù)m的值為________． 4．(2016·南京、鹽城三模)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n＋p，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－5.設(shè)cn＝若在數(shù)列{cn}中，c8＞cn(n∈N*，n≠8)，則實數(shù)p的取值范圍是________． 5．(2016·廈門期中)已知數(shù)列{an}滿足a2＝102，an＋1－an＝4n(n∈N*)，則數(shù)列{}的最小值是________． 6．(2016·湖北一聯(lián))已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，a5＝9，若數(shù)列{bn}滿足b1＝3，bn＋1＝abn，則{bn}的通項公式bn＝________. 7．已知數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù)，Sn為其前n項和，對于n＝1,2,3，…有an＋1＝ 則當(dāng)a1＝1時，S1＋S2＋S3＋…＋S20＝____________. 8．(2016·師大附中期中)已知數(shù)列an－1＝－n2＋n＋5λ2－2λ＋1為單調(diào)遞減數(shù)列，則λ的取值范圍是__________________． 9．(2016·遼寧沈陽期中)設(shè)首項不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn，若不等式a＋≥λa對任意an和正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)λ的最大值為________． 10．(2016·沈陽期中)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝1，公比q＞0，其前n項和為Sn，且S1＋a1，S3＋a3，S2＋a2成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足an＋1＝()anbn，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值． 答案精析 1.　2.5　3.－1 4．(12,17) 解析　由題意可知cn是an與bn中的較小值，且cn中的最大值是c8.如圖，若c8＝a8，則a8＞b7，即－8＋p＞22，所以p＞12；若c8＝b8，則b8＞a9，即23＞－9＋p，所以p＜17.綜上12＜p＜17. 5．26 解析　由an＋1－an＝4n， 得a3－a2＝8，a4－a3＝12， a5－a4＝16，…，an－an－1＝4(n－1)， 以上各式相加，得an－a2＝， 所以an＝102＋(n－2)(2n＋2)(n≥2)， 而a2－a1＝4，所以a1＝a2－4＝98，適合上式， 故an＝102＋(n－2)(2n＋2)(n∈N*)， ＝ ＝＋2n－2≥2－2＝26， 當(dāng)且僅當(dāng)＝2n，即n＝7時取等號， 所以數(shù)列{}的最小值是26. 6．2n＋1 解析　根據(jù)題意，在等差數(shù)列{an}中， a2＝3，a5＝9，則公差d＝2， 則an＝2n－1， 對于{bn}，由bn＋1＝2bn－1， 可得bn＋1－1＝2(bn－1)， 即{bn－1}是公比為2的等比數(shù)列， 且首項b1－1＝3－1＝2， 則bn－1＝2n，bn＝2n＋1. 7．910 解析　當(dāng)a1＝1時，a2＝3×1＋5＝8，a3＝＝1，a4＝3×1＋5＝8，a5＝＝1，…，所以{an}是周期為2的周期數(shù)列，它的奇數(shù)項是1，偶數(shù)項是8，所以S1＋S2＋…＋S20＝1＋(1＋8)＋(1×2＋8)＋(1×2＋8×2)＋(1×3＋8×2)＋(1×3＋8×3)＋…＋(1×10＋8×9)＋(1×10＋8×10)＝910. 8．(0，＋∞) 解析　∵數(shù)列an－1＝－n2＋n＋5λ2－2λ＋1為單調(diào)遞減數(shù)列， ∴當(dāng)n≥2時，an－1＞an， ∴－n2＋n＋5λ2－2λ＋1＞－(n＋1)2＋(n＋1)＋5λ2－2λ＋1， 即＜2n＋1， 由于數(shù)列{2n＋1}在n≥2時單調(diào)遞增， 因此其最小值為5， ∴＜5，∴2λ＞1，∴λ＞0. 9. 解析　在等差數(shù)列{an}中，首項不為零， 即a1≠0，則數(shù)列的前n項和為Sn＝. 由不等式a＋≥λa，得 a＋≥λa， ∴a＋a1an＋a≥λa， 即()2＋＋≥λ. 設(shè)t＝，則y＝t2＋t＋ ＝(t＋)2＋≥， ∴λ≤，即λ的最大值為. 10．解　(1)由題意可知2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)， ∴S3－S1＋S3－S2＝a1＋a2－2a3， 即4a3＝a1， 于是＝q2＝，∵q＞0，∴q＝. ∵a1＝1，∴an＝()n－1. (2)∵an＋1＝()anbn， ∴()n＝()anbn， ∴bn＝n·2n－1， ∴Tn＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，① ∴2Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，② 由①－②得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n ＝－n·2n ＝(1－n)2n－1， ∴Tn＝1＋(n－1)2n. 要使Tn≥m恒成立， 只需(Tn)min≥m. ∵Tn＋1－Tn＝n·2n＋1－(n－1)·2n ＝(n＋1)·2n＞0， ∴{Tn}為遞增數(shù)列， ∴當(dāng)n＝1時，(Tn)min＝1， ∴m≤1，即m的最大值為1.