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2019-2020年高中數(shù)學 第二章《解三角形》之三角形中的幾何計算教案（二） 北師大版必修5 一、教學目標：1、會在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法；2、搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系；3、理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4、通過解三角形的應(yīng)用的學習，提高解決實際問題的能力。 二、教學重點：實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化及解斜三角形的方法 教學難點：實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化思路的確定 三、教學方法：啟發(fā)引導式 四、教學過程： （一）．復(fù)習回顧： 1．正弦定理： 2．余弦定理： ， 3．解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果我們抽去每個應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數(shù)學問題的能力下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實際中的一些應(yīng)用 （二）、探析范例： 例1:某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45、距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間 分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為ｘ ｈ，則利用余弦定理建立方程來解決較好，因為如圖中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看成是一個已知兩邊夾角求第三邊問題 解：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為ｘｈ，則AB＝21ｘ海里，BC＝9ｘ 海里，AC＝10 海里，∠ACB＝∠1＋∠2＝45＋（180－105）＝120， 根據(jù)余弦定理，可得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120得 (21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2109ｘcos120， 即36ｘ2－9ｘ210＝0 解得ｘ1＝，ｘ2＝－ (舍去) ∴AB＝21ｘ＝14，BC＝9ｘ＝6 再由余弦定理可得cos∠BAC＝ ∴∠BAC＝2147′，45＋2147′＝6647′所以艦艇方位角為6647′，小時即40分鐘答：艦艇應(yīng)以6647′的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘 評述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，其范圍是（0，360）在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個已知三邊求角的問題，故仍然利余弦定理 例2:如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值 分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先需要建立一個面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動點P在半圓上運動與∠POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入∠POB＝θ作為自變量建立函數(shù)關(guān)系四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC，Ｓ△OPC可用OPOCsinθ表示，而等邊△PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決 解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得： PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ ∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ) ＝2sin(θ－)＋ ∴當θ－＝即θ＝時，ｙmax＝2＋ 評述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認識到這兩個定理的重要性 另外，在求三角函數(shù)最值時，涉及到兩角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應(yīng)要求學生予以重視 （三）．隨堂練習：1．已知兩地的距離為兩地的距離為，現(xiàn)測得，則兩地的距離為 （ ） A. B. C. D. 2在△ABC中，已知角B＝45，D是BC邊上一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求 AB 解：在△ADC中， cosC＝ 又0＜C＜180，∴sinC＝ 在△ABC中， ∴AB＝ 評述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學生注意正、余弦定理的綜合運用 2、 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD^CD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的長。 解：在△ABD中，設(shè)BD=x則 即 整理得：解之：（舍去）由余弦定理： ∴ （四）．小結(jié)：通過本節(jié)學習，要求大家在了解解斜三角形知識在實際中的應(yīng)用的同時，掌握由實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，并提高解三角形問題及實際應(yīng)用題的能力 (五）、課后作業(yè)：課本本節(jié)2-1 B組2、3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 補充題：在△ABC中已知a＝2bcosC，求證：△ABC為等腰三角形 證法一：欲證△ABC為等腰三角形可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù)由正弦定理得a＝ ∴2bcosC＝，即2cosCsinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC ∴sinBcosC－cosBsinC＝0即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ） ∵B、C是三角形的內(nèi)角，∴B＝C，即三角形為等腰三角形 證法二：根據(jù)射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即又∵∴即tanB＝tanC ∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC為等腰三角形 五、教后反思：