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1、 訓(xùn)練目標(biāo) 理解不等式的解法及證明方法. 訓(xùn)練題型 (1)絕對值不等式的解法;(2)不等式的證明;(3)柯西不等式的應(yīng)用. 解題策略 (1)掌握不等式的基本性質(zhì);(2)理解絕對值的幾何意義;(3)了解柯西不等式的幾種形式. 1.(2016·蘇北四市一模)設(shè)x,y均為正數(shù),且x>y,求證:2x+≥2y+3. 2.(2016·南京、鹽城二模)已知x,y,z都是正數(shù),且xyz=1,求證:(1+x)(1+y)(1+z)≥8. 3.(2016·常州一模)已知a>0,b>0,證明:(a2+b2+ab)·(ab2+a2b+1)≥9a2b2. 4.(2016·南通模擬)已知:a

2、≥2,x∈R. 求證:|x-1+a|+|x-a|≥3. 5.(2016·泰州一模)已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b2+c3=1,求證:++≥27. 6.(2016·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市二模)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=,若存在實(shí)數(shù)x使f(x)+g(x)>a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 答案精析 1.證明 由題意得x>0,y>0,x-y>0, 因?yàn)?x+-2y =2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ ≥3 =3, 所以2x+≥2y+3. 2.證明 因?yàn)閤為正數(shù),所以1+x≥2, 同理,1+y≥2,1+z≥2

3、, 所以(1+x)(1+y)(1+z)≥2·2·2=8=8, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時(shí)等號成立. 3.證明 因?yàn)閍>0,b>0, 所以a2+b2+ab≥3=3ab>0, ab2+a2b+1≥3=3ab>0, 所以(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號成立. 4.證明 因?yàn)閨m|+|n|≥|m-n|, 所以|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-(x-a)|=|2a-1|. 又a≥2,故|2a-1|≥3. 所以|x-1+a|+|x-a|≥3. 5.證明 因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,b,c滿足a+b2+c3=1, 所以1≥3,即ab2c3≤, 所以≥27, 因此++≥3 ≥27. 6.解 存在實(shí)數(shù)x使f(x)+g(x)>a成立, 等價(jià)于f(x)+g(x)的最大值大于a, f(x)+g(x)=+ =×+1×, 因?yàn)?×+1×)2 ≤(3+1)(x+2+14-x)=64, 所以f(x)+g(x)=+≤8, 當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)取“=”, 故常數(shù)a的取值范圍是(-∞,8).

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